Aufgaben
Berechne den Quotienten.
153:9153:9

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schriftliche Division

    153:9=17  9            63    63            0\begin{array}{l}\;\;153:9=17\\\underline{-\;9\;\;}\\\;\;\;\;63\\\;\;\underline{-63}\\\;\;\;\;\;\;0\end{array}
(153):(9)\left(-153\right):\left(-9\right)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schriftliche Division

(153):(9)=17+    9            63      +63              0\begin{array}{l}\left(-153\right):(-9)=17\\\underline{+\;\;9\;\;\;}\\\;\;\;-63\\\underline{\;\;\;+63}\\\;\;\;\;\;\;\;0\end{array}
(153):9\left(-153\right):9
(153):9=17    9                63      63              0\begin{array}{l}\left(-153\right):9=-17\\\underline{-\;\;9\;\;\;}\\\;\;\;\;\;63\\\underline{\;\;\;-63}\\\;\;\;\;\;\;\;0\end{array}
256:(4)256:\left(-4\right)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schriftliche Division

      256:(4)=6424            16    16            0\begin{array}{l}\;\;\;256:(-4)=-64\\\underline{-24\;\;}\\\;\;\;\;16\\\;\;\underline{-16}\\\;\;\;\;\;\;0\\\end{array}
(80000):200\left(-80000\right):200

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schriftliche Division

(80000):200=400  800                    00            0                      00                0                      0\begin{array}{l}(-80000):200=-400\\\underline{-\;800\;\;\;}\\\;\;\;\;\;\;\;00\\\;\;\;\;\;\underline{-\;0\;\;}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;00\\\;\;\;\;\;\;\;\underline{-\;0}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0\\\end{array}
(374):(17)\left(-374\right):\left(-17\right)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schriftliche Division

(374):(17)=22  34              34      34              0\begin{array}{l}\left(-374\right):\left(-17\right)=22\\\underline{\;-34\;\;}\\\;\;\;\;\;34\\\;\;\underline{\;-34}\\\;\;\;\;\;\;\;0\end{array}
8400:(25)8400:\left(-25\right)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schriftliche Division

      8400:(25)=33675            90  75            150    150              0        \begin{array}{l}\;\;\;8400:\left(-25\right)=-336\\\underline{-75\;\;}\\\;\;\;\;90\\\underline{-\;75\;\;}\\\;\;\;\;150\\\;\;\underline{-150}\\\;\;\;\;\;\;\;0\;\;\;\;\\\end{array}
Welches ist die richtige Lösung der Multiplikation 456(321)456\cdot\left(-321\right)?
Begründe ohne Rechnung.

-14376
146376
-146374
-146376

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Multiplikation

Vorgehensweise: Versuche durch das Ausschlussprinzip alle bis auf eine Lösung zu eliminieren.
Hinweis 1: 456(321)456\cdot(-321) ist als Produkt einer positiven und einer negativen Zahl negativ.
\Rightarrow Positive Lösung lässt sich ausschließen.
Hinweis 2: Die Endstelle des Produkts ist das Produkt der Endstellen der einzelnen Faktoren.
\Rightarrow Die Endstelle muss 61=66\cdot1=6 sein.
\Rightarrow Lösungsmöglichkeit 146.374146.374 ist nicht die Lösung.
Hinweis 3: Mache eine Überschlagsrechung um die Größenordnung des Ergebnisses zu bestimmen.
500(300)=150.000\Rightarrow 500\cdot(-300)=-150.000\Rightarrow Lösungsmöglichkeit 14.37614.376 ist nicht die Lösung.
Zusammenfassung:
Die vierte Alternative erfüllt alle Einschränkungen.
146.376\Rightarrow-146.376 ist die gesuchte Lösung.
Finde die richtigen Rechenzeichen.
7    (6)    2=47\;\;\left(-6\right)\;\;2=4

7  +(6):2=47\;+\left(-6\right):2=4
(15)    (3)    4=1\left(-15\right)\;\;\left(-3\right)\;\;4=1

