4Lösung 2b

Aufgabenstellung

Gegeben sind die Punkte $A(-2|1|4)$ und $B(-4|0|6)$.

a) Bestimmen Sie die Koordinaten des Punkts $C$ so, dass gilt: $\overrightarrow{CA} = 2 \cdot \overrightarrow{AB}$. (2 BE)

Betrachtet werden Geraden, für welche die Bedingungen $\mathrm{I}$ und $\mathrm{II}$ gelten:

$\mathrm{II} \quad$ Der Abstand jeder dieser Geraden vom Punkt $A$ beträgt $3$.

Lösung

Die allgemeine Geradengleichung in der analystischen Geometrie lässt sich schreiben als $g: \overrightarrow{x} = \overrightarrow{P} + \lambda \overrightarrow{u}$

Bestimmung der Geradengleichung $g$

Die angegebene Gerade $g$ soll durch die Punkte $A$ und $B$ verlaufen. Deswegen wählt man als Stützvektor den Ortsvektor $\overrightarrow{OA}$ und als Richtungsvektor $\overrightarrow{AB}$.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rrrlll}g: &\overrightarrow{x} &= &\overrightarrow{OA} &+ &\lambda \cdot \overrightarrow{AB}\\g: &\overrightarrow{x} &= &\begin{pmatrix}-2\\1\\4\end{pmatrix} &+ &\lambda \cdot \begin{pmatrix}\begin{pmatrix}-4\\0\\6\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}-2\\1\\4\end{pmatrix}\end{pmatrix} \\g: &\overrightarrow{x} &= &\begin{pmatrix}-2\\1\\4\end{pmatrix} &+ &\lambda \cdot \begin{pmatrix}-2\\-1\\2\end{pmatrix}\end{array}$

Bestimmung der neuen Geradengleichung

Sei die allgemeine Geradengleichung der neuen Gerade $h: \overrightarrow{x} = \overrightarrow{P} + \lambda \overrightarrow{u}$

Bedingung $\mathrm{I}$: Orthogonalität

Zwei Vektoren stehen orthogonal zueinander, wenn sie senkrecht aufeinander stehen. Dies ist der Fall, falls ihr Skalarprodukt Null ergibt. Bei Geraden überprüfst du diese Bedingung, indem du das Skalarprodukt ihrer Richtungsvektoren bildest.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rrl}\overrightarrow{AB} \circ \overrightarrow u &= &0 \\\begin{pmatrix}-2\\-1\\2\end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix}u_1\\u_2\\u_3\end{pmatrix} &= &0 \\-2u_1 + (-u_2) + 2u_3 &= &0\end{array}$

Allerdings bekommst du eine Gleichung mit drei Unbekannten. In solch einem Fall darfst du zwei Unbekannte frei auswählen. Du kannst hierfür z. B. $u_1 = t$ und $u_3 = t$ für $t \in \mathbb{R}$ wählen. Dann gilt

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rrl}-2u_1 - u_2 + 2u_3 &= &0 \\-2t - u_2 + 2t &= &0 \\-u_2 &= &0 \\u_2 &= &0\end{array}$

Der Richtungsvektor der neuen Gerade $h$ lautet also

$\overrightarrow{u} = \begin{pmatrix}t\\0\\t\end{pmatrix} = t \cdot \begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}$

Bedingung $\mathrm{II}$: Abstand

Es fehlt nur noch der Stützpunkt $P$ der Gerade $h$. Dieser soll zum Stützpunkt $A$ der Gerade $g$ den Abstand $3$ haben.

Wie du auch auf dem Bild rechts erkennen kannst, gibt es zwei Möglichkeiten, eine passende Gerade $h$ zu finden. Der Stützpunkt $P_1$ bzw. $P_2$ haben den Abstand $3$ zu dem Punkt $A$. Deswegen musst du in zwei Schritten denken:

Normiere den Vektor $\overline{AB}$, bringe ihn also zuerst auf die Länge $1$.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rrl}\frac{\overline{AB}}{|\overline{AB}|} &= &\frac{\begin{pmatrix}-2\\-1\\2\end{pmatrix}}{\sqrt{(-2)^2+(-1)^2+2^2}} \\&= &\frac{1}{3} \cdot \begin{pmatrix}-2\\-1\\2\end{pmatrix}\end{array}$

Multipliziere diese Normierung mit $3$, um den richtigen Abstand zu bekommen.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rrl}3 \cdot \frac{\overline{AB}}{|\overline{AB}|} &= &3 \cdot \frac{1}{3} \cdot \begin{pmatrix}-2\\-1\\2\end{pmatrix} \\&= &\begin{pmatrix}-2\\-1\\2\end{pmatrix}\end{array}$

Nun kannst du den Stützpunkt $P_ {1{,}2}$ der Geraden $h_{1{,}2}$ berechnen, indem du ihn zum Stützpunkt $A$ addierst bzw. von $A$ subtrahierst.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rrl}P_{1{,}2} &= &A \; \pm \; 3 \cdot \frac{\overline{AB}}{|\overline{AB}|} \\P_1 &= &A + 3 \cdot \frac{\overline{AB}}{|\overline{AB}|} \\P_1 &= &\begin{pmatrix}-2\\1\\4\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}-2\\-1\\2\end{pmatrix} \\\color{#CC0000}{P_1} &= &\begin{pmatrix}-4\\0\\6\end{pmatrix} \\P_2 &= &A - 3 \cdot \frac{\overline{AB}}{|\overline{AB}|} \\P_2 &= &\begin{pmatrix}-2\\1\\4\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}-2\\-1\\2\end{pmatrix} \\\color{#CC0000}{P_2} &= &\begin{pmatrix}0\\2\\2\end{pmatrix}\end{array}$

Die gesuchten Geraden sind also

$h_1: \overrightarrow{x} = \begin{pmatrix}-4\\0\\6\end{pmatrix} + \mu \begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}$

$h_2: \overrightarrow{x} = \begin{pmatrix}0\\2\\2\end{pmatrix} + \mu \begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}$