Aufgaben
Berechne den Quotienten.
153:9153:9

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schriftliche Division

    153:9=17  9            63    63            0\begin{array}{l}\;\;153:9=17\\\underline{-\;9\;\;}\\\;\;\;\;63\\\;\;\underline{-63}\\\;\;\;\;\;\;0\end{array}
153:(9)153:\left(-9\right)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schriftliche Division

    153:(9)=17  9            63    63            0\begin{array}{l}\;\;153:(-9)=-17\\\underline{-\;9\;\;}\\\;\;\;\;63\\\;\;\underline{-63}\\\;\;\;\;\;\;0\end{array}
(153):(9)\left(-153\right):\left(-9\right)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schriftliche Division

(153):(9)=17+    9            63      +63              0\begin{array}{l}\left(-153\right):(-9)=17\\\underline{+\;\;9\;\;\;}\\\;\;\;-63\\\underline{\;\;\;+63}\\\;\;\;\;\;\;\;0\end{array}
(153):9\left(-153\right):9
(153):9=17    9                63      63              0\begin{array}{l}\left(-153\right):9=-17\\\underline{-\;\;9\;\;\;}\\\;\;\;\;\;63\\\underline{\;\;\;-63}\\\;\;\;\;\;\;\;0\end{array}
256:(4)256:\left(-4\right)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schriftliche Division

      256:(4)=6424            16    16            0\begin{array}{l}\;\;\;256:(-4)=-64\\\underline{-24\;\;}\\\;\;\;\;16\\\;\;\underline{-16}\\\;\;\;\;\;\;0\\\end{array}
(80000):200\left(-80000\right):200

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schriftliche Division

(80000):200=400  800                    00            0                      00                0                      0\begin{array}{l}(-80000):200=-400\\\underline{-\;800\;\;\;}\\\;\;\;\;\;\;\;00\\\;\;\;\;\;\underline{-\;0\;\;}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;00\\\;\;\;\;\;\;\;\underline{-\;0}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0\\\end{array}
(374):(17)\left(-374\right):\left(-17\right)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schriftliche Division

(374):(17)=22  34              34      34              0\begin{array}{l}\left(-374\right):\left(-17\right)=22\\\underline{\;-34\;\;}\\\;\;\;\;\;34\\\;\;\underline{\;-34}\\\;\;\;\;\;\;\;0\end{array}
8400:(25)8400:\left(-25\right)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schriftliche Division

      8400:(25)=33675            90  75            150    150              0        \begin{array}{l}\;\;\;8400:\left(-25\right)=-336\\\underline{-75\;\;}\\\;\;\;\;90\\\underline{-\;75\;\;}\\\;\;\;\;150\\\;\;\underline{-150}\\\;\;\;\;\;\;\;0\;\;\;\;\\\end{array}
Welches ist die richtige Lösung der Multiplikation 456(321)456\cdot\left(-321\right)?
Begründe ohne Rechnung.

-14376
146376
-146374
-146376

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Multiplikation

Vorgehensweise: Versuche durch das Ausschlussprinzip alle bis auf eine Lösung zu eliminieren.
Hinweis 1: 456(321)456\cdot(-321) ist als Produkt einer positiven und einer negativen Zahl negativ.
\Rightarrow Positive Lösung lässt sich ausschließen.
Hinweis 2: Die Endstelle des Produkts ist das Produkt der Endstellen der einzelnen Faktoren.
\Rightarrow Die Endstelle muss 61=66\cdot1=6 sein.
\Rightarrow Lösungsmöglichkeit 146.374146.374 ist nicht die Lösung.
Hinweis 3: Mache eine Überschlagsrechung um die Größenordnung des Ergebnisses zu bestimmen.
500(300)=150.000\Rightarrow 500\cdot(-300)=-150.000\Rightarrow Lösungsmöglichkeit 14.37614.376 ist nicht die Lösung.
Zusammenfassung:
Die vierte Alternative erfüllt alle Einschränkungen.
146.376\Rightarrow-146.376 ist die gesuchte Lösung.
Finde die richtigen Rechenzeichen.
7    (6)    2=47\;\;\left(-6\right)\;\;2=4

