Definition: Lineare Abbildung

Hinweis

In der Literatur wird für den Begriff ''lineare Abbildung'' auch der Begriff ''Vektorraumhomomorphismus'' oder kurz ''Homomorphismus'' genutzt. Das altgriechische Wort homós steht für „gleich“, morphé steht für „Form“. Wörtlich übersetzt ist ein ''Vektorraumhomomorphismus'' also eine Abbildung zwischen Vektorräumen, welche die „Form“ der Vektorräume gleich lässt.

Erklärung zur Definition

Die charakteristischen Gleichungen der linearen Abbildung sind $f(v_1+v_2)=f(v_1)+f(v_2)f(v\_\{1\}+v\_\{2\})=f(v\_\{1\})+f(v\_\{2\})$ und $f(\lambda \cdot v)=\lambda \cdot f(v)f(\backslash lambda\; \backslash cdot\; v)=\backslash lambda\; \backslash cdot\; f(v)$. Was bedeuten diese beiden Eigenschaften intuitiv? Nach der Additivitätseigenschaft ist es egal, ob man $v_{1}v\_\{1\}$ und $v_{2}v\_\{2\}$ zuerst addiert und dann abbildet oder ob man beide Vektoren erst abbildet und dann addiert. Beide Wege führen zum selben Ergebnis:

Was besagt die Homogenitätseigenschaft? Unabhängig davon ob man zuerst $vv$ mit $\lambda \backslash lambda$ multipliziert und dann abbildet oder den Vektor erst abbildet und dann mit $\lambda \backslash lambda$ multipliziert, ist das Ergebnis das Gleiche:

Die charakteristischen Eigenschaften der linearen Abbildungen verdeutlichen also, dass die Reihenfolge der Funktionsabbildung und der Vektorraumoperationen egal ist.

Zusammenhang mit linearen Funktionen und affinen Abbildungen

Lineare Funktionen wurden in der Schule als Funktionen der Form $f(x)=mx+tf(x)=mx+t$ mit $m,t\in \mathbb{R}m,t\backslash in\; \backslash mathbb\; \{R\}$. Es handelt sich dabei nicht um lineare Abbildungen. Sie sind es nur für $t=0t=0$. So ist zum Beispiel für $t=2t=2$:

Dass die in der Schule geläufigen linearen Funktionen dennoch etwas mit den linearen Abbildungen zu tun haben, wird einem klar, wenn man die linearen Abbildungen von $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}f:\backslash mathbb\; \{R\}\backslash to\; \backslash mathbb\; \{R\}$ betrachtet. Diese sind Abbildungen der Form $f(x)=mxf(x)=mx$ mit $m\in \mathbb{R}m\backslash in\; \backslash mathbb\; \{R\}$. Die Funktionen der Form $f(x)=mx+tf(x)=mx+t$ aus der Schule sind sogenannte affin-lineare Abbildungen:

Sie sind die Summe einer linearen Abbildung und eines konstanten Terms $tt$.

Affine Abbildung bilden Geraden auf Geraden ab und erhalten dabei Parallelität und Teilverhältnisse von Strecken.

Wir können jede affine Abbildunge $x\mapsto A(x)x\backslash mapsto\; A(x)$ immer in eine lineare Abbildung $x\mapsto L(x)x\backslash mapsto\; L(x)$ und eine Translation $x\mapsto x+tx\backslash mapsto\; x+t$ zerlegen. Es gilt also $A(x)=L(x)+tA(x)=L(x)+t$. Weil die Translationen $x\mapsto x+tx\backslash mapsto\; x+t$ einfach zu beschreiben sind, ist der lineare Teil meistens interessanter. In der Theorie schauen wir uns deswegen nur den linearen Teil an, um nicht das $x+tx+t$ mitzuschleppen.