Gemischte Aufgaben zur Ableitung

Ableiten einer Wurzelfunktion

Zum Ableiten ist es nützlich, die Funktion zunächst mithilfe der Potenzgesetze umzuschreiben und dann dem Exkurs zu rationalen Exponenten im Artikel Ableiten von Potenzfunktionen zu folgen.

Funktionsterm umschreiben mithilfe der Potenzgesetze

\displaystyle f(x)=\sqrt[4]{x^3}

Verwende das Potenzgesetz zum Umschreiben von Wurzeln:

\displaystyle f(x)=x^{\frac{3}{4}}

Ableiten mithilfe der Ableitungsregel für Potenzfunktionen

\displaystyle f(x)=x^\frac 3 4

Leite die Funktion mithilfe der Regel zum Ableiten von Potenzfunktionen ab: $f (x) = x^{a}$ wird zu $f'(x)=a\cdot x^{a-1}$ .

\displaystyle f'(x)=\frac 3 4 x^{-\frac 1 4}

So ist die Ableitung zwar fertig gebildet, jedoch kann man für die meisten Zwecke wenig mit Brüchen als Exponenten anfangen.

Verschönerungsarbeiten

Die fertige Ableitung lässt sich nun mithilfe der Potenzgesetze in eine schönere Form bringen.

\displaystyle f'(x)=\frac 3 4 x^{-\frac 1 4}

Verwende: $x^{-a}= \frac 1{x^a}$

\displaystyle f'(x)=\frac 3{4x^\frac 1 4}

Verwende: $x^\frac a b = \sqrt[b] {x^a}$

\displaystyle f'(x)=\frac{3}{4\sqrt[4]{x}}