Gemischte Aufgaben zur Ableitung

$f(x)= \dfrac{-2x^2}{(2-x)^2}$

Gesucht wird die Ableitung von f(x). Überlege zunächst, welche der im folgendern genannten Hilfsmittel und Ableitungsregeln nützlich sein können und leite die Funktion anschließend ab!

Quotienten- und Kettenregel anwenden

Zur Ableitung dieser Funktion benötigst du unter anderem die Quotientenregel und die Kettenregel.

Quotientenregel vorbereiten

Gerade bei den ersten Anwendungen der Quotientenregel kann es dir helfen, dir die Funktion vorab genauer anzuschauen.

$f(x)= \dfrac{-2x^2}{(2-x)^2}$ liefert

$u(x)=-2x^2$ und $v(x)=(2-x)^2$

Die Ableitung von $u(x)$ bildest du mithilfe der Ableitungsregel für Potenzfunktionen:

$u'(x)=-4x$

Für die Ableitungsfunktion von $v(x)$ brauchst du die Kettenregel, wobei die innere Funktion $(2-x)$ und die äußere $x^2$ ist:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{ccc}v'(x)= & 2\cdot & (2-x) & \cdot (-1) \\ & \uparrow & \uparrow & \uparrow \\ & \text{Ableitung } x^2 & \text{innere Funktion} & \text{Nachdifferenzieren:}\\ & & & \text{Ableitung } (2-x) \end{array}$

Vereinfachen liefert:

$v'(x)=-2(2-x)$ (Man könnte noch weiter vereinfachen, doch beim Ausrechnen der Ableitung wirst du sehen, dass diese faktorisierte Form von Vorteil ist)

Quotientenregel anwenden und vereinfachen

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle \dfrac{-2x^2}{\left(2-x\right)^2}$
	↓	Setze $u,v,u'$ und $v'$ in die Quotientenregel ein: $f'(x)=\frac{u'(x)\cdot v(x)-v'(x)\cdot u(x)}{v(x)^2}$
$\displaystyle f´\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle \dfrac{-4x\cdot\left(2-x\right)^2-\left(-2\right)\cdot\left(2-x\right)\cdot\left(-2x^{\left(2\right)}\right)}{\left(2-x\right)^4}$
	↓	Klammere $(2-x)$ im Zähler aus.
$\displaystyle f´\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle \dfrac{\left(2-x\right)\left(-4x\cdot\left(2-x\right)-\left(-2\right)\cdot\left(-2x^2\right)\right)}{\left(2-x\right)^4}$
	↓	Kürze den Bruchterm mit $(2-x)$ .
$\displaystyle f´\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle \dfrac{-4x\cdot\left(2-x\right)-\left(-2\right)\cdot\left(-2x^2\right)}{\left(2-x\right)^3}$
	↓	Berechne und beachte die Vorzeichen!
$\displaystyle f´\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle \dfrac{-8x+4x^2-4x^2}{\left(2-x\right)^3}$
	↓	Berechne im Zähler und ziehe das Minus vor den Term.
$\displaystyle f´\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle -\dfrac{8x}{\left(2-x\right)^3}$

Zur Lösung der Aufgabe musstest du also einen Bruchterm kürzen, die Kettenregel und die Quotientenregel anwenden

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