7  +(6):2=47\;+\left(-6\right):2=4
(15)    (3)    4=1\left(-15\right)\;\;\left(-3\right)\;\;4=1

(15):(3)4=1\left(-15\right):\left(-3\right)-4=1
Bestimme jeweils mehrere Produkte aus zwei Faktoren mit dem Wert …
2020.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Teilermenge

Schreibe also die Zahl 2020 als Produkt von zwei ganzen Zahlen.
20=210=2(10)=45=4(5)=1(20)20=2\cdot10=-2\cdot(-10)=4\cdot5=-4\cdot(-5)=-1\cdot(-20)
3737.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Teilermenge

Die Zahl 3737 hat nur zwei Darstellungen als Produkt zweier ganzer Zahlen, da 3737 eine Primzahl ist.
37=137=1(37)37=1\cdot37=-1\cdot(-37)
36-36.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Teilermenge

36=218=2(18)=49=4(9)=312=3(12)=66-36=-2\cdot18=2\cdot(-18)=-4\cdot9=4\cdot(-9)=-3\cdot12=3\cdot(-12)=-6\cdot6

111-111.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Teilermenge

111=337=3(37)=1111-111=-3\cdot37=3\cdot(-37)=-1\cdot111
  1. Berechne den Wert des Terms %%\left(-7\right)\cdot6+2\cdot\left[-13-\left(-22\right)\right]%% .

  2. Wie viele Möglichkeiten gibt es, jeweils eine weitere Klammer so zu setzen, dass der Termwertwert kleiner wird?

Teilaufgabe 1

%%\left(-7\right)\cdot6+2\cdot\left[-13-\left(-22\right)\right]=%%

Minus und Minus gibt Plus.

%%=-42+2\cdot\left[-13+22\right]=%%

Addiere in der Klammer.

%%=-42+2\cdot9=%%

%%=-42+18=%%

%%=-24%%

 

 

 

Teilaufgabe 2

1. Möglichkeit

 

%%\left(-7\right)\cdot\left[6+2\cdot\left[-13-\left(-22\right)\right]\right]=%%

Minus und Minus gibt Plus.

%%=\left(-7\right)\cdot\left[6+2\cdot\left[-13+22\right]\right]=%%

Addiere in der Klammer.

%%=\left(-7\right)\cdot\left[6+2\cdot9\right]=%%

Multipliziere in der Klammer.

%%=\left(-7\right)\cdot\left[6+18\right]=%%

Addiere in der Klammer.

%%=\left(-7\right)\cdot24=%%

%%=-168%%

 

 

 

2. Möglichkeit

 

%%\left(-7\right)\cdot\left[6+2\right]\cdot\left[-13-\left(-22\right)\right]=%%

Minus und Minus gibt Plus.

%%=\left(-7\right)\cdot\left[6+2\right]\cdot\left[-13+22\right]=%%

Addiere in der Klammer.

%%=\left(-7\right)\cdot8\cdot9=%%

%%=-504%%

 

3. Möglichkeit

%%\left(-7\right)\cdot6+2\cdot\left[-(13-\left(-22\right))\right]=%%

Minus und Minus gibt Plus.

%%=\left(-7\right)\cdot6+2\cdot\left[-(13+22)\right]=%%

Addiere in der Klammer.

%%=\left(-7\right)\cdot6+2\cdot(-35)=%%

%%=-42-70%%

%%=-112%%

%%\Rightarrow%% Es gibt also drei Möglichkeiten durch das Einsetzen einer weiteren Klammer ein noch kleineres Ergebnis als das in der ersten Teilaufgabe bestimmte zu erhalten.

