Nachtermin Teil B - lernen mit Serlo!

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B 1.0 Die Funktion $f_{1}$ hat eine Gleichung der Form $y = - {log}_{3} (x + b) + 2$ mit $𝔾 = ℝ \times ℝ$ und $b \in ℝ$ . Der Graph der Funktion $f_{1}$ schneidet die $x$ -Achse im Punkt $P (8 | 0)$ . Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

B 1.1 Zeigen Sie durch Rechnung, dass die Funktion $f_{1}$ die Gleichung $y = - {log}_{3} (x + 1) + 2$ hat. Geben Sie sodann die Definitionsmenge der Funktion $f_{1}$ an und zeichnen Sie den Graphen zu $f_{1}$ für $x \in [- 0,5; 9]$ in ein Koordinatensystem.

Für die Zeichnung: Längeneinheit $1 cm$ ; $- 2 ≦ x ≦ 10$ ; $- 1 ≦ y ≦ 7$

(4 Punkte)

B 1.2 Der Graph der Funktion $f_{1}$ wird durch orthogonale Affinität mit der $x$ -Achse als Affinitätsachse und dem Affinitätsmaßstab $k = 2$ und anschließende Parallelverschiebung mit dem Vektor $\vec{v} = (\begin{array}{c} 1 \\ 0,5 \end{array})$ auf den Graphen der Funktion $f_{2}$ abgebildet.

Zeigen Sie rechnerisch, dass die Funktion $f_{2}$ die Gleichung $y = - 2 \cdot {log}_{3} (x) + 4,5$ hat $(𝔾 = ℝ \times ℝ)$ und zeichnen Sie sodann den Graphen zu $f_{2}$ in das Koordinatensystem zu $B 1.1$ ein.

(4 Punkte)

B 1.3 Punkte $A_{n} (x | - {log}_{3} (x + 1) + 2)$ auf dem Graphen zu $f_{1}$ und Punkte $D_{n} (x | - 2 \cdot {log}_{3} (x) + 4,5)$ auf dem Graphen zu $f_{2}$ haben dieselbe Abszisse $x$ und sind zusammen mit den Punkten $B_{n}$ und $C_{n}$ für $0 < x < 16,53$ die Eckpunkte von Trapezen $A_{n} B_{n} C_{n} D_{n}$ . Es gilt: $A_{n} B_{n} = 2 LE$ ; $∢ B_{n} A_{n} D_{n} = 90^{\circ}$ ; $∢ A_{n} D_{n} C_{n} = 125^{\circ}$ ; $[A_{n} D_{n}] | | [B_{n} C_{n}]$ .

Zeichnen Sie die Trapeze $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ für $x = 1$ und $A_{2} B_{2} C_{2} D_{2}$ für $x = 5,5$ in das Koordinatensystem zu $B 1.1$ ein.

(2 Punkte)

B 1.4 Zeigen Sie rechnerisch, dass für die Länge der Strecken $[B_{n} C_{n}]$ in Abhängigkeit von der Abszisse $x$ der Punkte $A_{n}$ gilt: $B_{n} C_{n} (x) = ({log}_{3} (\frac{x + 1}{x^{2}}) + 3,90) LE$ .

$[Teilergebnis : A_{n} D_{n} (x) = ({log}_{3} (\frac{x + 1}{x^{2}}) + 2,5) LE]$

(3 Punkte)

B 1.5 Bestätigen Sie, dass für den Flächeninhalt der Trapeze $A_{n} B_{n} C_{n} D_{n}$ in Abhängigkeit von der Abszisse $x$ der Punkte $A_{n}$ gilt: $A (x) = (2 \cdot {log}_{3} (\frac{x + 1}{x^{2}}) + 6,40) FE$ .

(1 Punkt)

B 1.6 Das Trapez $A_{3} B_{3} C_{3} D_{3}$ hat einen Flächeninhalt von $8 FE$ . Bestimmen Sie rechnerisch die Koordinaten des Punktes $A_{3}$ .

