3Lösung 2a

Aufgabenstellung

Gegeben sind die Punkte $A (- 2 ∣ 1 ∣ 4)$ und $B (- 4 ∣ 0 ∣ 6)$ .

a) Bestimmen Sie die Koordinaten des Punkts $C$ so, dass gilt: $\overrightarrow{CA} = 2 \cdot \overrightarrow{AB}$ . (2 BE)

Lösung

Schreibe die gegebene Gleichung $\overrightarrow{CA} = 2 \cdot \overrightarrow{AB}$ in Koordinatenform auf und rechne aus.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rrl}\overrightarrow{CA} &= &2 \cdot \overrightarrow{AB} \\\begin{pmatrix}-2\\1\\4\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}c_1\\c_2\\c_3\end{pmatrix} &= &2 \cdot \begin{pmatrix}\begin{pmatrix}-4\\0\\6\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-2\\1\\4\end{pmatrix}\end{pmatrix} \\\begin{pmatrix}-2\\1\\4\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}c_1\\c_2\\c_3\end{pmatrix} &= &2 \cdot \begin{pmatrix}-2\\-1\\2\end{pmatrix} \\\begin{pmatrix}-2\\1\\4\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}c_1\\c_2\\c_3\end{pmatrix} &= &\begin{pmatrix}-4\\-2\\4\end{pmatrix} \\\ -\begin{pmatrix}c_1\\c_2\\c_3\end{pmatrix} &= &\begin{pmatrix}-4\\-2\\4\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}-2\\1\\4\end{pmatrix} \\\ -\begin{pmatrix}c_1\\c_2\\c_3\end{pmatrix} &= &\begin{pmatrix}-2\\-3\\0\end{pmatrix}\\\begin{pmatrix}c_1\\c_2\\c_3\end{pmatrix} &= &\begin{pmatrix}2\\3\\0\end{pmatrix}\end{array}$

Die Koordinaten des Punktes $C$ sind also $(2 ∣ 3 ∣ 0)$ .

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