Gegeben ist der Term %%78-153:\left(-17\right)+13\cdot\left(-6\right)%%

  1. Berechne den Wert des Terms.

  2. Wie ändert sich der Wert des Terms, wenn man die Zahl 13 durch 1 ersetzt?

Teilaufgabe 1

%%78-153:\left(-17\right)+13\cdot\left(-6\right)=%%

Dividiere %%153%% durch %%(-17)%%

Multipliziere %%13%% mit %%(-6)%%.

%%=78+9-78=%%

 

%%=9%%

 

 

 

Teilaufgabe 2

%%78-153:\left(-17\right)+13\cdot\left(-6\right)%%

Ersetze 13 durch 1.

%%78-153:\left(-17\right)+1\cdot\left(-6\right)=%%

Dividiere %%153%% durch %%(-17)%%.

%%=78+9-6=%%

 

%%=81%%

Um die gesuchte Differenz zu ermitteln, subtrahiere vom Ergebnis das Ergebnis aus der vorherigen Teilaufgabe.

%%81-9=72%%

 

%%\Rightarrow%% Der Wert steigt durch die Ersetzung um 72.

Mancher hat sich vielleicht daran gewöhnt, dass der Wert des Produkts zweier Zahlen größer ist als jeder Faktor.

  1. Finde Beispiele aus dem Zahlenbereich %%\mathbb{N}_0%%, bei denen diese "Regel" verletzt ist.

  2. Beurteile diese "Regel" bei Multiplikationen von ganzen Zahlen.

Teilaufgabe a)

Als Gegenbeispiele können z.B. folgende Produkte und Faktoren gewählt werden:

  • %%2\cdot0=0<2%%

  • %%7\cdot0=0<7%%

Teilaufgabe b)

Diese "Regel" lässt sich beim Multiplizieren ganzer Zahlen nicht anwenden.

Bei der Multiplikationen von ganzen Zahlen kann der Wert des Produkts zweier Zahlen kleiner, gleich oder größer als einer der Faktoren sein.

Beispiele sind:

  • %%-2\cdot3<3%%

  • %%7\cdot11>7%%

  • %%7\cdot1=7%%

Mancher hat sich vielleicht daran gewöhnt, dass der Wert eines Quotienten kleiner ist als der Dividend. Finde Beispiele aus dem

  1. Zahlenbereich %%\mathbb{N}_0%% , bei denen diese "Regel" verletzt ist.

  2. Beurteile diese "Regel" bei Divisionen von ganzen Zahlen.

Teilaufgabe a)

Divisoren, bei denen das nicht zutrifft:

Divisor 1:

Beispiel: %%5:1=5%%

 

%%\;\;\Rightarrow\;\;%% In diesem Fall stimmt diese Heuristik nicht, da der Dividend und der Quotient dann gleich sind - und nicht der Quotient kleiner als der Dividend.

Divisor 0:

Beispiel: %%5:0%% ist nicht definiert.

 

%%\;\;\Rightarrow\;\;%% Also ist kein Vergleich von Quotient und Divident möglich.

Teilaufgabe b)

Diese "Regel" trifft nicht zu, wenn der Dividend negativ ist. Also sollte diese im Zusammenhang mit ganzen Zahlen aus dem Gedächtnis verdrängt werden.

Beispiel: %%\left(-8\right):2=-4%%

 

%%\Rightarrow\;(-8)<(-4)%%

 

Beispiel: %%\left(-8\right):\left(-2\right)=4%%

 

%%\Rightarrow\;(-8)<4%%

 

Berechne den Wert des Terms %%\left[\left(-6-33\right)\cdot\left(-1\right)-23\right]:\left(-16\right)%% .

