Aufgaben zu linearen Ungleichungen

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Löse die folgenden Ungleichungen.

123mathe.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Rudolf Brinkmann

$\frac13x-5\leq\frac14x+3$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ungleichungen

$\displaystyle \frac{1}{3}x-5$	$\leq ≤$	$\displaystyle \frac{1}{4}x+3$	$\displaystyle +5$
$\displaystyle \frac{1}{3}x$	$\leq ≤$	$\displaystyle \frac{1}{4}x+8$	$\displaystyle -\frac{1}{4}x$
$\displaystyle \frac{1}{3}x-\frac{1}{4}x$	$\leq ≤$	$\displaystyle 8$
	↓	Brüche auf denselben Hauptnenner bringen.
$\displaystyle \frac{4}{12}x-\frac{3}{12}x$	$\leq ≤$	$\displaystyle 8$
	↓	Zusammenfassen
$\displaystyle \frac{1}{12}x$	$\leq ≤$	$\displaystyle 8$	$\displaystyle \cdot\frac{12}{1}$
	↓	Durch einen Bruch zu dividieren, bedeutet mit seinem Kehrbruch zu multiplizieren.
$\displaystyle x$	$\leq ≤$	$\displaystyle 96$

$x \in ]- \infty; 96]$

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$\frac{2-x}3+5\geq\frac x2$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ungleichungen

Ungleichungen

$\displaystyle \frac{2-x}{3}+5$	$\geq ≥$	$\displaystyle \frac{x}{2}$
	↓	Brüche auf denselben Hauptnenner bringen.
$\displaystyle \frac{2\left(2-x\right)}{6}+5$	$\geq ≥$	$\displaystyle \frac{3x}{6}$	$\displaystyle \cdot6$
$\displaystyle 2\left(2-x\right)+5\cdot6$	$\geq ≥$	$\displaystyle 3x$
$\displaystyle 2\left(2-x\right)+30$	$\geq ≥$	$\displaystyle 3x$
	↓	Klammern ausmultiplizieren.
$\displaystyle 4-2x+30$	$\geq ≥$	$\displaystyle 3x$	$\displaystyle +2x$
$\displaystyle 34$	$\geq ≥$	$\displaystyle 5x$	$\displaystyle :5$
$\displaystyle \frac{34}{5}$	$\geq ≥$	$\displaystyle x$

$x\in]-\infty;\frac{34}{5}]$

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$-\frac12\cdot\left(x-6\right)<6$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ungleichungen

$\displaystyle -\frac{1}{2}\cdot\left(x-6\right)$	$<$	$\displaystyle 6$
	↓	Klammer ausmultiplizieren.
$\displaystyle -\frac{x}{2}+3$	$<$	$\displaystyle 6$	$\displaystyle +\frac{x}{2}$
$\displaystyle 3$	$<$	$\displaystyle 6+\frac{x}{2}$	$\displaystyle -6$
$\displaystyle -3$	$<$	$\displaystyle \frac{x}{2}$	$\displaystyle \cdot2$
$\displaystyle -6$	$<$	$\displaystyle x$

$x\in]-6;\infty[$

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$3\left(x-3\right)\geq5\left(1-\frac x2\right)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ungleichungen

$\displaystyle 3\left(x-3\right)$	$\geq ≥$	$\displaystyle 5\left(1-\frac{x}{2}\right)$
	↓	Multipliziere aus
$\displaystyle 3x-9$	$\geq ≥$	$\displaystyle 5-\frac{5}{2}x$	$\displaystyle +9+\frac{5}{2}x$
	↓	Fasse zusammen
$\displaystyle \frac{11}{2}x$	$\geq ≥$	$\displaystyle 14$	$\displaystyle \cdot\frac{2}{11}$
	↓	Multipliziere
$\displaystyle x$	$\geq ≥$	$\displaystyle \frac{28}{11}$

Die Ungeichung ist für $x\ge\frac{28}{11}\approx2{,}55$ erfüllt, die Lösungsmenge ist also $[\dfrac{28}{11}; \infty[$ .

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$\frac12\left(x-5\right)>0$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ungleichungen

$\displaystyle \frac{1}{2}\left(x-5\right)$	$>$	$\displaystyle 0$
	↓	Klammer ausmultiplizieren.
$\displaystyle \frac{1}{2}x-2{,}5$	$>$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle +2{,}5$
$\displaystyle \frac{1}{2}x$	$>$	$\displaystyle 2{,}5$
$\displaystyle \frac{1}{2}x$	$>$	$\displaystyle 2{,}5$	$\displaystyle \cdot2$
	↓	Durch einen Bruch zu dividieren bedeutet mit seinem Kehrbruch zu multiplizieren.
$\displaystyle x$	$>$	$\displaystyle 5$

$x \in ]5; \infty[$

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$2x+\frac52<-(3+4x)-3$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ungleichungen

$\displaystyle 2x+\frac{5}{2}$	$<$	$\displaystyle -\left(3+4x\right)-3$
	↓	Klammer auflösen.
$\displaystyle 2x+2{,}5$	$<$	$\displaystyle -3-4x-3$
	↓	Zusammenfassen.
$\displaystyle 2x$	$<$	$\displaystyle -8{,}5-4x$	$\displaystyle +4x$
$\displaystyle 6x$	$<$	$\displaystyle -8{,}5$	$\displaystyle :6$
$\displaystyle x$	$<$	$\displaystyle -\frac{17}{12}$

$x \in ]- \infty;-\frac{17}{12} [$

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$\frac x5+3\geq\frac x2$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ungleichungen

$\displaystyle \frac{x}{5}+3$	$\geq ≥$	$\displaystyle \frac{x}{2}$
	↓	Brüche auf denselben Hauptnenner bringen.
$\displaystyle \frac{2x}{10}+3$	$\geq ≥$	$\displaystyle \frac{5x}{10}$	$\displaystyle -\frac{2x}{10}$
$\displaystyle 3$	$\geq ≥$	$\displaystyle \frac{3x}{10}$	$\displaystyle \cdot10$
$\displaystyle 30$	$\geq ≥$	$\displaystyle 3x$	$\displaystyle :3$
$\displaystyle 10$	$\geq ≥$	$\displaystyle x$

$x \in ]- \infty; 10]$

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$- 3 < 2 (x - 2) < 5$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ungleichungen
$- 3 < 2 (x - 2) < 5$
Klammer ausmultiplizieren.
$- 3 < 2 x - 4 < 5$
Addiere 4.
$1 < 2 x < 9$
Dividiere durch 2.
$\frac12<x<\frac92$
$x \in ]\frac 12; \frac 92[$
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