(15):(3)4=1\left(-15\right):\left(-3\right)-4=1
Bestimme jeweils mehrere Produkte aus zwei Faktoren mit dem Wert …
2020.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Teilermenge

Schreibe also die Zahl 2020 als Produkt von zwei ganzen Zahlen.
20=210=2(10)=45=4(5)=1(20)20=2\cdot10=-2\cdot(-10)=4\cdot5=-4\cdot(-5)=-1\cdot(-20)
3737.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Teilermenge

Die Zahl 3737 hat nur zwei Darstellungen als Produkt zweier ganzer Zahlen, da 3737 eine Primzahl ist.
37=137=1(37)37=1\cdot37=-1\cdot(-37)
36-36.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Teilermenge

36=218=2(18)=49=4(9)=312=3(12)=66-36=-2\cdot18=2\cdot(-18)=-4\cdot9=4\cdot(-9)=-3\cdot12=3\cdot(-12)=-6\cdot6

111-111.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Teilermenge

111=337=3(37)=1111-111=-3\cdot37=3\cdot(-37)=-1\cdot111
  1. Berechne den Wert des Terms %%\left(-7\right)\cdot6+2\cdot\left[-13-\left(-22\right)\right]%% .

  2. Wie viele Möglichkeiten gibt es, jeweils eine weitere Klammer so zu setzen, dass der Termwertwert kleiner wird?

Teilaufgabe 1

%%\left(-7\right)\cdot6+2\cdot\left[-13-\left(-22\right)\right]=%%

Minus und Minus gibt Plus.

%%=-42+2\cdot\left[-13+22\right]=%%

Addiere in der Klammer.

%%=-42+2\cdot9=%%

%%=-42+18=%%

%%=-24%%

 

 

 

Teilaufgabe 2

1. Möglichkeit

 

%%\left(-7\right)\cdot\left[6+2\cdot\left[-13-\left(-22\right)\right]\right]=%%

Minus und Minus gibt Plus.

%%=\left(-7\right)\cdot\left[6+2\cdot\left[-13+22\right]\right]=%%

Addiere in der Klammer.

%%=\left(-7\right)\cdot\left[6+2\cdot9\right]=%%

Multipliziere in der Klammer.

%%=\left(-7\right)\cdot\left[6+18\right]=%%

Addiere in der Klammer.

%%=\left(-7\right)\cdot24=%%

%%=-168%%

 

 

 

2. Möglichkeit

 

%%\left(-7\right)\cdot\left[6+2\right]\cdot\left[-13-\left(-22\right)\right]=%%

Minus und Minus gibt Plus.

%%=\left(-7\right)\cdot\left[6+2\right]\cdot\left[-13+22\right]=%%

Addiere in der Klammer.

%%=\left(-7\right)\cdot8\cdot9=%%

%%=-504%%

 

3. Möglichkeit

%%\left(-7\right)\cdot6+2\cdot\left[-(13-\left(-22\right))\right]=%%

Minus und Minus gibt Plus.

%%=\left(-7\right)\cdot6+2\cdot\left[-(13+22)\right]=%%

Addiere in der Klammer.

%%=\left(-7\right)\cdot6+2\cdot(-35)=%%

%%=-42-70%%

%%=-112%%

%%\Rightarrow%% Es gibt also drei Möglichkeiten durch das Einsetzen einer weiteren Klammer ein noch kleineres Ergebnis als das in der ersten Teilaufgabe bestimmte zu erhalten.

Gegeben ist der Term %%78-153:\left(-17\right)+13\cdot\left(-6\right)%%

  1. Berechne den Wert des Terms.

  2. Wie ändert sich der Wert des Terms, wenn man die Zahl 13 durch 1 ersetzt?

Teilaufgabe 1

%%78-153:\left(-17\right)+13\cdot\left(-6\right)=%%

Dividiere %%153%% durch %%(-17)%%

Multipliziere %%13%% mit %%(-6)%%.