Simone hat im Divisor das Minuszeichen vergessen. Welches Ergebnis erhält sie?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Klammern ausmultiplizieren

Wert berechnen


[(633)(1)23]:(16)\left[\left(-6-33\right)\cdot\left(-1\right)-23\right]:\left(-16\right)
Berechne die innerste Klammer
=[(39)(1)23]:(16)=\left[\left(-39\right)\cdot\left(-1\right)-23\right]:\left(-16\right)
Beachte Punkt vor Strich
=(+3923):(16)=\left(+39-23\right):(-16)
=(+16):(16)=\left(+16\right):\left(-16\right)
=1=-1


Simones Term berechnen

[(633)(1)23]:16\left[\left(-6-33\right)\cdot\left(-1\right)-23\right]:16
Dividend bleibt gleich
(+16):16=1\left(+16\right):16=1

        \;\;\Rightarrow\;\; Durch den Vorzeichenwechsel im Divisor findet in diesem Fall auch ein Vorzeichenwechsel des Ergebnisses statt.

Einfache Übungsaufgaben
(1001):(11)=\left(-1001\right):\left(-11\right)=

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Multiplikation und Division ganzer Zahlen

(1001):(11)\left(-1001\right):\left(-11\right)
Da "Minus und Minus gibt Plus" ist, ist das Ergebnis positiv. Dividiere 1001 und 11.
(1001):(11)=91\left(-1001\right):\left(-11\right)=91
17(17)=17\cdot\left(-17\right)=

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Multiplikation und Division ganzer Zahlen

17(17)17\cdot\left(-17\right)
Bestimme das Ergebnis der Rechnung, ohne die Vorzeichen zu beachten.
1717=28917\cdot17=289
"Plus mal Minus gibt Minus", also ist das Ergebnis der Aufgabe negativ.
17(17)=28917\cdot\left(-17\right)=-289

(18):6=\left(-18\right):6=

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Multiplikation und Division ganzer Zahlen

(18):6=\left(-18\right):6=
"Minus und Plus gibt Minus". Dividiere 18 und 6. Setze dann das richtige Vorzeichen.
(18):6=3\left(-18\right):6=-3

(17)(3)=\left(-17\right)\cdot\left(-3\right)=

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Multiplikation und Division ganzer Zahlen

(17)(3)\left(-17\right)\cdot\left(-3\right)
Da "Minus mal Minus gibt Plus", ist das Ergebnis positiv. Du kannst die Minuszeichen also weglassen.
(17)(3)=173\left(-17\right)\cdot\left(-3\right)=17\cdot3
Multipliziere 17 und 3.
173=5117\cdot3=51

(643)(43)=\left(-643\right)-\left(-43\right)=

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Addition und Subtraktion ganzer Zahlen

(643)(43)\left(-643\right)-\left(-43\right)
"-(-) ergibt +."
(643)(43)=(643)+43\left(-643\right)-\left(-43\right)=\left(-643\right)+43
Es ist ein Minuszeichen vorhanden. Bilde die Beträge der Zahlen.
(643)=643|(-643)|=643 und 43=43|43|=43
Ziehe nun den kleineren Betrag vom größeren Betrag ab.
64343=600643-43=600
Nun schreibst du das Vorzeichen der größeren Zahl vor das Ergebnis.
(643)+43=600\left(-643\right)+43=-600
10012002=1001-2002=

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Addition und Subtraktion ganzer Zahlen

100120021001-2002
Bilde die Beträge der Zahlen
1001=1001|1001|=1001 und 2002=2002|-2002|=2002
Ziehe den kleineren Betrag vom größeren Betrag ab.
20021001=10012002-1001=1001
Schreibe das Vorzeichen der größeren Zahl vor das Ergebnis.
10012002=10011001-2002=-1001
456(789)=456-\left(-789\right)=

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Addition und Subtraktion ganzer Zahlen

456(789)456-\left(-789\right)
"-(-) ergibt +."
456(789)=456+789456-(-789)=456+789
Addiere nun beide Zahlen.
456+789=1245456+789=1245
11919=-119-19=

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Addition und Subtraktion ganzer Zahlen

