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Zinsrechnung

Wenn du Geld auf die Bank bringst, erhältst du dafür Zinsen: Das ist ein kleiner Geldbetrag, den die Bank dir dafür zahlt, dass du ihr das Geld leihst. Die Zinsen sind umso höher, je mehr Geld du eingezahlt hast. Die Höhe der Zinsen berechnet die Bank mithilfe eines festgelegten Prozentsatzes, des sogenannten Zinssatzes. Der Zinssatz bezieht sich meistens auf ein Jahr und die so entstehenden Zinsen werden als Jahreszinsen bezeichnet. Das Geld, das du auf die Bank gebracht hast, ist der Grundwert und wird als Kapital bezeichnet.

Die Zinsrechnung ist also nur eine Anwendung der Prozentrechnung. Prozentwert, Prozentsatz und Grundwert haben hier einen speziellen Namen, da es um Geldbeträge geht.

Begriff aus Prozentrechnung

Begriff aus Zinsrechnung

Prozentwert WW

Zinsen ZZ

Prozentsatz pp

Zinssatz pp

Grundwert GG

Kapital KK

W=pGW=p\cdot G

Z=pKZ=p\cdot K

Zinsen

Der Gewinn durch Verzinsung mit dem Zinssatz pp auf das eingesetzte Kapital KK nach einem Jahr wird mit der Formel

berechnet.

Beispiel

Der Zinssatz ist 3%3\,\% pro Jahr und das Kapital 20002000\,€. Wie groß ist der Gewinn durch Zinsen nach einem Jahr?

Gegeben:

Kapital K=2000K=2000\,€ Zinssatz p=3%p=3\,\%

Gesucht:

Zinsen ZZ

Z=pKZ=p\cdot K

Z=3%2000Z=3\,\% \cdot 2000\,€

Z=0,032000Z= 0{,}03 \cdot 2000\,€

Z=60Z =60\,€

Der Gewinn durch Zinsen beträgt 6060€.

(Nach einem Jahr beträgt das Kapital von 20002000\,€ somit 2000+60=20602000\,€+60\,€ = 2060\,€.)

Zinseszins

Von Zinseszins spricht man, wenn die bereits ausgezahlten Zinsen weiter verzinst werden. Das ist dann der Fall, wenn die Dauer der Anlage das Verzinsungsintervall überschreitet. Dies ist zum Beispiel der Fall, wenn man jährlich Zinsen erhält und man das Geld für mehrere Jahre anlegt.

In jedem Jahr multipliziert sich das Kapital also mit dem Faktor (1+p)(1+p), das heißt, nach nn Jahren wird das Ausgangskapital mit dem Faktor (1+p)n(1+p)^n multipliziert. Der Gewinn durch Zinseszins nach nn Verzinsungsintervallen mit dem Zinssatz pp auf das ursprünglich eingesetzte Kapital K0K_0 wird also mit der Formel

berechnet.

Beispiel

Im oberen Beispiel macht der Anleger im ersten Jahr 6060\,€ Gewinn durch Zinsen. Dieser Gewinn wird nach einem Jahr auf dem Konto gutgeschrieben. Im zweiten Jahr erhöht sich damit das eingezahlte Kapital automatisch auf 20602060\,€.

Wie groß ist also der Gewinn nach fünf Jahren?

Gegeben: Kapital K0=2000K_0=2000\,€ Prozentsatz p=3%p=3\,\% Laufzeit 55 Jahre

Gesucht: Zinsen nach 5 Jahren

Benutze die Formel  Kn=K0(1+p)nK_n=K_0\cdot\left(1+ p\right)^n  mit  n=5n=5 .

K5\displaystyle K_5==2000(1+3%)5\displaystyle 2000\,€\cdot\left(1+3\,\%\right)^5

Schreibe 3% als Dezimalzahl und addiere.

==2000(1,03)5\displaystyle 2000\,€\cdot\left(1{,}03\right)^5

Berechne 1,0351{,}03^5

20001,15927\displaystyle 2000\,€\cdot1{,}15927
==2318,55\displaystyle 2318{,}55\,€

Der Gesamtgewinn ist die Differenz K5K0K_5-K_0

K5K0=2318,552000=318,55K_5-K_0=2318{,}55\,€-2000\,€=318{,}55\,€

Übungsaufgaben

Weitere Aufgaben zum Thema findest du im folgenden Aufgabenordner:
Aufgaben zur Zinsrechnung

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