Hinweis
In der Literatur wird fĂŒr den Begriff ''lineare Abbildung'' auch der Begriff ''Vektorraumhomomorphismus'' oder kurz ''Homomorphismus'' genutzt. Das altgriechische Wort homĂłs steht fĂŒr âgleichâ, morphĂ© steht fĂŒr âFormâ. Wörtlich ĂŒbersetzt ist ein ''Vektorraumhomomorphismus'' also eine Abbildung zwischen VektorrĂ€umen, welche die âFormâ der VektorrĂ€ume gleich lĂ€sst.
ErklÀrung zur Definition
Die charakteristischen Gleichungen der linearen Abbildung sind und . Was bedeuten diese beiden Eigenschaften intuitiv? Nach der AdditivitĂ€tseigenschaft ist es egal, ob man und zuerst addiert und dann abbildet oder ob man beide Vektoren erst abbildet und dann addiert. Beide Wege fĂŒhren zum selben Ergebnis:
Was besagt die HomogenitÀtseigenschaft? UnabhÀngig davon ob man zuerst mit multipliziert und dann abbildet oder den Vektor erst abbildet und dann mit multipliziert, ist das Ergebnis das Gleiche:
Die charakteristischen Eigenschaften der linearen Abbildungen verdeutlichen also, dass die Reihenfolge der Funktionsabbildung und der Vektorraumoperationen egal ist.
Zusammenhang mit linearen Funktionen und affinen Abbildungen
Lineare Funktionen wurden in der Schule als Funktionen der Form mit . Es handelt sich dabei nicht um lineare Abbildungen. Sie sind es nur fĂŒr . So ist zum Beispiel fĂŒr :
Dass die in der Schule gelÀufigen linearen Funktionen dennoch etwas mit den linearen Abbildungen zu tun haben, wird einem klar, wenn man die linearen Abbildungen von betrachtet. Diese sind Abbildungen der Form mit . Die Funktionen der Form aus der Schule sind sogenannte affin-lineare Abbildungen:
Sie sind die Summe einer linearen Abbildung und eines konstanten Terms .
Affine Abbildung bilden Geraden auf Geraden ab und erhalten dabei ParallelitÀt und TeilverhÀltnisse von Strecken.
Wir können jede affine Abbildunge immer in eine lineare Abbildung und eine Translation zerlegen. Es gilt also . Weil die Translationen einfach zu beschreiben sind, ist der lineare Teil meistens interessanter. In der Theorie schauen wir uns deswegen nur den linearen Teil an, um nicht das mitzuschleppen.
Ăbungsaufgaben
Weitere Aufgaben zum Thema findest du im folgenden Aufgabenordner:
Aufgaben zu linearen Abbildungen
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