(3 Punkte)

Lösung zur Teilaufgabe B 1.1

Berechnungen an Funktionen

Über $f_{1}$ weißt du, dass sie die Gleichung $y = - l o g_{3} (x + b) + 2$ hat und dass der Punkt $P (8 | 0)$ auf dem Graphen liegt. Zunächst ist nur zu zeigen, dass $b = 1$ ist.

Schaue dir bei solchen Aufgaben immer genau die Funktionsgleichung an, dann stellst du fest, dass du drei unbekannte Größen hast, nämlich $y, x$ und $b$ . Der Punkt $P$ besteht aus einer $x -$ und einer $y -$ Koordinate, daher ist es naheliegend, den Punkt in die Gleichung einzusetzen.

$\Rightarrow b = 1$

Definitionsmenge von Funktionen

In den Logarithmus darf man nur positive Zahlen einsetzen. Falls du das nicht mehr weißt, kannst du das im Artikel zum Logarithmus nochmal nachlesen.

Unsere Funktion $y = - l o g_{3} (x + 1) + 2$ ist also genau dann definiert, wenn der Ausdruck in der Klammer $x + 1$ positiv ist. Dafür musst du mit einer Ungleichung arbeiten.

$x + 1 > 0 | - 1$

$x > - 1$

Die Funktion $f_{1}$ ist also für alle $x > - 1$ definiert.

Formell: $𝔻 = {x | x > - 1}$

Zeichnen von Funktionen

Um die Funktion zu zeichnen, tippst du die Funktion in deinen Taschenrechner ein, um eine Wertetabelle zu erhalten und zeichnest anschließend $f_{1}$ .

Der Graf von f1 in ein Koordinatensystem eingezeichnet

Lösung zur Teilaufgabe B 1.2

$(\begin{array}{c} x^{'} \\ y^{'} \end{array}) = (\begin{array}{c} x \\ 2 \cdot y \end{array}) = (\begin{array}{c} x^{'} \\ 2 \cdot (- l o g_{3} (x + 1) + 2) \end{array})$

$\Rightarrow y^{'} = - 2 \cdot l o g_{3} (x + 1) + 4$

Die orthogonale Affinität ist eine senkrechte Streckung des Graphen. Da die $x -$ Achse die Affinitätsachse ist, bleibt diese fest, der Affinitätsfaktor ist $2$ .

$(\begin{array}{c} x^{''} \\ y^{''} \end{array}) = (\begin{array}{c} x^{'} \\ - 2 \cdot l o g_{3} (x^{'} + 1) + 4 \end{array}) + (\begin{array}{c} 1 \\ 0,5 \end{array})$

Die Parallelverschiebung bildet jeden Punkt der Funktion entlang eines Verschiebungsvektors ab. Gehe dabei wie folgt vor:

$x^{''} = x^{'} + v_{x}$

$y^{''} = y^{'} + v_{y}$

Setze $y^{'} = - 2 \cdot l o g_{3} (x^{'} + 1) + 4$ in das Gleichungssystem ein.

$x^{''} = x^{'} + v_{x}$

$y^{''} = - 2 \cdot l o g_{3} (x^{'} + 1) + 4 + v_{y}$

Setze die Koordinaten des Vektors $\vec{v} = (\begin{array}{c} 1 \\ 0,5 \end{array})$ in das Gleichungssystem ein.

$x^{''} = x^{'} + 1$

$y^{''} = - 2 \cdot l o g_{3} (x^{'} + 1) + 4 + 0,5$

Löse die erste Gleichung nach $x^{'}$ auf

$x^{'} = x^{''} - 1$

$y^{''} = - 2 \cdot l o g_{3} (x^{'} + 1) + 4,5$

Setze das berechnete $x^{'} = x^{''} - 1$ in die zweite Gleichung ein.

$\Rightarrow y^{''} = - 2 \cdot l o g_{3} (x^{''} - 1 + 1) + 4,5 = - 2 \cdot l o g_{3} (x^{''}) + 4,5$

$\Rightarrow f_{2} : y = - 2 \cdot l o g_{3} (x) + 4,5$

Zeichne nun den Graphen von $f_{2}$ wie in der vorherigen Aufgabe in das Koordinatensystem ein.