11919=-119-19=
Bilde die Beträge.
119=119|-119|=119 und 19=19|-19|=19
Da beide Zahlen ein Minus als Vorzeichen haben, addiert man die Beträge.
119+19=138119+19=138
Vor das Ergebnis wird noch ein Minus geschrieben.
11919=138-119-19=-138
6781+246=-6781+246=

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Addition und Subtraktion ganzer Zahlen

6781+246=-6781+246=
Bilde die Beträge der Zahlen.
6781=6781∣−6781∣=6781 und 246=246∣246∣=246
Ziehe den kleineren Betrag vom größeren Betrag ab.
6781246=65356781-246=6535
Schreibe vor das Ergebnis das Vorzeichen der größeren Zahl.
6781+246=6535-6781+246=-6535
2+3=-2+3=

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Addition und Subtraktion ganzer Zahlen

2+3=-2+3=
Bilde die Beträge der Zahlen.
2=2|-2|=2 und 3=3|3|=3
Ziehe den kleineren Betrag vom größeren Betrag ab.
32=13-2=1
Setze vor die Summe das Vorzeichen der größeren Zahl.
2+3=+1-2+3=+1
2005(4011)=-2005-\left(-4011\right)=

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Addition und Subtraktion ganzer Zahlen

2005(4011)-2005-\left(-4011\right)
"-(-) ist gleich +."
=2005+4011==-2005+4011=
Bilde die Beträge der Zahlen.
2005=2005∣-2005∣=2005 und 4011=4011 ∣4011∣=4011
Ziehe den kleineren Betrag vom größeren Betrag ab.
40112005=20064011-2005=2006
Schreibe vor das Ergebnis das Vorzeichen der größeren Zahl.
2005(4011)=2006-2005-\left(-4011\right)=2006
4+5(6)4+5\cdot\left(-6\right)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Addition und Subtraktion ganzer Zahlen

4+5(6)4+5\cdot\left(-6\right)
Beachte "Punkt vor Strich" und "Plus mal Minus gibt Minus".
4+5(6)=4304+5\cdot\left(-6\right)=4-30
Nun bildest du die Beträge der Zahlen.
4=4|4|=4 und 30=30|-30|=30
Ziehe dann den kleineren Betrag vom größeren Betrag ab.
304=2630-4=26
Setze vor das Ergebnis das Vorzeichen der größeren Zahl.
4+5(6)=264+5\cdot\left(-6\right)=-26
35:(1522)35:\left(15-22\right)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Addition und Subtraktion ganzer Zahlen und Multiplikation und Division ganzer Zahlen.
35:(1522)35:\left(15-22\right)
Das Ausrechnen der Klammer hat die höchste Priorität.
35:(1522)=35:(7)35:\left(15-22\right)=35:\left(-7\right)
"Plus und Minus ergibt Minus. Dividiere die Beträge der Zahlen und setze dann das Vorzeichen.
35:(7)=535:(-7)=-5

17+63:(7)-17+63:\left(-7\right)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Addition und Subtraktion ganzer Zahlen und Multiplikation und Division ganzer Zahlen.
17+63:(7)-17+63:\left(-7\right)
"Punkt vor Strich" beachten. Dividiere zuerst die Beträge von 63 und (-7). Setze dann das Minuszeichen davor.
17+63:(7)=17+(9)-17+63:\left(-7\right)=-17+\left(-9\right)
Es sind zwei Minuszeichen vorhanden. Addiere zuerst die Beträge der Zahlen. Setze anschließend ein Minuszeichen vor das Ergebnis.
17+(9)=26-17+\left(-9\right)=-26
(800):25+200\left(-800\right):25+200
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Addition und Subtraktion ganzer Zahlen und Multiplikation und Division ganzer Zahlen.
(800):25+200\left(-800\right):25+200
Beachte "Punkt vor Strich".
(800):25+200=32+200\left(-800\right):25+200=-32+200
Bilde die Beträge der beiden Zahlen.
32=32|-32|=32 und 200=200|200|=200
Ziehe den kleineren Betrag vom größeren Betrag ab.
20032=168200-32=168
Setze nun das Vorzeichen der größeren Zahl vor die Summe.
32+200=168-32+200=168
113355557799=113355-557799=

