Löse mit dem am besten geeigneten Verfahren.

%%\begin{array}{lrcc} \mathrm{I}& e+4f&=&20\\ \mathrm{II}&-3e+4f&=&-12\\ \end{array}%%

Additions-/Subtraktionsverfahren

Du verwendest das Subtraktionsverfahren, da in beiden Gleichungen %%+4f%% vorkommt.

%%\begin{array}{rrrcrlr} &\mathrm{I} &e&+&4f&=&20\\ -&\mathrm{II}&-3e&+&4f&=&-12\\ \hline &&4e&+&0&=&32 \end{array}%%

Löse nach %%e%% auf

%%\begin{array}{llccll} 4e&+&0&=&32 \quad |:4\\ &&e&=&\color{#009900}8\end{array}%%

Setze %%e%% in eine der Gleichungen ein

%%e%% in %%\mathrm{I}%%

%%\begin{array}{llccll} \color{#009900}8&+&4f&=&20&|-8&\\ &&4f&=&12&|:4&\\ &&f&=&\color{#cc0000}3 \end{array}%%

Lösungsmenge bestimmen

%%\mathbb{L}=\{(e|f)=(8|3)\}%%

%%\begin{array}{lrcl} \mathrm{I}& 7y&=&5+2x\\ \mathrm{II}&4x-14y&=&46\\ \end{array}%%

Eine sehr schöne Lösung ergibt sich mit dem Einsetzungsverfahren.

%%\;%%

Die Gleichung %%\mathrm{I}%% ist nach %%7y%% aufgelöst und in Gleichung %%\mathrm{II}%% steht %%14y%%. Du kannst sogar ohne Umformung das Einsetzungsverfahren verwenden.

Schreibe Gleichung %%\mathrm{II}%% um.

%%\begin{array}{lrcl} \mathrm{II}&4x-2\cdot7y&=&46\\ \end{array}%%

%%\;%%

Setze %%7y%% in %%\mathrm{II}%% ein

Setze %%7y%% aus Gleichung %%\mathrm{I}%% in Gleichung %%\mathrm{II}%% ein.

%%\begin{array}{lrcl} \mathrm{II}&4x-2\cdot(5 + 2x)&=&46\\ \end{array}%%

Fasse zusammen und löse nach %%x%% auf.

%%\begin{array}{lrcl} \mathrm{II}&4x-10 - 4x&=&46\\ \end{array}%%

%%\begin{array}{lrcl} \mathrm{II}&0&=&56\\ \end{array}%%

%%|+10%%

Wie du jetzt sehen kannst, gleichen sich die Ergebnisse nicht wodurch sich ein Widerspruch ergibt. Daraus folgt, dass das LGS keine Lösungen hat, da für %%x%% keine Zahl zugeordnet werden kann.

%%\begin{array}{lrcl} \mathrm{I}& 3,5&=&-0,5k+2,5m\\ \mathrm{II}&10m&=&14+2k\\ \end{array}%%

Additionsverfahren

Du verwendest das Additionsverfahren, da du mit einem scharfen Blick siehst, dass %%2k%% das %%4%%-fache von %%0,5k%% ist.

Vervielfachung der ersten Gleichung

%%\begin{array}{rrl} \mathrm{I}&3,5&=&-0,5k+2,5m&|\cdot 4\\ \mathrm{II}&10m&=&14+2k\\ \mathrm{I'}&14&=&-2k+10m&|+2k\\ \mathrm{II}&10m&=&14+2k\\ \mathrm{I'}&14+2k&=&10m&\\ \mathrm{II}&10m&=&14+2k \end{array}%%

Wie du jetzt sehen kannst, sind beide Gleichungen identisch. Daraus folgt, dass das LGS unendlich viele Lösungen hat. Graphisch betrachtet können das zwei Geraden sein, die aufeinander liegen.

Lösungsmenge

Löse die Gleichung noch nach einer Variablen auf um die Lösungsmenge anzugeben.

%%10 m = 14 + 2 k \quad | : 10 \\ m = 1,4 + 0,2 k%%

%%\mathbb{L} = \left\{ (m|k) \;\big |\; m = 1,4 + 0,2 k \right\}%%