Analysis, Teil B, Aufgabengruppe 2

Als erstes musst du beachten, dass in der Aufgabe steht, dass eine Einheit $6$ Minuten sind. $12$ Minuten entspricht also genau $12:6=2$ Einheiten. Wenn du nun die Anteile nach $12$ Minuten berechnen willst, musst du die Werte an der Stelle $x=2$ berechnen.

$B(2)=e^{-2\cdot 2}\approx \mathrm{0,01831}\dots$

Du sollst die Werte auf ein Zehntel Prozent genau angeben. Nachdem du für Prozent das Komma um zwei Stellen verschieben musst, musst du hier auf die dritte Nachkommastelle runden. Das Ergebnis für Bi211 ist also $\mathrm{1,8}$ %.

Nun dasselbe für Tl207:

$F(2)=2e^{-2}-2e^{-2\cdot 2}\approx \mathrm{0,2340}\dots \approx \mathrm{23,4}$ %

oder du erkennst, dass der Wert $F(2)\approx \mathrm{0,234}$ bereits in der Aufgabe 1 gegeben ist. In diesem Fall kannst du direkt in Prozent umwandeln: $\mathrm{23,4}$ %.

Und als Letztes für Pb207:

$P(2)=1-B(2)-F(2)\approx 1-\mathrm{0,018}-\mathrm{0,234}=\mathrm{0,748}=\mathrm{74,8}$ %

Du suchst in dieser Aufgabe den Zeitpunkt, an dem die meisten Tl207 Kerne vorhanden sind. Mit anderen Worten suchst du den $x$-Wert, an dem die Funktion, die den Verlauf der Kernanzahl der Tl207 angibt, ihr Maximum hat. Das ist die Funktion $F$ und wie du aus Aufgabe 1d) weißt, ist ihr Maximum bei $x=ln(2)$. Jetzt musst du diesen Wert noch in Sekunden umwandeln.

Aktuell ist die Einheit $6$ Minuten, das heißt, wenn du den Wert mit $6$ multiplizierst, weißt du, um wie viele Minuten es sich handelt: $x=ln(2)\cdot 6$.

Um Minuten in Sekunden umzuwandeln, musst du noch mit $60$ multiplizieren:

$x=ln(2)\cdot 6\cdot 60\approx \mathrm{249,5}$

Gefragt ist nach der Anzahl der Sekunden, also rundest du noch auf eine ganze Zahl und die Antwort ist: Nach $250$ Sekunden sind die meisten Tl207 Kerne vorhanden.

Wenn zu einem Zeitpunkt alle drei Kernsorten gleich häufig vorkommen sollen, müssen zu diesem Zeitpunkt auch die beiden ersten gleich häufig vorkommen. Also könntest du damit beginnen, auszurechen, wann die ersten beiden gleich häufig vorkommen, indem du sie gleichsetzt:

$\begin{array}{rrl}B(x)& =& F(x)\\ e^{-2x}& =& 2e^{-x}-2e^{-2x}& |-e^{-2x}\\ 0& =& 2e^{-x}-3e^{-2x}\\ 0& =& e^{-x}(2-3e^{-x})\end{array}$

Hier kannst du den Satz vom Nullprodukt verwenden und die Faktoren einzeln gleich $0$ setzen:

$e^{-x}=0$ oder $2-3e^{-x}=0$

Der erste kann nie $0$ werden, weil die $e$-Funktion nie $0$ ist, egal, was man einsetzt. Du kannst diese Gleichung also ignorieren.

Die zweite kannst du weiter auflösen:

$\begin{array}{rrll}2-3e^{-x}& =& 0& |+3e^{-x}\\ 2& =& 3e^{-x}& |:3\\ \frac{2}{3}& =& e^{-x}& |\ln ()\\ \ln \left(\frac{2}{3}\right)& =& -x& |\cdot (-1)\\ x& =& -\ln \left(\frac{2}{3}\right)=\ln \left(\frac{3}{2}\right)& \end{array}$

Für $x=ln\left(\frac{3}{2}\right)$ sind die ersten beiden Anteile gleich groß. Nun musst du rausfinden, wie hoch die Anteile zu diesem Zeitpunkt sind, um herauszufinden, ob es möglich ist, dass der dritte Anteil zu dem Zeitpunkt genauso hoch ist. Die Höhe des Anteils findest du, in dem du den $x$-Wert in eine der beiden Funktionen $B$ und $F$ einsetzt (Logarithmusrechenregeln):

$B(\ln \left(\frac{3}{2}\right))=e^{-2\ln \left(\frac{3}{2}\right)}=e^{\ln {\left(\frac{3}{2}\right)}^{-2}}=e^{\ln \left(\frac{4}{9}\right)}=\frac{4}{9}$

Wenn die ersten beiden Anteile allerdings gleichzeitig die Größe $\frac{4}{9}$ haben, kannst du leicht nachrechnen, dass der dritte Anteil zu diesem Zeipunkt nicht diese Größe haben kann. Dazu kannst du zum Beispiel $1-2\cdot \frac{4}{9}=1-\frac{8}{9}=\frac{1}{9}$ rechnen.

Damit hast du nachgewiesen, dass an dem einzigen Zeitpunkt, an dem die ersten beiden Kerne den gleichen Anteil haben, der dritte Anteil kleiner ist. Somit gibt es keinen Zeitpunkt, an dem alle drei gleich groß sind.

