2Lösung Aufgabe 2b

Aufgabenstellung

Bei einem Zufallsexperiment wird eine ideale Münze so lange geworfen, bis zum zweiten Mal Zahl $(Z)(Z)$ oder zum zweiten Mal Wappen $(W)(W)$ oben liegt. Als Ergebnismenge wird festgelegt: $\{ZZ;WW;ZWZ;ZWW;WZZ;WZW\}\backslash \{ZZ;\; \backslash ;\; WW;\; \backslash ;\; ZWZ;\; \backslash ;\; ZWW;\; \backslash ;\; WZZ;\; \backslash ;\; WZW\backslash \}$

a) Begründen Sie, dass dieses Zufallsexperiment kein Laplace-Experiment ist. (2 BE)

Lösung

Die Zufallsgröße $XX$ drückt die Anzahl der Münzwurfe für die entsprechenden Ereignisse aus. Das bedeutet, dass man für jedes Element aus der Ergebnismenge jeweils ein Wert für $XX$ erhält, der besagt, wie oft die Münze geworfen wurde. Trage alle Ergebnisse zur Übersichtlichkeit in eine Tabelle ein:

Die Wahrscheinlichkeiten $PP$ der einzelnen Elementarereignisse hast du bereits in Teilaufgabe a) ausgerechnet. Daraus kannst du die Wahrscheinlichkeit, das Experiment nach zwei und drei Münzwürfen abzubrechen, ausrechnen.

Die Wahrscheinlichkeit für $X=2X=2$ ist:

Die Wahrscheinlichkeit für $X=3X=3$ ist:

Der Mittelwert, also der Erwartungswert, dieser Zufallsgröße $XX$ ergibt sich wie folgt:

$E[X]=x_1\cdot P(X=x_1)+\dots +x_n\cdot P(X=x_n)E[X]\; =\; x\_1\; \backslash cdot\; P(X=x\_1)\; +\; \backslash ldots\; +\; x\_n\; \backslash cdot\; P(X=x\_n)$

Übertrage die Werte aus der Tabelle in die allgemeine Formel und berechne den Wert.

$E[X]=2\cdot P(X=2)+3\cdot P(X=3)E[X]\; =\; 2\; \backslash cdot\; P(X=2)\; +\; 3\; \backslash cdot\; P(X=3)$

$E[X]=2\cdot \frac{1}{2}+3\cdot \frac{1}{2}E[X]\; =\; 2\; \backslash cdot\; \backslash frac\{1\}\{2\}\; +\; 3\; \backslash cdot\; \backslash frac\{1\}\{2\}$

$E[X]=1+\frac{3}{2}E[X]\; =\; 1\; +\; \backslash frac\{3\}\{2\}$

$E[X]=\frac{5}{2}E[X]\; =\; \backslash frac\{5\}\{2\}$

Der Erwartungswert $EE$ der Zufallsgröße $XX$ ist also $\frac{5}{2}\backslash frac\{5\}\{2\}$. In der Sachsituation bedeutet dieser Mittelwert, dass die Münze im Schnitt 2,5 mal geworfen wird.