Das kleinste gemeinsame Vielfache, kurz: %%\mathrm{kgV}%%, mehrerer Zahlen ist die kleinste natürliche Zahl, die ein ganzzahliges Vielfaches jeder dieser Zahlen ist.

Ein "Vielfaches" - z.B. von der Zahl %%a%% - heißt dabei das Ergebnis der Multiplikation von %%a%% mit einer ganzen Zahl.

Erklärung am Beispiel

%%\mathrm{kgV}(4;14)=28%%, denn

  1. %%28=4\cdot7%% und %%28=14\cdot2%% und

  2. es gibt keine kleinere Zahl als %%28%%, die ein Vielfaches von %%4%% und %%14%% ist.

Berechnung durch Primfaktorzerlegung

Zunächst bestimmt man die Primfaktorzerlegung der Zahlen.

Das %%\mathrm{kgV}%% der Zahlen ist das Produkt ihrer Primfaktoren, wobei gemeinsame Faktoren nicht mehrfach gezählt werden.

Beispiel

Bestimme das kleinste gemeinsame Vielfache von %%24%% und %%36%%.

%%24=2\cdot2\cdot2\cdot3%%

%%36=2\cdot2\cdot3\cdot3%%

In den Primfaktorzerlegungen kommen zweimal die %%2%% und einmal die %%3%% gemeinsam vor. Diese werden also nicht mehrfach gezählt.

Man kann, um den Überblick zu behalten, die gemeinsamen Faktoren in einer der Zerlegungen streichen.

g

Die übrigen Faktoren ergeben multipliziert das kleinste gemeinsame Vielfache:

%%\begin{array}{rl} \mathrm{kgV}(24;36)&=2\cdot2\cdot2\cdot3\cdot3\\ &=72 \end{array}%%

Berechnung mit dem größten gemeinsamen Teiler

Wenn man den größten gemeinsamen Teiler, kurz: %%\mathrm{ggT}%%, der Zahlen kennt, kann man die Formel

$$\mathrm{kgV}(x_1,\dots,x_n)=\frac{x_1\cdot\; \dots\; \cdot x_n}{\mathrm{ggT}(x_1,\dots, x_n)}$$

anwenden, um das kleinste gemeinsame Vielfache zu bestimmen.

Beispiel

$$\begin{array}{rl} \mathrm{ggT}(24;36)&=12\\ \mathrm{kgV}(24;36)&=\displaystyle\frac{24\cdot36}{\mathrm{ggT}(24;36)}\\ &=\displaystyle\frac{864}{12}=72 \end{array}$$

Falls noch nicht bekannt, berechnet man den %%\mathrm{ggT}%% der Zahlen und berechnet das %%\mathrm{kgV}%% wie angegeben.

Übungsaufgaben

Beispielaufgaben
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Zu article Kleinstes gemeinsames Vielfaches: Erster Satz beim Artikel Kleinstes gemeinsames Vielfaches
Renate 2015-12-15 14:39:09
Ich denke, bei "ein Vielfaches" sollte man irgendwohin verlinken, wo dieser Begriff erklärt ist - am besten auf einen eigenen - wahrscheinlich momentan noch zu erstellenden - Artikel dazu.
Nessa 2015-12-23 09:42:48
Hallo Renate,

ich habe den Begriff noch erklärt. Vielleicht können wir wegen eines extra Artikels noch mal schreiben.
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