Wenn du Geld auf die Bank bringst, erhältst du dafür Zinsen: Das ist ein kleiner Geldbetrag, den die Bank dir dafür zahlt, dass du ihr das Geld leihst. Die Zinsen sind umso höher je mehr Geld du eingezahlt hast. Die Höhe der Zinsen berechnet die Bank mit Hilfe eines festgelegten Prozentsatzes, des sogenannten Zinssatzes. Der Zinssatz bezieht sich meistens auf ein Jahr und die so entstehenden Zinsen werden als Jahreszinsen bezeichnet.
Das Geld, das du auf die Bank gebracht hast, ist der Grundwert und wird als Kapital bezeichnet.


Die Zinsrechnung ist also nur eine Anwendung der Prozentrechung. Die Begriffe Prozentwert, Prozentsatz und Grundwert im Gegensatz zur Prozentrechnung anders genannt, da sie sich ausschließlich auf Geldbeträge beziehen.

Prozentwert %%W%%

Prozentsatz %%p%%

Grundwert %%G%%

%%W = p \cdot G%%

Zinsen %%Z%%

Zinssatz %%p%%

Kapital %%K%%

%%Z = p \cdot K%%

Zinsen

Der Gewinn durch Verzinsung mit dem Zinssatz %%p%% in Prozent auf das eingesetzte Kapital %%K%% nach einem Jahr wird mit der Formel

$$Z= p \cdot K$$

berechnet.

   

Beispiel

Der Zinssatz ist %%3 \%%% pro Jahr und das Kapital %%2000\,€%%. Wie groß ist der Gewinn durch Zinsen nach einem Jahr?

Gegeben:

Kapital  %%K=2000\,€%%
Zinssatz %%p=3\% %%

Gesucht:

Zinsen %%Z%%

Berechnung mittels Formel

Berechnung mittels Dreisatz

Berechnung mittels vermehrtem Grundwert

%%Z= p \cdot K%%

%%Z=3\% \cdot 2000\,€%%

%%Z= 0,03 \cdot 2000\,€%%

%%Z =60\,€%%

2000€3%

Das vorhandene Kapital nach einem Jahr bezeichnen wir mit %%K^+%%, dieses setzt sich zusammen aus dem Startkapital von %%2000\,€%% und zusätzlichen Zinsen %%Z%%. Das Startkapital ist der Grundwert, welcher %%100\%%% entspricht. Nach einem Jahr hat man aufgrund des Zinssatzes von %%3\%%% dann insgesamt %%103\%%% des Ausgangskapitals.

$$\begin{align}K^+ &= K \cdot (1+p) \\ K^+ &= K \cdot (1+3\%) \\ K^+ &= K \cdot (1+0,03) \\ K^+ &= 2000\,€ \cdot 1\text{,}03 \\ K^+ &= 2060\,€ \end{align}$$

Die Zinsen betragen also %%2060\,€-2000\,€=60\,€%%

Die Zinsen betragen %%60\,€%%.
Nach einem Jahr beträgt das Kapital von %%2000\,€%% somit %%2000\,€+60\,€ = 2060\,€%%.

  

Zinseszins

Von Zinseszins spricht man, wenn die bereits ausgezahlten Zinsen weiter verzinst werden. Das ist dann der Fall, wenn die Dauer der Anlage das Verzinsungsintervall überschreitet. Dies ist zum Beispiel der Fall, wenn man jährlich Zinsen erhält und man das Geld für mehrere Jahre anlegt.

$$K_0 \xrightarrow{\cdot (1+p)} K_1 \xrightarrow{\cdot (1+p)} K_2 \xrightarrow{\cdot (1+p)} K_3 \xrightarrow{\cdot (1+p)} \cdots \xrightarrow{\cdot (1+p)} K_{n-1} \xrightarrow{\cdot (1+p)} K_n$$

In jedem Jahr multipliziert sich das Kapital also mit dem Faktor %%(1+p)%%, das heißt nach %%n%% Jahren wird das Ausgangskapital mit dem Faktor %%(1+p)^n%% multipliziert. Der Gewinn durch Zinseszins nach %%n%% Verzinsungsintervallen mit dem Zinssatz %%p%% auf das ursprünglich eingesetzte Kapital %%K_0%% wird also mit der Formel

$$K_n=K_0\cdot\left(1+ p\right)^n$$

berechnet.

  

Beispiel

Im oberen Beispiel macht der Anleger im ersten Jahr %%60\,€%% Gewinn durch Zinsen. Dieser Gewinn wird nach einem Jahr auf dem Konto gutgeschrieben. Im zweiten Jahr erhöht sich damit das eingezahlte Kapital automatisch auf %%2060\,€%%.

Wie groß ist also der Gewinn nach fünf Jahren?

Gegeben:
Kapital %%K_0=2000\,€%%
Prozentsatz %%p=3\% %%
Laufzeit %%5%% Jahre

Gesucht:
Zinsen nach 5 Jahren

Benutze die Formel  %%K_n=K_0\cdot\left(1+ p\right)^n%%  mit  %%n=5%% .

%%K_5=2000\,€\cdot\left(1+3\%\right)^5%%

Berechne die Klammer und das Produkt.

%%K_5=2000\,€\cdot\left(1+0,03\right)^5%%

%%K_5=2000\,€\cdot1.15927=2318.55\,€%%

Der Gesamtgewinn ist die Differenz  %%K_5-K_0%%

%%K_5-K_0=2318.55\,€-2000\,€=318.55\,€%%

Übungsaufgaben

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Zu article Zinsrechnung: FEHLER
Hannes 2014-08-29 08:11:54
Dieser Artikel steckt voller böser Fehler! Zum Beispiel K1=2000€⋅(3/100)=2060€!!!!!!
Hier sollte sich möglichst bald jemand drum kümmern!
Tobias 2015-05-07 14:40:32
Hallo Hannes,

ich habe den Artikel überarbeitet. Den von dir angesprochenen Fehler habe ich dabei ausgebessert.

Gruß,
Tobi
Hannes 2015-05-07 20:30:21
Vielen Dank Tobi,
eine wichtige Sache hätte ich noch:
Im Artikel ist ein krasser Sprung von Zins zu Zinsenszins. Beim Zinsenszins taucht die Formel K*(1+p) auch. Diese wird vorher nirgends erklärt.

Übrigens sollte in Artikel die "man-Form" verwendet werden ;)
LG
Hannes
Tobias 2015-05-28 14:44:18
Hallo Hannes,

ich habe jetzt bei den Zinsen die dritte Variante mit vermehrtem Grundwert eingefügt. Dadurch ist die Formel K*(1+p) schon Mal bekannt.
Die Überleitung zum Zinseszins würde ich nicht ausführlicher machen als sie jetzt ist. Durch die Pfeile ist es denke ich gut dargestellt. Falls dir eine gute kurze Überleitung zum Zinseszins einfällt wäre das natürlich super.

Gruß,
Tobi