Gruppe A - lernen mit Serlo!

Die dargestellte Figur ist symmetrisch zur y-Achse und besteht aus Teilen von Parabeln.

Die zu einem „Auge“ gehörende Funktion hat die Gleichung y=-(x-2)²+4. Geben Sie die Gleichung der zum anderen Auge gehörenden Funktion an. (1 BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Scheitel
Funktion des zweiten Auges
Als erstes musst du herausfinden, von welchem Auge du die Gleichung aufstellen sollst, also von welchem Auge sie dir bereits gegeben ist. Dafür liest du den Scheitel ab: $S (2 ∣ 4)$ . Das ist der Scheitel der rechten Parabel, also musst du nun noch die Gleichung der linken Parabel aufstellen.
Die Scheitelform einer Parabel ist $y = a (x - d)^{2} + e$ . Du musst nun die einzelnen Parameter herausfinden.
$a = - 1$
Die Parabel ist nach unten geöffnet, deswegen ist $a$ negativ. $∣ a ∣ = 1$ , da die Parabel weder gestreckt noch gestaucht ist. Alternativ kannst du dir auch überlegen, dass $a$ genauso groß sein muss, wie bei der angegebenen Parabel, da die Parabel links die Parabel von rechts gespiegelt an der $y$ -Achse ist.
$d = - 2$
Die $x$ -Koordinate des Scheitels ist $- 2$ .
$e = 4$
Die $y$ -Koordinate des Scheitels ist $4$ .
Damit ist die gesuchte Gleichung für das Auge:
$y = - (x - (- 2))^{2} + 4 = - (x + 2)^{2} + 4$
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Der „Mund“ ist Teil der Parabel mit der Gleichung y= $\frac18$ x²-4. Berechnen Sie die x-Koordinaten der Schnittpunkte dieser Parabel mit der x-Achse. (2 BE)

Wählen Sie aus der folgenden Liste diejenige Funktionsgleichung aus, die zum „Umriss“ der Figur gehört. (1 BE)
- $y = 8 - \frac{1}{2}x^2$
- $y = - 4 x^{2} + 8$
- $y = 4-\frac{1}{4}x^2$
- $y = \frac{1}{2}(4-x)^2$
Funktion des Umrisses
Die Scheitelform einer Parabel hat allgemein folgende Form: $y = a (x - d)^{2} + e$ . Du musst nun die einzelnen Parameter herausfinden.
$a=-\frac12$
Die Parabel ist nach unten geöffnet, deswegen ist $a$ negativ. $|a|=\frac12$ , weil die Öffnung im Vergleich zur Normalparabel doppelt so breit ist. Das kannst du zum Beispiel daran erkennen, dass du vom Scheitel nicht eine Einheit nach rechts und eine Einheit nach unten gehst, um wieder einen Punkt der Parabel zu erhalten, sondern bei einer Einheit nach rechts nur eine halbe Einheit nach unten, also genau die Hälfte.
$d = 0$
Die Parabel ist in $x$ -Richtung nicht verschoben, weil der Scheitel auf der $y$ -Achse liegt.
$e = 8$
Die $y$ -Koordinate des Scheitels ist $8$ .
Damit erhältst du für die Parabel nach dem Einsetzen der Parameter
$y=-\frac12(x-0)^2+8=-\frac12 x^2+8=8-\frac12x^2$ .
Also ist die letzte Antwortmöglichkeit $y=8-\frac12x^2$ richtig.
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$\displaystyle \frac{1}{8}x^2-4$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Nun musst du nach $x$ auflösen. Dazu addierst du erst $4$ auf beiden Seiten.
$\displaystyle \frac{1}{8}x^2$	$=$	$\displaystyle 4$
	↓	Nun multiplizierst du mit $8$ oder dividierst durch $\frac{1}{8}$ , was beides gleich ist.
$\displaystyle x^2$	$=$	$\displaystyle 32$
	↓	Nun ziehst du die Wurzel. Achte darauf, dass sowohl die positive als auch die negative Lösung möglich ist.
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \pm\sqrt{32}$
	↓	Als letztes kannst du noch die Wurzel vereinfachen.
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \pm\sqrt{16\cdot2}$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \pm4\sqrt{2}$

Funktion des zweiten Auges

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Nullstellenberechnung einer Parabel

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Funktion des Umrisses

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