Definition: Lineare Abbildung

DefinitionLineare Abbildung

Seien $\color {Orange}V$ und $\color {Purple}W$ Vektorräume über demselben Körper $K$ . Dabei seien ${\color {Orange}+_{{}_{V}}}\colon {\color {Orange}V}\times {\color {Orange}V}\to {\color {Orange}V}$ und ${\color {Purple}+_{{}_{W}}}\colon {\color {Purple}W}\times {\color {Purple}W}\to {\color {Purple}W}$ die jeweiligen inneren Verknüpfungen.

Weiter seien ${\color {Orange}\cdot _{{}_{V}}}\colon K\times {\color {Orange}V}\to {\color {Orange}V}$ und ${\color {Purple}\cdot _{{}_{W}}}\colon K\times {\color {Purple}W}\to {\color {Purple}W}$ die skalaren Multiplikationen.

Nun sei $f\colon {\color {Orange}V}\to {\color {Purple}W}$ eine Abbildung zwischen diesen Vektorräumen. Wir nennen $f$ eine lineare Abbildung von ${\color {Orange}V}$ nach ${\color {Purple}W}$ , wenn die folgenden beiden Eigenschaften erfüllt sind:

Additivität: Für alle $v_{1},v_{2}\in V$ gilt, dass $f\left(v_1 {\color{Orange} +_{{}_V} } v_2\right)=f(v_1) {\color{Purple} +_{{}_W}} f(v_2)$
Homogenität: Für alle $v\in V$ und $\lambda \in K$ gilt, dass $f(\lambda {\color{Orange} \cdot_{{}_V}} v) = \lambda {\color{Purple} \cdot_{{}_W}} f(v)$

Beachte

Wenn es aus dem Kontext klar ist, schreiben wir zukünftig auch einfach „ $+$ “ anstatt ${\color{Orange} +_{{}_V} }$ und ${\color{Purple} +_{{}_W}}$ . Ebenso wird häufig „ $\cdot$ “ anstelle von ${\color{Orange} \cdot_{{}_V}}$ und ${\color{Purple} \cdot_{{}_W}}$ verwendet. Manchmal wird der Punkt für die skalare Multiplikation auch ganz weggelassen.

Hinweis

In der Literatur wird für den Begriff ''lineare Abbildung'' auch der Begriff ''Vektorraumhomomorphismus'' oder kurz ''Homomorphismus'' genutzt. Das altgriechische Wort homós steht für „gleich“, morphé steht für „Form“. Wörtlich übersetzt ist ein ''Vektorraumhomomorphismus'' also eine Abbildung zwischen Vektorräumen, welche die „Form“ der Vektorräume gleich lässt.

Erklärung zur Definition

Die charakteristischen Gleichungen der linearen Abbildung sind $f(v_{1}+v_{2})=f(v_{1})+f(v_{2})$ und $f(\lambda \cdot v)=\lambda \cdot f(v)$ . Was bedeuten diese beiden Eigenschaften intuitiv? Nach der Additivitätseigenschaft ist es egal, ob man $v_{1}$ und $v_{2}$ zuerst addiert und dann abbildet oder ob man beide Vektoren erst abbildet und dann addiert. Beide Wege führen zum selben Ergebnis:

\displaystyle {\color {208000}\underbrace {f({\color {Blue}\underbrace {v_{1}+v_{2}} _{\text{Addition}}})} _{\text{Funktionsabbildung }}}={\color {Blue}\underbrace {{\color {208000}\underbrace {f(v_{1})} _{\text{Funktionsabbildung}}}+{\color {Green}\underbrace {f(v_{2})} _{\text{Funktionsabbildung}}}} _{\text{Addition}}}

Was besagt die Homogenitätseigenschaft? Unabhängig davon ob man zuerst $v$ mit $\lambda$ multipliziert und dann abbildet oder den Vektor erst abbildet und dann mit $\lambda$ multipliziert, ist das Ergebnis das Gleiche:

\displaystyle \def\arraystretch{1.25} {\color {208000}\underbrace {f({\color {Blue}\underbrace {\lambda \cdot v} _{\begin{array}{c}{\text{skalare Multiplikation}}\end{array}}})} _{\begin{array}{c}{\text{Funktionsabbildung }}\end{array}}}={\color {Blue}\underbrace {\lambda \cdot {\color {208000}\underbrace {f(v)} _{\text{Funktionsabbildung}}}} _{\text{skalare Multiplikation}}}

Die charakteristischen Eigenschaften der linearen Abbildungen verdeutlichen also, dass die Reihenfolge der Funktionsabbildung und der Vektorraumoperationen egal ist.

Zusammenhang mit linearen Funktionen und affinen Abbildungen

Lineare Funktionen wurden in der Schule als Funktionen der Form $f (x) = m x + t$ mit $m,t\in \mathbb {R}$ . Es handelt sich dabei nicht um lineare Abbildungen. Sie sind es nur für $t = 0$ . So ist zum Beispiel für $t = 2$ :

\displaystyle f(x+y)=x+y+2\neq x+y+2+2=f(x)+f(y)

Dass die in der Schule geläufigen linearen Funktionen dennoch etwas mit den linearen Abbildungen zu tun haben, wird einem klar, wenn man die linearen Abbildungen von $f:\mathbb {R}\to \mathbb {R}$ betrachtet. Diese sind Abbildungen der Form $f (x) = m x$ mit $m\in \mathbb {R}$ . Die Funktionen der Form $f (x) = m x + t$ aus der Schule sind sogenannte affin-lineare Abbildungen:

Sie sind die Summe einer linearen Abbildung und eines konstanten Terms $t$ .

Affine Abbildung bilden Geraden auf Geraden ab und erhalten dabei Parallelität und Teilverhältnisse von Strecken.

Wir können jede affine Abbildunge $x\mapsto A(x)$ immer in eine lineare Abbildung $x\mapsto L(x)$ und eine Translation $x\mapsto x+t$ zerlegen. Es gilt also $A (x) = L (x) + t$ . Weil die Translationen $x\mapsto x+t$ einfach zu beschreiben sind, ist der lineare Teil meistens interessanter. In der Theorie schauen wir uns deswegen nur den linearen Teil an, um nicht das $x + t$ mitzuschleppen.

Übungsaufgaben: Definition: Lineare Abbildung

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Aufgaben zu linearen Abbildungen

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