Tipp: Finde eine Funktion, für die $\sqrt{5}\backslash sqrt\{5\}$ eine Nullstelle ist.

Du sollst das Newton-Verfahren verwenden, um $\sqrt{5}\backslash sqrt\; 5$ zu bestimmen. Das Newton-Verfahren dient dazu, Nullstellen von Funktionen zu bestimmen. Zunächst benötigst du also eine Funktion $f(x)f(x)$, die $\sqrt{5}\backslash sqrt\; 5$ als Nullstelle hat, also $f(\sqrt{5})=0f(\backslash sqrt\; 5)\; =\; 0$ erfüllt.

$\sqrt{5}\backslash sqrt\; 5$ ist die Zahl, für die ${\sqrt{5}}^2=5\backslash sqrt\{5\}^2\; =\; 5$ gilt, also auch ${\sqrt{5}}^2-5=0\backslash sqrt\{5\}^2\; -\; 5\; =\; 0$. Ein guter Kandidat für die gesuchte Funktion ist daher $f(x)=x^2-5f(x)\; =\; x^2\; -\; 5$. (Es gibt unendlich viele weitere Möglichkeiten, dies ist nur die einfachste.)

Im Newton-Verfahren wendest du Iterationen der Rekursionsformel

an. Berechne dafür die Ableitung von $ff$, sie lautet $f^{\mathrm{\prime }}(x)=2xf\text{'}(x)\; =\; 2x$. Die Rekursionsformel des Newton-Verfahren für diese Aufgabe lautet also

Erstelle nun eine Wertetabelle, um den Startwert für das Verfahren in die Nähe der Nullstelle zu bringen. Bedenke, dass du nur positive Werte betrachten musst, da die Wurzel immer positiv ist.

Du siehst, dass die Nullstelle zwischen 2 und 3 liegt. Dort wechselt $ff$ sein Vorzeichen. Teste nun noch den Mittelwert 2,5: $f(\mathrm{2,5})=\mathrm{1,25}f(2\{,\}5)\; =\; 1\{,\}25$.

Das bedeutet, dass die Nullstelle $\sqrt{5}\backslash sqrt\; 5$ im Intervall $]2;\mathrm{2,5}[]2;\; 2\{,\}5[$ liegt.

Jeder Startwert im Intervall $]2;\mathrm{2,5}[]2;\; 2\{,\}5[$ ist sinnvoll, z.B. $x_0=2x\_0\; =\; 2$. Setze diesen in die Rekursionsformel ein:

Setze den neuen Wert nun so lang in die Rekursionsformel ein, bis du die gewünschte Genauigkeit erhältst:

Du siehst, dass sich in den letzten beiden Iterationen nur noch die vierte Nachkkommastelle geändert hat.

Somit erhältst du, dass $f(\mathrm{2,236})\approx 0f(2\{,\}236)\; \backslash approx\; 0$, und damit auch $\sqrt{5}\approx \mathrm{2,236}\backslash sqrt\; 5\; \backslash approx\; 2\{,\}236$.