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Addition und Subtraktion ganzer Zahlen

113355557799113355-557799
Bilde die Beträge der Zahlen.
113355=113355|113355|=113355 und 557799=557799|557799|=557799
Ziehe vom größeren Betrag den kleineren Betrag ab.
557799113355=444444557799-113355=444444
Setze nun das Vorzeichen der größeren Zahl vor die Summe.
113355557799=444444113355-557799=-444444

Längere Rechenaufgaben

%%\left(-5\right)\cdot\left(-3\right)\cdot2-\left(-2\right)\cdot10%%

%%\left(-5\right)\cdot\left(-3\right)\cdot2-\left(-2\right)\cdot10=%%

Wegen "Punkt vor Strich" werden die linke und rechte Seite der Subtraktion getrennt betrachtet.

%%\left(-5\right)\cdot\left(-3\right)\cdot2=30%%

%%\left(-2\right)\cdot10=-20%%

%%=30-(-20)=%%

Minus und Minus kannst du dann zu Plus vereinfachen.

%%=30+20=%%

 

%%=50%%

%%\left(-45-66\right)\cdot\left(-35+56\right)=%%

%%\left(12345-543\right)-\left[3\cdot41+\left(7890-3456\right)\right]%%

%%\left[\left(123+9875\right)-34\cdot27+2^5+4536\cdot14\right]\cdot17%%

%%\left[\left(123+9875\right)-34\cdot27+2^5+4536\cdot14\right]\cdot17=%%

Addiere in der innersten Klammer.

%%=\left[9998-34\cdot27+2^5+4536\cdot14\right]\cdot17=%%

Multipliziere in der Klammer aus und berechne die Potenz.

%%=\left[9998-918+32+63504\right]\cdot17=%%

Subtrahiere in der Klammer.

%%=\left[9080+32+63504\right]\cdot17=%%

Addiere in der Klammer.

%%=72.616\cdot17=%%

%%=1.234.472%%

 

%%117-17\cdot\left[8-\left(-17\right)\cdot\left(-11-9\right)\right]=%%

Rechnen mit negativen Zahlen

%%117-17\cdot\left[8-\left(-17\right)\cdot\left(-11-9\right)\right]=%%

Berechne zunächst die 2. runde Klammer durch Subtraktion.

%%117-17\cdot\left[8-\left(-17\right)\cdot\left(-20\right)\right]=%%

Multipliziere die beiden runden Klammern.

%%117-17\cdot\left[8-\left(+340\right)\right]=%%

Berechne die eckige Klammer durch Subtraktion.

%%117-17\cdot\left[-332\right]=%%

%%117+5644=%%

%%=5761%%

%%\left(4536\cdot14+2^5\right)+\left[\left(9875+123\right)-27\cdot34\right]%%

%%\left(4536\cdot14+2^5\right)+\left[\left(9875+123\right)-27\cdot34\right]=%%

Addiere in der innersten Klammer.

%%=\left(4536\cdot14+2^5\right)+\left[9998-27\cdot34\right]=%%

Multipliziere in der Klammer aus und berechne die Potenz.

%%=\left(63504+32\right)+\left[9998-918\right]=%%

Addiere bzw. subtrahiere in den Klammern.

%%=63536+9080=%%

%%=72616%%

%%8\cdot\left[\left(-16\right):4\right]-\left[\left(-16\right)+4\right]=%%

Rechnen mit negativen Zahlen

%%8\cdot\left[\left(-16\right):4\right]-\left[\left(-16\right)+4\right]=%%

Berechne die runden Klammern durch Division und Addition.

%%8\cdot\left[-4\right]-\left[-12\right]=%%

Multipliziere und wandle "-[-] in +" um.

%%-32+12=%%

%%=-20%%