Zur Modellierung einer Zerfallsreihe wird vereinfachend davon ausgegangen, dass sich in einem Gefäß zu Beginn eines Beobachtungszeitraums ausschließlich der radioaktive Stoff Bi211 befindet. Jeder Atomkern dieses Stoffs Bi211 wandelt sich irgendwann in einen Kern des radioaktiven Stoffs Tl207 um und dieser wiederum irgendwann in einen Kern des Stoffs Pb207. Abbildung 2 zeigt diese Zerfallsreihe schematisch.
Der zeitliche Verlauf des Bi211-Anteils, des Tl207-Anteils und des Pb207-Anteils der Kerne im Gefäß lässt sich durch die in definierten Funktionen , bzw. beschreiben, deren Terme der folgenden Tabelle zu entnehmen sind. Dabei ist die in Aufgabe 1 betrachtete Funktion.
Für jede der drei Funktionen bezeichnet die seit Beobachtungsbeginn vergangene Zeit in der Einheit 6 Minuten. Beispielsweise bedeutet , dass sechs Minuten nach Beginn der Beobachtung etwa aller Kerne im Gefäß Pb207-Kerne sind.
Bestimmen Sie jeweils auf zehntel Prozent genau die Anteile der drei Kernsorten zwölf Minuten nach Beobachtungsbeginn. (4 BE)
Ermitteln Sie unter Verwendung von Ergebnissen aus Aufgabe 1 den Zeitpunkt auf Sekunden genau, zu dem der Anteil von Tl207-Kernen im Gefäß am größten ist. (2 BE)
Begründen Sie rechnerisch, dass zu keinem Zeitpunkt die Anteile der drei Kernsorten gleich groß sind. (3 BE)
Weisen Sie mithilfe des Terms der Funktion nach, dass gilt, und interpretieren Sie diesen Grenzwert im Sachzusammenhang. (2 BE)