Die Grafen der Logarithmusfunktionen f1 und f2 im Koordinatensystem eingezeichnet

Lösung zur Teilaufgabe B 1.3

Einzeichnen der Trapeze

Du kannst das gleiche Schema für $x = 1$ und $x = 5,5$ anwenden.

1. Zeichne zuerst die gegebenen Punkte $A_{n}$ und $D_{n}$ ein. ( $A_{1} (1 | 1,37), A_{2} (5,5 | 0,30), D_{1} (1 | 4,5), D_{2} (5,5 | 1,40)$ )

2. Zeichne eine parallele Hilfsgerade $h$ zur $x$ -Achse auf der Höhe von $A_{n}$ ein, so entsteht der $90^{\circ}$ -Winkel $∢ B_{n} A_{n} D_{n}$ .

3. Gehe nun auf der Hilfsgerade $h$ von $A_{n}$ $2 cm$ nach rechts und zeichne den Punkt $B_{n}$ ein.

4. Zeichne den $125^{\circ}$ -Winkel $∢ A_{n} D_{n} C_{n}$ ein.

5. Konstruiere ein Lot auf die Hilfsgerade $h$ durch den Punkt $B_{n}$ .

6. Der Schnittpunkt mit der Geraden, die durch den $125^{\circ}$ -Winkel entstanden ist, ergibt den Punkt $C_{n}$ .

Es ergeben sich die Parallelen $[A_{n} D_{n}]$ und $[B_{n} C_{n}]$ .

Trapeze A1B1C1D1 und A2B2C2D2 eingezeichnet in das Koordinatensystem

Die Abbildung zeigt die Trapeze $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ und $A_{2} B_{2} C_{2} D_{2}$ .

Lösung zur Teilaufgabe B 1.4

Länge der Strecke $[B_{n} C_{n}]$

Bestimme die Länge der Strecken $[B_{n} C_{n}]$ in Abhängigkeit von $x$ . Zu Veranschaulichungszwecken betrachte das Trapez $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1} .$

In der Abbildung kannst du erkennen, dass die Strecke $[B_{n} C_{n}]$ aufgeteilt werden kann in $[B_{n} G_{n}]$ und $[G_{n} C_{n}]$ . Du wählst die Strecke $D_{n} G_{n}$ , sodass ein Rechteck und ein rechtwinkliges Dreieck entstehen. Nach der Definition eines Rechtecks ist die Länge Strecke $[A_{n} D_{n}]$ gleich der Strecke $[B_{n} G_{n}]$ .

Berechne die Länge der Strecke $[A_{n} D_{n}]$ . Ziehe dazu die $y$ -Koordinate von $A_{n}$ von der $y$ -Koordinate $D_{n}$ ab. Benutze dazu die Rechenregeln mit dem Logarithmus.

$A_{n} D_{n} (x) = [(- 2) \cdot \log_{3} (x) + 4,5 - (- \log_{3} (x + 1) + 2)] L E$

$= [\log_{3} (x + 1) - \log_{3} (x^{2}) + 2,5] L E$

$= [\log_{3} (\frac{x + 1}{x^{2}}) + 2,5] L E$

Dies entspricht der Länge der Strecke $[B_{n} G_{n}]$ .

Berechne die Länge der Strecke $[G_{n} C_{n}]$ . Der obere Teil deines Trapezes ist ein rechtwinkliges Dreieck, deshalb kannst du die Länge der Strecke $[G_{n} C_{n}]$ mit dem Tangens berechnen. Berechne die Größe von $α_{1}$ , das heißt von dem Teil von $α$ ⁣, der im Dreieck liegt.

$α_{1} = α - 90^{\circ} = 125^{\circ} - 90^{\circ} = 35^{\circ}$

Die Größe von $α_{1}$ beträgt $35^{\circ}$ .

Stelle die Gleichung von Tangens von $α_{1}$ auf.

$\tan (35^{\circ}) = \frac{G_{n} C_{n}}{D_{n} G_{n}} = \frac{G_{n} C_{n}}{A_{n} B_{n}} = \frac{G_{n} C_{n}}{2}$

Dass die Länge der Strecke $[D_{n} G n]$ gleich der Strecke $[A_{n} B_{n}]$ ist, folgt aus der Definition eines Rechtecks.

