Bestimme die Lösungsmenge der Exponentialgleichungen.

%%\left({\textstyle\frac14}\right)^\mathrm x=64%%

Logarithmus

Artikel zum Thema

%%\left(\frac14\right)^x=64%%

%%\left(\frac1q\right)^x=q^{-x}%%

Wende die Potenzrechengesetze an.

%%4^{-x}=64%%

%%\left|\cdot\log\left(\right)\right.%% Logarithmiere.

%%\log_4\left(64\right)=-x%%

Berechne mithilfe des Taschenrechners.

%%3=-x%%

%%\left|\cdot\left(-1\right)\right.%%

%%-3=x%%

Die Lösungsmenge lautet: %%\mathbb L = \{-3\}%%

%%2^\mathrm x\cdot8^{\mathrm x-1}=32%%

Exponentialgleichungen

Artikel zum Thema

%%2^x\cdot8^{x-1}=32%%

%%2^x\cdot\frac{8^x}{8^1}=32%%

Wende das passende Potenzgesetz an.

%%\frac{2^x\cdot8^x}8=32%%

%%\left|\cdot8\right.%%

%%2^x\cdot8^x=256%%

Wende das passende Potenzgesetz an.

%%(2^x\cdot8^x)=256%%

Multipliziere die Zahlen in der Klammer.

%%16^x=256%%

%%\left|\cdot\log\left(\right)\right.%% Logarithmiere.

%%log_{16}\left(256\right)=x%%

%%\frac{\log\left(256\right)}{\log\left(16\right)}=x%%

%%\Rightarrow x=2%%

Die Lösungsmenge lautet: %%\mathbb L = \{2\}%%

%%\left({\textstyle\frac13}\right)^x\cdot\left({\textstyle\frac3{27}}\right)^x=3%%

Exponentialgleichungen

Artikel zum Thema

%%\left(\frac13\right)^x\cdot\left(\frac3{27}\right)^x=3%%

%%(\frac13)^x\cdot\left(\frac19\right)^x=3%%

%%(\frac1{27})^x=3%%

%%\log_\frac1{27}\left(3\right)=x%%

Wende die passende Rechenregel für den Logarithmus an.

%%\frac{\log\left(3\right)}{\log\left({\displaystyle\frac1{27}}\right)}=x%%

Wende die passende Rechenregel für den Logarithmus an.

%%\frac{\log\left(3\right)}{\log\left(1\right)-\log\left(27\right)}=x%%

Fasse den Nenner zusammen, indem du %%\log\left(1\right)%% berechnest.

%%\frac{\log\left(3\right)}{0-\log\left(27\right)}=x%%

%%\frac{\log\left(3\right)}{-\log\left(27\right)}=x%%

Dividiere mithilfe des Taschenrechners.

%%\Rightarrow x=-\frac13%%

Die Lösungsmenge lautet: %%\mathbb L = \{-\frac13\}%%

%%\frac{6^{\mathrm x-2}}{36^{\mathrm x+1}}=216%%

Logarithmus

Artikel zum Thema

%%\frac{6^{x-2}}{36^{x+1}}=216%%

Wende das passende Potenzgesetz an.

$$\frac{\displaystyle\frac{6^x}{6^2}}{36^x\cdot36}=216$$

%%\Rightarrow\frac{\displaystyle\frac{6^x}{6^2}}{36^x\cdot36}=216%%

Fasse zusammen: %%216=6\cdot6\cdot6%%

$$\left(\frac16\right)^\mathrm x\cdot\frac1{6^4}=6^3$$

%%\left|\cdot6^4\right.%%

%%\left(\frac16\right)^x=6^7%%

Wende das passende Potenzgesetz an.

%%6^{-x}=6^7%%

$$\vert\cdot\log_6\left(\;\;\right)$$

%%-x=7%%

%%x=-7%%

Die Lösungsmenge lautet: %%\mathbb L = \{-7\}%%