Löse die folgenden Gleichungen mit dem Satz von Vieta und der Mitternachtsformel:

Zu text-exercise-group 14897:
Nish 2017-10-28 17:36:08+0200
Hallo zusammen,
Diese Aufgabe muss komplett nach den aktuellen Aufgabenlösungsrichtlinien überarbeitet werden.
LG,
Nish
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%%x^2-5x+6=0%%

%%x^2-5x+6=0%%

Da die Gleichung die Form %%x^2+px+q=0%% hat können wir den Satz von Vieta anwenden. Es gilt:

%%\begin{array}{l}\begin{array}{ccccc}x_1+x_2&=&-p&=&-(-5)=5\\x_1\cdot x_2&=&q&=&6\end{array}\end{array}%%

Versuche durch Raten Lösungen für %%x_1%% und %%x_2%% zu finden. Mögliche Kandidaten sind die Teiler von 6. Also 1,2,3 und 6.

$$x_1$$

$$x_2$$

%%x_1+x_2%%

%%x_1\cdot x_2%%

$$1$$

$$6$$

$$1+6=7$$

$$1\cdot6=6$$

$$2$$

$$3$$

$$2+3=5$$

$$2\cdot3=6$$

Die Lösungen sind also %%x_1=2%% und %%x_2=3%%

%%a=1%%, %%b=-5%% und %%c=6%%

Die drei Koeffizienten der Gleichung in die Mitternachtsformel einsetzen.

%%x_{1,2}=\frac{-(-5)\pm\sqrt{(-5)^2-4\cdot1\cdot6}}{2\cdot1}%%

%%=\frac{5\pm\sqrt{25-24}}2=\frac{5\pm1}2%%

$$\begin{array}{l}\Rightarrow\;x_1=3\\\Rightarrow\;x_2=2\end{array}$$

Es ergeben sich die gleichen Ergebnisse wie bei Vieta.

%%x^2-6x-27=0%%

Lösung mit Vieta

Artikel zum Thema

%%\begin{array}{r}\begin{array}{ccccc}x_1+x_2&=&-p&=&-(-6)\\x_1\cdot x_2&=&q&=&-27\end{array}\\\end{array}%%

Kandidaten für %%x_1%% und %%x_2%% sind die Teiler von %%27%%: 1, 3, 9 und 27

$$x_1$$

$$x_2$$

%%x_1+x_2%%

$$-1$$

$$27$$

$$-1+27=26$$

$$1$$

$$-27$$

$$1+(-27)=-26$$

$$-3$$

$$9$$

$$-3+9=6$$

$$3$$

$$-9$$

$$3+(-9)=-6$$

Die Lösungen sind also %%x_1=-3%% und %%x_2=9%%.

Lösung mit der Mitternachtsformel

%%a=1,\;\;b=-6,\;\;c=-27%%

Die drei Kooeffizienten der Gleichung in die Mitternachtsformel einsetzen.

%%x_{1,2}=\frac{-(-6)\pm\sqrt{(-6)^2-4\cdot1\cdot(-27)}}{2\cdot1}%%

%%=\frac{6\pm\sqrt{36+108}}2=\frac{6\pm12}2%%

%%\Rightarrow%% %%x_1=\frac{18}{2}%% und %%x_2=\frac{-6}{2}%%

Die Lösungen sind also %%x_1=9%% und %%x_2=-3%%.

%%\frac13x^2+3x-12=0%%

Lösung mit Vieta

Artikel zum Thema

%%\frac13x^2+3x-12=0%%

Da %%a=\frac13\neq1%% ist muss man zuerst a ausklammern, um Vieta anwenden zu können.

%%\frac13\left(x^2+9x-36\right)=0%%

Jetzt ist in der Klammer %%a=1%% und wir erhalten %%-p = -9%% und %%q= -36%%.

Kandidaten für die Lösungen sind die Teiler von %%36%%: 1; 2; 3; 4; 6; 9; 12; 18; 36.

$$x_1$$

$$x_2$$

%%x_1+x_2%%

%%x_1\cdot x_2%%

$$-1$$

$$36$$

$$-1+36=35$$

$$(-1)\cdot36=-36$$

$$1$$

$$-36$$

$$1+(-36)=35$$

$$1\cdot(-36)=-36$$

$$-2$$

$$18$$

$$-2+18=16$$

$$(-2)\cdot18=-36$$

$$2$$

$$-18$$

$$2+(-18)=-9$$

$$2\cdot(-18)=-36$$

$$-3$$

$$12$$

$$-3+12=9$$

$$(-3)\cdot12=-36$$

$$3$$

$$-12$$

$$3+(-12)=-9$$

$$3\cdot(-12)=-36$$

$$-4$$

$$9$$

$$-4+9=5$$

$$(-4)\cdot9=-36$$

$$4$$

$$-9$$

$$4+(-9)=-5$$

$$4\cdot(-9)=-36$$

$$-6$$

$$6$$

$$-6+6=0$$

$$6\cdot(-6)=-36$$

Die Lösungen sind also %%x_1=3%% und %%x_2=-12%%.

Da nur für sie gilt: %%x_1+x_2=-9%% und %%x_1\cdot x_2=-36%%.

Lösung mit Mitternachtsformel

%%\frac13x^2+3x-12=0%%

Die Koeffizienten sind %%a=\frac13,\;b=3,\;c=-12%% .

Eingesetzt in die Mitternachtsformel erhältst du:

%%\begin{array}{l}x_{1,2}=\frac{-3\pm\sqrt{3^2-4\cdot{\displaystyle\frac13}\cdot\left(-12\right)}}{2\cdot{\displaystyle\frac13}}\end{array}%%

%%=\frac{-3\pm\sqrt{9+16}}{\displaystyle\frac23}=\frac{(-3\pm5)\cdot3}2%%

%%\Rightarrow x_1=3%% und %%x_2=-12%%