1Lösung Aufgabe 2a

Aufgabenstellung

Bei einem Zufallsexperiment wird eine ideale Münze so lange geworfen, bis zum zweiten Mal Zahl $(Z)(Z)$ oder zum zweiten Mal Wappen $(W)(W)$ oben liegt. Als Ergebnismenge wird festgelegt: $\{ZZ;WW;ZWZ;ZWW;WZZ;WZW\}\backslash \{ZZ;\; \backslash ;\; WW;\; \backslash ;\; ZWZ;\; \backslash ;\; ZWW;\; \backslash ;\; WZZ;\; \backslash ;\; WZW\backslash \}$

Lösung

Ein Laplace-Experiment ist ein Zufallsexperiment, bei dem alle Elementarereignisse dieselbe Wahrscheinlichkeit haben.

Die Wahrscheinlichkeit ist für einen Münzwurf immer gleich, d. h. $P(Z)=P(W)=\frac{1}{2}P(Z)\; =\; P(W)\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\}$. Jedoch setzt sich die Ereignismenge aus verschieden langen Kombinationen von Münzwurfen zusammen. Aus diesem Grund können die möglichen Elementarereignisse nicht dieselbe Wahrscheinlichkeit haben.

Diese Wahrscheinlichkeitsverteilung der Ergebnismenge kannst du berechnen, indem du die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen Ereignisse multiplizierst:

• $P(ZZ)=P(Z)\cdot P(Z)=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{4}P(ZZ)\; =\; P(Z)\; \backslash cdot\; P(Z)\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\}\; \backslash cdot\; \backslash frac\{1\}\{2\}\; =\; \backslash frac\{1\}\{4\}$

• $P(WW)=P(W)\cdot P(W)=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{4}P(WW)\; =\; P(W)\; \backslash cdot\; P(W)\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\}\; \backslash cdot\; \backslash frac\{1\}\{2\}\; =\; \backslash frac\{1\}\{4\}$

• $P(ZWZ)=P(Z)\cdot P(W)\cdot P(Z)=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{8}P(ZWZ)\; =\; P(Z)\; \backslash cdot\; P(W)\; \backslash cdot\; P(Z)\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\}\; \backslash cdot\; \backslash frac\{1\}\{2\}\; \backslash cdot\; \backslash frac\{1\}\{2\}\; =\; \backslash frac\{1\}\{8\}$

• $P(ZWW)=P(Z)\cdot P(W)\cdot P(W)=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{8}P(ZWW)\; =\; P(Z)\; \backslash cdot\; P(W)\; \backslash cdot\; P(W)\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\}\; \backslash cdot\; \backslash frac\{1\}\{2\}\; \backslash cdot\; \backslash frac\{1\}\{2\}\; =\; \backslash frac\{1\}\{8\}$

• $P(WZZ)=P(W)\cdot P(Z)\cdot P(Z)=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{8}P(WZZ)\; =\; P(W)\; \backslash cdot\; P(Z)\; \backslash cdot\; P(Z)\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\}\; \backslash cdot\; \backslash frac\{1\}\{2\}\; \backslash cdot\; \backslash frac\{1\}\{2\}\; =\; \backslash frac\{1\}\{8\}$

• $P(WZW)=P(W)\cdot P(Z)\cdot P(W)=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{8}P(WZW)\; =\; P(W)\; \backslash cdot\; P(Z)\; \backslash cdot\; P(W)\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\}\; \backslash cdot\; \backslash frac\{1\}\{2\}\; \backslash cdot\; \backslash frac\{1\}\{2\}\; =\; \backslash frac\{1\}\{8\}$

Somit ist das angegebene Zufallsexperiment kein Laplace-Experiment.