%%=78+9-78=%%

 

%%=9%%

 

 

 

Teilaufgabe 2

%%78-153:\left(-17\right)+13\cdot\left(-6\right)%%

Ersetze 13 durch 1.

%%78-153:\left(-17\right)+1\cdot\left(-6\right)=%%

Dividiere %%153%% durch %%(-17)%%.

%%=78+9-6=%%

 

%%=81%%

Um die gesuchte Differenz zu ermitteln, subtrahiere vom Ergebnis das Ergebnis aus der vorherigen Teilaufgabe.

%%81-9=72%%

 

%%\Rightarrow%% Der Wert steigt durch die Ersetzung um 72.

Mancher hat sich vielleicht daran gewöhnt, dass der Wert des Produkts zweier Zahlen größer ist als jeder Faktor.

  1. Finde Beispiele aus dem Zahlenbereich %%\mathbb{N}_0%%, bei denen diese "Regel" verletzt ist.

  2. Beurteile diese "Regel" bei Multiplikationen von ganzen Zahlen.

Teilaufgabe a)

Als Gegenbeispiele können z.B. folgende Produkte und Faktoren gewählt werden:

  • %%2\cdot0=0<2%%

  • %%7\cdot0=0<7%%

Teilaufgabe b)

Diese "Regel" lässt sich beim Multiplizieren ganzer Zahlen nicht anwenden.

Bei der Multiplikationen von ganzen Zahlen kann der Wert des Produkts zweier Zahlen kleiner, gleich oder größer als einer der Faktoren sein.

Beispiele sind:

  • %%-2\cdot3<3%%

  • %%7\cdot11>7%%

  • %%7\cdot1=7%%

Mancher hat sich vielleicht daran gewöhnt, dass der Wert eines Quotienten kleiner ist als der Dividend. Finde Beispiele aus dem

  1. Zahlenbereich %%\mathbb{N}_0%% , bei denen diese "Regel" verletzt ist.

  2. Beurteile diese "Regel" bei Divisionen von ganzen Zahlen.

Teilaufgabe a)

Divisoren, bei denen das nicht zutrifft:

Divisor 1:

Beispiel: %%5:1=5%%

 

%%\;\;\Rightarrow\;\;%% In diesem Fall stimmt diese Heuristik nicht, da der Dividend und der Quotient dann gleich sind - und nicht der Quotient kleiner als der Dividend.

Divisor 0:

Beispiel: %%5:0%% ist nicht definiert.

 

%%\;\;\Rightarrow\;\;%% Also ist kein Vergleich von Quotient und Divident möglich.

Teilaufgabe b)

Diese "Regel" trifft nicht zu, wenn der Dividend negativ ist. Also sollte diese im Zusammenhang mit ganzen Zahlen aus dem Gedächtnis verdrängt werden.

Beispiel: %%\left(-8\right):2=-4%%

 

%%\Rightarrow\;(-8)<(-4)%%

 

Beispiel: %%\left(-8\right):\left(-2\right)=4%%

 

%%\Rightarrow\;(-8)<4%%

 

Berechne den Wert des Terms %%\left[\left(-6-33\right)\cdot\left(-1\right)-23\right]:\left(-16\right)%% .

Simone hat im Divisor das Minuszeichen vergessen. Welches Ergebnis erhält sie?

Wert berechnen

 

%%\left[\left(-6-33\right)\cdot\left(-1\right)-23\right]:\left(-16\right)%%

Berechne die innerste Klammer

%%=\left[\left(-39\right)\cdot\left(-1\right)-23\right]:\left(-16\right)%%

Beachte Punkt vor Strich

%%=\left(+39-23\right):(-16)%%

 

%%=\left(+16\right):\left(-16\right)%%

 

%%=-1%%

 

 

 

Simones Term berechnen

 

%%\left[\left(-6-33\right)\cdot\left(-1\right)-23\right]:16%%

Dividend bleibt gleich

%%\left(+16\right):16=1%%

 

%%\;\;\Rightarrow\;\;%% Durch den Vorzeichenwechsel im Divisor findet in diesem Fall auch ein Vorzeichenwechsel des Ergebnisses statt.

