Berechne die Tangente an die Funktion f(x)=−21x2−2x−3 durch den Punkt B(−3∣y) .
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Tangente an eine Parabel berechnen
Ohne Ableitung
Setze die quadratische Funktion mit der allgemeinen Tangentengleichung gleich
| f(x) | = | −21x2−2x−3,B(−3∣y) | |
| mx+t | = | −21x2−2x−3 | |
| ↓ | Bringe alles auf eine Seite. | ||
| 0 | = | −21x2−(2+m)x−3−t | |
Berechne die Diskriminante und setze sie gleich Null.
D=(2+m)2−4⋅(−21)⋅(−3−t)=m2+4m−2−2t=0
Berechne mit Hilfe der Parabelgleichung den y-Wert von B:
| y | = | −21(−3)2−2⋅(−3)−3 | |
| = | −23 |
Setze m und B in die allgemeine Tangentengleichung ein:
−23=−3m+t
Löse nach t auf und setze in die Diskriminantengleichung ein.
| 0 | = | m2+4m−2−2(3m−23) | |
| 0 | = | m2−2m+1 | |
| ↓ | Löse nach m auf (z. B. durch Faktorisieren mit Hilfe einer binomischen Formel ). | ||
| 0 | = | (m−1)2 | |
⇒m=1
Setze m und B in die allgemeine Tangentengleichung ein und löse nach t auf.
−23=−3⋅1+t⇒t=23
Stelle die Tangentengleichung auf.
tB(x)=x+23
Mit Ableitung
⇒m=1
Berechne mit Hilfe der Parabelgleichung den y-Wert von B:
y=−21(−3)2−2⋅(−3)−3=−23
Setze m und B in die Geradengleichung ein und erhalte t
−23=−3⋅1+t⇒t=23
Stelle die Tangentengleichung auf
tB(x)=x+23
