Kleinstes gemeinsames Vielfaches

Erklärung am Beispiel

Das kleinste gemeinsame Vielfache von $4$ und $14$ nennt man $\text{kgV}(4;14)$. Um es zu berechnen, kannst du alle eine Reihe von Vielfachen von $4$ und $14$ aufschreiben. Die kleinste Zahl, die ein Vielfaches von $4$ und von $14$ ist, ist der $\text{kgV}$.

Vielfache von 4:

4,8,12,16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, ...

Vielfache von 14:

14, 28, ...

$\mathrm{kgV}(4;14)=28$, denn

1. $28=4\cdot7$ und $28=14\cdot2$ und

2. es gibt keine kleinere Zahl als $28$, die ein Vielfaches von $4$ und $14$ ist.

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Berechnung durch Primfaktorzerlegung

Zunächst bestimmt man die Primfaktorzerlegung der Zahlen.

Das $\mathrm{kgV}$ der Zahlen ist das Produkt ihrer Primfaktoren. Faktoren, die beide gemeinsam haben, werden nicht mehrfach gezählt.

Beispiel 1

Berechne $\text{kgV}\left(4;14\right)$ mit Primfaktorzerlegung. Schreibe gleiche Faktoren untereinander.

Der kgV ist das Produkt aller Primfaktoren. Gleiche Primfaktoren in einer Reihe werden nur einmal genutzt.

Beispiel 2

Bestimme das kleinste gemeinsame Vielfache von $24$ und $36$.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}24&=&2&\cdot&2&\cdot&2&\cdot&3\\36&=&2&\cdot&2&&&\cdot&3&\cdot&3\\\text{kgV}(24;36)&=&2&\cdot&2&\cdot &2&\cdot&3&\cdot&3&=&\textcolor{red}{72}\end{array}$

Beispiel 3

Auch mit mehreren Zahlen kannst du das kleinste gemeinsame Vielfache bestimmen. Das kgV von 16, 6 und 9 berechnest du so:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}16&=&2&\cdot&2&\cdot&2&\cdot&2\\6&=&2&&&&&&&\cdot&3\\9&=&&&&&&&&&3&\cdot&3\\\text{kgV}(16;6;9)&=&2&\cdot&2&\cdot &2&\cdot&2&\cdot&3&\cdot&3&=&\textcolor{red}{144}\end{array}$

Berechnung mit dem größten gemeinsamen Teiler

Wenn man den größten gemeinsamen Teiler, kurz: $\mathrm{ggT}$, der Zahlen $a$ und $b$ kennt, kann man die Formel

anwenden, um das kleinste gemeinsame Vielfache zu bestimmen.

Beispiel