Einfache Übungsaufgaben
(1001):(11)=\left(-1001\right):\left(-11\right)=

Rechnen mit negativen Zahlen

(1001):(11)=\left(-1001\right):\left(-11\right)=
Da "minus durch minus=plus" ist, ist das Ergebnis positiv. Dividiere.
=91=91

17(17)=17\cdot\left(-17\right)=

Rechnen mit negativen Zahlen


17(17)17\cdot\left(-17\right)
Bestimme das Ergebnis der Rechnung, ohne die Vorzeichen zu beachten.
1717=28917\cdot17=289
"Plus mal Minus gibt Minus", also ist das Ergebnis der Aufgabe negativ.
17(17)=28917\cdot\left(-17\right)=-289

(18):6=\left(-18\right):6=

Rechnen mit negativen Zahlen


(18):6=\left(-18\right):6=
=3=-3

(17)(3)=\left(-17\right)\cdot\left(-3\right)=

Rechnen mit negativen Zahlen


(17)(3)=\left(-17\right)\cdot\left(-3\right)=
Da "Minus mal Minus gibt Plus", ist das Ergebnis positiv. Du kannst die Minuszeichen also weglassen.
=173==17\cdot3=
=51=51

(643)(43)=\left(-643\right)-\left(-43\right)=

Rechnen mit negativen Zahlen

10012002=1001-2002=
=1001=-1001

Rechnen mit negativen Zahlen

456(789)=456-\left(-789\right)=
"-(-) ergibt +."
=456+789=456+789
=1245=1245

Rechnen mit negativen Zahlen

11919=-119-19=
=138=-138
6781+246=-6781+246=
2+3=-2+3=

Rechnen mit negativen Zahlen

2+3=-2+3=
=+1=+1
2005(4011)=-2005-\left(-4011\right)=

Rechnen mit negativen Zahlen


2005(4011)=-2005-\left(-4011\right)=
"-(-) ist gleich +."
=2005+4011==-2005+4011=
=2006=2006
4+5(6)4+5\cdot\left(-6\right)

Term berechnen

4+5(6)=4+5\cdot\left(-6\right)=
Beachte "Punkt vor Strich" und "Plus mal Minus gibt Minus".
=430=4-30

=26=-26

35:(1522)35:\left(15-22\right)
35:(1522)=35:\left(15-22\right)=
Das Ausrechnen der Klammer hat die höchste Priorität.
=35:(7)=35:\left(-7\right)

=5=-5

17+63:(7)-17+63:\left(-7\right)
17+63:(7)=-17+63:\left(-7\right)=
=17+(9)==-17+\left(-9\right)=
=26=-26

(800):25+200\left(-800\right):25+200

Term bestimmen


(800):25+200=\left(-800\right):25+200=
Beachte "Punkt vor Strich".
=32+200=-32+200

=168=168

113355557799=113355-557799=

Rechnen mit negativen Zahlen

113355557799=113355-557799=
=444444=-444444


Längere Rechenaufgaben

%%\left(-5\right)\cdot\left(-3\right)\cdot2-\left(-2\right)\cdot10%%

%%\left(-5\right)\cdot\left(-3\right)\cdot2-\left(-2\right)\cdot10=%%

Wegen "Punkt vor Strich" werden die linke und rechte Seite der Subtraktion getrennt betrachtet.

%%\left(-5\right)\cdot\left(-3\right)\cdot2=30%%

%%\left(-2\right)\cdot10=-20%%

%%=30-(-20)=%%

Minus und Minus kannst du dann zu Plus vereinfachen.

%%=30+20=%%

 

%%=50%%

%%\left(-45-66\right)\cdot\left(-35+56\right)=%%

%%\left(12345-543\right)-\left[3\cdot41+\left(7890-3456\right)\right]%%

%%\left[\left(123+9875\right)-34\cdot27+2^5+4536\cdot14\right]\cdot17%%

%%\left[\left(123+9875\right)-34\cdot27+2^5+4536\cdot14\right]\cdot17=%%

Addiere in der innersten Klammer.

