Lösung Teilaufgabe a)

1. Bilde zwei linear unabhängige Richtungsvektoren der Ebene. Z.B. die Differenzvektoren $\overrightarrow{AB}$ und $\overrightarrow{AC}$.

2. Erstelle durch das Kreuzprodukt $\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}$ einen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ zur Ebene.

3. Setze das Skalarprodukt $\overrightarrow{AX}\circ \overrightarrow{n}$ eines Differenzvektors $\overrightarrow{AX}$ mit $\overrightarrow{n}$ gleich Null. ($A$ ist ein beliebiger Aufpunkt und $X$ ein variabler Punkt von $E$.)

Durchführung

1.Zwei linear unabhängige Richtungsvektoren

Die Punkte $A(1|1|1)$, $B(0|2|2)$, $C(-1|2|0)$ ergeben:

2.Kreuzprodukt $\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}$ für einen Normalenvektor

$\begin{array}{r}\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}=\left(\begin{array}{c}-1\\ 1\\ 1\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-2\\ 1\\ -1\end{array}\right)\end{array}$

$=\left(\begin{array}{ccccccc}1& \cdot & (-1)& -& 1& \cdot & 1\\ 1& \cdot & (-2)& -& (-1)& \cdot & (-1)\\ (-1)& \cdot & 1& -& 1& \cdot & (-2)\end{array}\right)$

$=\left(\begin{array}{c}-2\\ -3\\ 1\end{array}\right)=(-1)\cdot \left(\begin{array}{c}2\\ 3\\ -1\end{array}\right)$

Der Vektor $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}2\\ 3\\ -1\end{array}\right)$ ist also ein Normalenvektor der Ebene $E$.

Anmerkung:

Das Vorziehen des Faktors $(-1)$ hat lediglich den "Schönheitsaspekt", dass der ab jetzt verwendete Normalenvektor nur ein Minuszeichen besitzt. Jedes Vielfache eines Normalenvektors steht auch auf der Ebene senkrecht und ist somit ebenfalls ein Normalenvektor.

3.Aufstellen der Ebenengleichung

Die Aufgabenstellung lässt dir die Wahl, ob du die gesuchte Normalenform der Ebenengleichung in Vektorform oder in Koordinatendarstellung angeben willst.

$\begin{array}{rcl}E:2\cdot (x_1-1)+3\cdot (x_2-1)+(-1)\cdot (x_3-1)& =& 0\\ E:2x_1-2+3x_2-3-x_3+1& =& 0|\text{zusammenfassen}\\ E:2x_1+3x_2-x_3-4& =& 0\end{array}$

b) Ansatz für $E$ in Koordinatendarstellung

Mit dem Normalenvektor $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}2\\ 3\\ -1\end{array}\right)$ und einem beliebigen Punkt der Ebene, z.B. $B(0|2|2)$ (es muss nicht wieder der Punkt $A$ sein) kannst du $E$ so ansetzen:

$\begin{array}{rcl}2\cdot 0+3\cdot 2-2+c& =& 0\\ 6-2+c& =& 0& |-4\\ c& =& -4\end{array}$

Also:

$E:2x_1+3x_2-x_3-4=0$

Lösung Teilaufgabe b)

Ein beliebiger Punkt $S$ der $x_2$-Achse hat die Koordinaten $S(0|s_2|0)$.

Setze $S$ in die Normalengleichung von $E$ ein und berechne $s_2$.

$$\begin{array}{rccl}2\cdot 0+3\cdot s_2-0-4& =& 0& |+4\\ 3\cdot s_2& =& 4& |:3\\ s_2& =& {\displaystyle \frac{4}{3}}& \end{array}$$

Die Ebene schneidet die $x_2$-Achse im Punkt $${\displaystyle S(0|\frac{4}{3}|0)}$$.