2Lösung Aufgabe 2b

Aufgabenstellung

An einem P-Seminar nehmen acht Mädchen und sechs Jungen teil, darunter Anna und Tobias. Für eine Präsentation wird per Los aus den Teilnehmerinnen und Teilnehmern ein Team aus vier Personen zusammengestellt.

a) Geben Sie zu jedem der folgenden Ereignisse einen Term an, mit dem die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses berechnet werden kann. $A$ : "Anna und Tobias gehören dem Team an." $B$ : "Das Team besteht aus gleich vielen Mädchen und Jungen." (3 BE)

b) Beschreiben Sie im Sachzusammenhang ein Ereignis, dessen Wahrscheinlichkeit durch den folgenden Term berechnet werden kann:

$\frac{\begin{pmatrix}14\\4\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}6\\4\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}14\\4\end{pmatrix}}$ (2 BE)

Lösung

Sei $C$ das Ereignis, das durch die angegebene Wahrscheinlichkeit beschrieben werden kann. Man kann versuchen, den obigen Term geeignet umzuformen:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rrll}P(C) &= &\frac{\begin{pmatrix}14\\4\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}6\\4\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}14\\4\end{pmatrix}} &= \frac{\begin{pmatrix}14\\4\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}14\\4\end{pmatrix}} - \frac{\begin{pmatrix}6\\4\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}14\\4\end{pmatrix}} = 1 - \frac{\begin{pmatrix}6\\4\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}14\\4\end{pmatrix}}\end{array}$

Durch $\frac{\begin{pmatrix}6\\4\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}14\\4\end{pmatrix}}$ wird ausgedrückt, wie wahrscheinlich es ist, $4$ Jungs aus $6$ auszulosen. Da ein Team bereits aus $4$ Mitgliedern besteht, muss man keine Person mehr aus den Mädchen auslosen. Anders aufgeschrieben sieht es so aus:

\displaystyle \frac{\begin{pmatrix}6\\4\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}14\\4\end{pmatrix}} = \frac{\begin{pmatrix}8\\0\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}6\\4\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}14\\4\end{pmatrix}}

Aufgepasst!

$P(\overline{C}) = \frac{\begin{pmatrix}8\\0\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}6\\4\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}14\\4\end{pmatrix}}$

$P(C) = 1-\frac{\begin{pmatrix}8\\0\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}6\\4\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}14\\4\end{pmatrix}}$

Das Ereignis $C$ ist also das Gegenereignis davon, dass ein Team nur aus $4$ Jungen besteht. Es gilt also $C$ : "Das Team besteht aus mindestens einem Mädchen."

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