%%=\left[9998-34\cdot27+2^5+4536\cdot14\right]\cdot17=%%

Multipliziere in der Klammer aus und berechne die Potenz.

%%=\left[9998-918+32+63504\right]\cdot17=%%

Subtrahiere in der Klammer.

%%=\left[9080+32+63504\right]\cdot17=%%

Addiere in der Klammer.

%%=72.616\cdot17=%%

%%=1.234.472%%

 

%%117-17\cdot\left[8-\left(-17\right)\cdot\left(-11-9\right)\right]=%%

Rechnen mit negativen Zahlen

%%117-17\cdot\left[8-\left(-17\right)\cdot\left(-11-9\right)\right]=%%

Berechne zunächst die 2. runde Klammer durch Subtraktion.

%%117-17\cdot\left[8-\left(-17\right)\cdot\left(-20\right)\right]=%%

Multipliziere die beiden runden Klammern.

%%117-17\cdot\left[8-\left(+340\right)\right]=%%

Berechne die eckige Klammer durch Subtraktion.

%%117-17\cdot\left[-332\right]=%%

%%117+5644=%%

%%=5761%%

%%\left(4536\cdot14+2^5\right)+\left[\left(9875+123\right)-27\cdot34\right]%%

%%\left(4536\cdot14+2^5\right)+\left[\left(9875+123\right)-27\cdot34\right]=%%

Addiere in der innersten Klammer.

%%=\left(4536\cdot14+2^5\right)+\left[9998-27\cdot34\right]=%%

Multipliziere in der Klammer aus und berechne die Potenz.

%%=\left(63504+32\right)+\left[9998-918\right]=%%

Addiere bzw. subtrahiere in den Klammern.

%%=63536+9080=%%

%%=72616%%

%%8\cdot\left[\left(-16\right):4\right]-\left[\left(-16\right)+4\right]=%%

Rechnen mit negativen Zahlen

%%8\cdot\left[\left(-16\right):4\right]-\left[\left(-16\right)+4\right]=%%

Berechne die runden Klammern durch Division und Addition.

%%8\cdot\left[-4\right]-\left[-12\right]=%%

Multipliziere und wandle "-[-] in +" um.

%%-32+12=%%

%%=-20%%

%%\left[\left(-2\right)^3-\left(-3\right)^2\right]\cdot\left[1+\left(-2\right)^2\cdot\left(-1\right)^{17}\right]%%

%%\left[\left(-2\right)^3-\left(-3\right)^2\right]\cdot\left[1+\left(-2\right)^2\cdot\left(-1\right)^{17}\right]=%%

Berechne die Potenzen.

%%=\left[-8-9\right]\cdot\left[1+4\cdot\left(-1\right)\right]=%%

Multipliziere in der Klammer.

%%=\left[-8-9\right]\cdot\left[1+\left(-4\right)\right]=%%

Subtrahiere bzw. addiere in den Klammern.

%%=\left(-17\right)\cdot\left(-3\right)=%%

%%=51%%

 

Fülle die Multiplikationstabelle aus, indem du in jedes Feld den Wert einträgst, der sich ergibt, wenn man die zugehörigen Zahlen in der Spalte und in der Zeile multipliziert.

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

-4

-3

-2

-1

0

0

0

0

0

1

0

2

3

4

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Multiplikation mit ganzen Zahlen

%%\cdot%%

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

-4

16

12

8

4

0

-4

-8

-12

-16

-3

12

9

6

3

0

-3

-6

-9

-12

-2

8

6

4

2

0

-2

-4

-6

-8

-1

4

3

2

1

0

-1

-2

3

-4

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

2

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

3

-12

-9

-6

-3

0

3

6

9

12

4

-16

-12

-8

-4

0

4

8

12

16

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