Löse die Gleichung nach der gesuchten Länge auf.

$\tan (35^{\circ}) = \frac{G_{n} C_{n}}{2} | \cdot 2$

$G_{n} C_{n} = 2 \cdot \tan (35^{\circ})$

Berechne die Länge der Strecke $[B_{n} C_{n}]$ , indem du die Längen der Strecken $[G_{n} C_{n}]$ und $[B_{n} G_{n}]$ addierst.

$B_{n} C_{n} (x) = [\log_{3} (\frac{x + 1}{x^{2}}) + 2,5 + 2 \tan (35^{\circ})] L E = [\log_{3} (\frac{x + 1}{x^{2}}) + 3,9] L E$

Die Länge der Strecke $[B_{n} C_{n}]$ in Abhängigkeit von $x$ beschreibt $[\log_{3} (\frac{x + 1}{x^{2}}) + 3,9] L E$ .

Lösung zur Teilaufgabe B 1.5

Flächeninhalt des Trapezes

Berechne den Flächeninhaltvon dem Trapez $A_{n} B_{n} C_{n} D_{n}$ . Zu Veranschaulichungzwecken wird die Abbildung des Trapezes $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ benutzt.

Drehe in Gedanken dein Trapez um $90 °$ nach rechts, um die parallelen Seiten übereinander zu haben.

Setze in die Formel für den Trapezflächeninhalt ein und vereinfache anschließend durch Ausklammern.

$A (x) = \frac{b + d}{2} \cdot h$

$= \frac{1}{2} \cdot (\log_{3} (\frac{x + 1}{x^{2}}) + 3,9 + \log_{3} (\frac{x + 1}{x^{2}}) + 2,5) \cdot 2 F E$

$= 2 \cdot \log_{3} (\frac{x + 1}{x^{2}}) + (3,9 + 2,5) F E$

$= 2 \cdot \log_{3} (\frac{x + 1}{x^{2}}) + 6,4 F E$

Lösung zur Teilaufgabe B 1.6

Bestimmung der Koordinaten von $A_{3}$

Setze $A (x)$ gleich $8$ und löse nach $x$ auf.

$A (x)$	$=$	$8$
$2 \cdot \log_{3} (\frac{x + 1}{x^{2}}) + 6,4$	$=$	$8$	$- 6,4$
$2 \cdot \log_{3} (\frac{x + 1}{x^{2}})$	$=$	$1,6$	$: 2$
$\log_{3} (\frac{x + 1}{x^{2}})$	$=$	$\frac{4}{5}$
	↓	Löse mit der Definition des Logarithmus. Stelle demnach um mit der Regel: $\log_{b} (x) = c \Leftrightarrow x = b^{c}$
$\frac{x + 1}{x^{2}}$	$=$	$3^{\frac{4}{5}}$	$\cdot x^{2}$
$x + 1$	$=$	$3^{\frac{4}{5}} \cdot x^{2}$	$- (x + 1)$
$0$	$=$	$3^{\frac{4}{5}} x^{2} - x - 1$

Setze in die Mitternachtsformel ein.

$x_{1,2} = \frac{- (- 1) \pm \sqrt{(- 1)^{2} - 4 \cdot 3^{\frac{4}{5}} \cdot (- 1)}}{2 \cdot 3^{\frac{4}{5}}}$

$x_{1} = - 0,47 x_{2} = 0,88$

Da $x$ größer $0$ sein muss, kommt nur $x_{2}$ infrage. Der Grund dafür ist, dass der Logarithmus nicht für negative Zahlen definiert ist.

Berechne die $y$ -Koordinate für $x_{2}$ . Setze dafür $x_{2}$ in $f_{1}$ ein. $f_{1} (x_{2}) = f_{1} (0,88) = - \log_{3} (0,88 + 1) + 2 = - \log_{3} (1,88) + 2 = 1,43$

$A_{3}$ muss der Punkt $(0,88 | 1,43)$ sein.

Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. → Was bedeutet das?