Löse die quadratische Gleichung  %%3x^2+mx-3=4x+m%%  in Abhängigkeit vom Parameter %%m%%

Mitternachtsformel mit Parametern

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%%3x^2+mx-3=4x+m%%

Forme die quadratische Gleichung so um, dass auf einer Seite die Null steht.

%%3x^2+mx-4x-3-m=0%%

Fasse die Summanden mit %%x%% zusammen indem du %%x%% ausklammerst.

%%3x^2+(m-4)x-3-m=0%%

Lies %%a%%, %%b%% und %%c%% ab.

%%a=3,\;b=m-4,\;c=-3-m%%

Berechne die Diskriminante %%D=b^2-4ac%% der Gleichung. Dabei hilft dir die zweite binomische Formel .

%%\begin{array}{l}D=(m-4)^2-4\cdot3(-3-m)\\=m^2-8m+16+36+12m\\=m^2+4m+52\end{array}%%

Überprüfe die Diskriminante in Abhängigkeit von %%m%% auf ihr Vorzeichen, indem du quadratisch ergänzt .

%%\begin{array}{l}D=m^2+4m+52\\=m^2+4m+4+48\\=(m+2)^2+48\end{array}%%

Du erkennst, dass %%(m+2)^2%% als Quadrat immer größer oder gleich Null ist und somit die Diskriminante insgesamt immer größer als Null ist, so dass für alle %%m%% zwei Lösungen existieren.

%%D=(m+2)^2+48>0%% %%\Rightarrow%% zwei Lösungen für alle %%m%%

Wende nun die Mitternachtsformel an.

%%x_{1,2}=\frac{-m+4\pm\sqrt{(m+2)^2+48}}6%%