Das kleinste gemeinsame Vielfache , kurz: k g V \mathrm{kgV} kgV , mehrerer Zahlen ist die kleinste natürliche Zahl , die ein ganzzahliges Vielfaches jeder dieser Zahlen ist.
Ein "Vielfaches" - z.B. von der Zahl 6 6 6 - bezeichnet dabei das Ergebnis der Multiplikation von 6 6 6 mit einer ganzen Zahl (also sind Vielfache von 6 6 6 beispielsweise 2 ⋅ 6 = 12 2\cdot6=12 2 ⋅ 6 = 12 oder 5 ⋅ 6 = 30 5\cdot 6=30 5 ⋅ 6 = 30 ).
Erklärung am Beispiel Das kleinste gemeinsame Vielfache von 4 4 4 und 14 14 14 nennt man kgV ( 4 ; 14 ) \text{kgV}(4;14) kgV ( 4 ; 14 ) . Um es zu berechnen, kannst du alle eine Reihe von Vielfachen von 4 4 4 und 14 14 14 aufschreiben. Die kleinste Zahl, die ein Vielfaches von 4 4 4 und von 14 14 14 ist, ist der kgV \text{kgV} kgV .
Vielfache von 4:
4,8,12,16, 20, 24, 28 , 32, 36, 40, ...
Vielfache von 14:
14, 28 , ...
k g V ( 4 ; 14 ) = 28 \mathrm{kgV}(4;14)=28 kgV ( 4 ; 14 ) = 28 , denn
28 = 4 ⋅ 7 28=4\cdot7 28 = 4 ⋅ 7 und 28 = 14 ⋅ 2 28=14\cdot2 28 = 14 ⋅ 2 und
es gibt keine kleinere Zahl als 28 28 28 , die ein Vielfaches von 4 4 4 und 14 14 14 ist.
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Berechnung durch Primfaktorzerlegung Zunächst bestimmt man die Primfaktorzerlegung der Zahlen.
Das k g V \mathrm{kgV} kgV der Zahlen ist das Produkt ihrer Primfaktoren. Faktoren, die beide gemeinsam haben, werden nicht mehrfach gezählt.
Beispiel 1 Berechne kgV ( 4 ; 14 ) \text{kgV}\left(4;14\right) kgV ( 4 ; 14 ) mit Primfaktorzerlegung. Schreibe gleiche Faktoren untereinander.
4 = 2 ⋅ 2 14 = 2 ⋅ 7 \displaystyle \def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}4&=&2&\cdot&2\\14&=&2&&&\cdot&7\end{array} 4 14 = = 2 2 ⋅ 2 ⋅ 7 Der kgv ist das Produkt aller Primafaktoren. Gleiche Primfaktoren in einer Reihe werden nur einmal genutzt.
4 = 2 ⋅ 2 14 = 2 ⋅ 7 kgV ( 4 ; 14 ) = 2 ⋅ 2 ⋅ 7 = 28 \displaystyle \def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}4&=&2&\cdot&2\\14&=&2&&&\cdot&7\\\text{kgV}(4;14)&=&2&\cdot&2&\cdot&7&=\textcolor{red}{28}\end{array} 4 14 kgV ( 4 ; 14 ) = = = 2 2 2 ⋅ ⋅ 2 2 ⋅ ⋅ 7 7 = 28 Beispiel 2 Bestimme das kleinste gemeinsame Vielfache von 24 24 24 und 36 36 36 .
24 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3 36 = 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 3 kgV ( 24 ; 36 ) = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 3 = 72 \def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}24&=&2&\cdot&2&\cdot&2&\cdot&3\\36&=&2&\cdot&2&&&\cdot&3&\cdot&3\\\text{kgV}(24;36)&=&2&\cdot&2&\cdot &2&\cdot&3&\cdot&3&=&\textcolor{red}{72}\end{array} 24 36 kgV ( 24 ; 36 ) = = = 2 2 2 ⋅ ⋅ ⋅ 2 2 2 ⋅ ⋅ 2 2 ⋅ ⋅ ⋅ 3 3 3 ⋅ ⋅ 3 3 = 72
▸ Lösung mit Wegstreichen
Beispiel 3 Auch mit mehreren Zahlen kannst du das kleinste gemeinsame Vielfache bestimmen. Das kgV von 16, 6 und 9 berechnest du so:
16 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 6 = 2 ⋅ 3 9 = 3 ⋅ 3 kgV ( 16 ; 6 ; 9 ) = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 3 = 144 \def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}16&=&2&\cdot&2&\cdot&2&\cdot&2\\6&=&2&&&&&&&\cdot&3\\9&=&&&&&&&&&3&\cdot&3\\\text{kgV}(16;6;9)&=&2&\cdot&2&\cdot &2&\cdot&2&\cdot&3&\cdot&3&=&\textcolor{red}{144}\end{array} 16 6 9 kgV ( 16 ; 6 ; 9 ) = = = = 2 2 2 ⋅ ⋅ 2 2 ⋅ ⋅ 2 2 ⋅ ⋅ 2 2 ⋅ ⋅ 3 3 3 ⋅ ⋅ 3 3 = 144
Berechnung mit dem größten gemeinsamen Teiler Wenn man den größten gemeinsamen Teiler , kurz: g g T \mathrm{ggT} ggT , der Zahlen kennt, kann man die Formel
k g V ( x 1 , … , x n ) = x 1 ⋅ … ⋅ x n g g T ( x 1 , … , x n ) \displaystyle \mathrm{kgV}(x_1,\dots,x_n)=\frac{x_1\cdot\; \dots\; \cdot x_n}{\mathrm{ggT}(x_1,\dots, x_n)} kgV ( x 1 , … , x n ) = ggT ( x 1 , … , x n ) x 1 ⋅ … ⋅ x n anwenden, um das kleinste gemeinsame Vielfache zu bestimmen.
Beispiel g g T ( 24 ; 36 ) = 12 k g V ( 24 ; 36 ) = 24 ⋅ 36 g g T ( 24 ; 36 ) = 864 12 = 72 \def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rl}\mathrm{ggT}(24;36)&=12\\\mathrm{kgV}(24;36)&=\displaystyle\frac{24\cdot36}{\mathrm{ggT}(24;36)}\\&=\displaystyle\frac{864}{12}=72\end{array} ggT ( 24 ; 36 ) kgV ( 24 ; 36 ) = 12 = ggT ( 24 ; 36 ) 24 ⋅ 36 = 12 864 = 72
Falls noch nicht bekannt, berechnet man den g g T \mathrm{ggT} ggT der Zahlen und berechnet das k g V \mathrm{kgV} kgV wie angegeben.
Übungsaufgaben Weitere Aufgaben zum Thema findest du im folgenden Aufgabenordner:Aufgaben zu ggT und kgV
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