Alternativ könntest du dir auch überlegen, dass sich die drei Anteile zu $1$ ergänzen müssen. Wenn sie also gleich groß sein sollen, muss jeder Anteil die Größe $1:3=\frac{1}{3}$ haben. Du kannst nun auch nacheinander die Funktionen gleich $\frac{1}{3}$ setzen und jeweils nach $x$ auflösen. Sobald du zwei unterschiedliche $x$-Werte gefunden hast, haben die drei Funktionen nie gleichzeitig den Wert $\frac{1}{3}$ und du bist fertig.

Nachweis $\underset{x\to +\infty }{\lim }P(x)=1$

Als erstes kannst du den Term von $P(x)$ einsetzen und mit Hilfe der Summenregel des Limes umformen:

$\underset{x\to +\infty }{\lim }P(x)=\underset{x\to +\infty }{\lim }1-F(x)-B(x)=\underset{x\to +\infty }{\lim }1-\underset{x\to +\infty }{\lim }F(x)-\underset{x\to +\infty }{\lim }B(x)$

Nun überlegst du dir die Ergebnisse für die einzelnen Limes-Werte:

$\underset{x\to +\infty }{\lim }1=1$

In Aufgabe 1 hast du bereits nachgewiesen, dass $\underset{x\to +\infty }{\lim }F(x)=0$.

Wenn du in die $e$-Funktion sehr kleine Werte einsetzt, dann ist die Funktion fast $0$:

$\underset{x\to +\infty }{\lim }B(x)=\underset{x\to +\infty }{\lim }{e}^{-2x}=0$

Nun setzt du alle drei Werte oben ein und erhältst das gewünschte Ergebnis:

$\underset{x\to +\infty }{\lim }P(x)=\underset{x\to +\infty }{\lim }1-\underset{x\to +\infty }{\lim }F(x)-\underset{x\to +\infty }{\lim }B(x)=1-0-0=1$

Interpretation im Sachzusammenhang

$P(x)$ entspricht dem Anteil der Blei-Kerne. Wenn $x$ sehr groß ist, also wenn man sehr lange wartet, dann geht der Anteil $P(x)$ gegen $1$, also $100$ %. Das heißt, nach einiger Zeit sind praktisch nur noch Blei-Kerne vorhanden und keine Kerne der beiden anderen Sorten.

$f(x)=2e^{-x}\cdot (2e^{-x}-1)$

Überlege dir für die Berechnung der Ableitung, an welche Regel du hier zuerst denken musst: Die Funktion besteht aus zwei Faktoren, in denen $x$ jeweils vorkommt, also brauchst du zuerst die Produktregel.

$f^{\prime }(x)=(2e^{-x}{)}^{\prime }\cdot (2e^{-x}-1)+(2e^{-x})\cdot (2e^{-x}-1{)}^{\prime }$

Die $x$ kommen jedoch immer im Exponenten von $e$ vor, es handelt sich deswegen zusätzlich um verkettete Funktionen. Denke also daran, bei der Ableitung von $e^{-x}$ die Kettenregel zu verwenden. Beachte außerdem, dass konstante Summanden beim Ableiten wegfallen und die korrekte Ableitung einer $e$-Funktion.

$f^{\prime }(x)=2e^{-x}\cdot (-1)\cdot (2e^{-x}-1)+(2e^{-x})\cdot (2e^{-x}\cdot (-1))$

Um auf das in der Aufgabe gegebene Ergebnis von $f^{\prime }(x)=2e^{-x}\cdot (1-4e^{-x})$ zu kommen, musst du den Faktor $2e^{-x}$ ausklammern:

$f^{\prime }(x)=2e^{-x}(-1\cdot (2e^{-x}-1)+(2e^{-x}\cdot (-1))=2e^{-x}(1-2e^{-x}-2e^{-x})=2e^{-x}(1-4e^{-x})$

Damit hast du also gezeigt, dass die Ableitung der Form $f^{\prime }(x)=2e^{-x}\cdot (1-4e^{-x})$ ist.

Lage des Extrempunkts

Überlege dir zuerst, welche besondere Eigenschaft an einem Extrempunkt vorliegt. Hier besitzt die erste Ableitung eine Nullstelle. Das heißt, du musst die Nullstelle(n) der Ableitung herausfinden.

$f^{\prime }(x)=2e^{-x}\cdot (1-4e^{-x})=0$

Die Ableitung besteht aus zwei Faktoren, also kannst du hier den Satz vom Nullprodukt verwenden und beide einzeln gleich $0$ setzen:

$2e^{-x}=0$

Du weißt allerdings, dass die $e$-Funktion, egal was du in den Exponenten einsetzt, nie $0$ wird. Also kannst du diese Gleichung nicht lösen und deswegen gibt es von diesem Faktor keine Nullstelle.

Die Ableitung wird also an der Stelle $x=ln(4)$ $0$, das heißt, der Extrempunkt liegt an der Stelle $x=ln(4)$. Um die Lage des Punktes vollständig zu beschreiben, brauchst du allerdings noch den zugehörigen $y$-Wert. Diesen erhältst du, wenn du den $x$-Wert in die Funktion einsetzt.

$f(\ln (4))=2e^{-\ln (4)}\cdot (2e^{-\ln (4)}-1)=2e^{\ln (\frac{1}{4})}\cdot (2e^{\ln (\frac{1}{4})}-1)=2\cdot \frac{1}{4}\cdot (2\cdot \frac{1}{4}-1)=-\mathrm{0,25}$

Der Extrempunkt hat also die Koordinaten $(ln(4)|-\mathrm{0,25})$.

Art des Extrempunkts

Um die Art eines Extrempunktes herauszufinden, hast du grundsätzlich zwei Möglichkeiten: Entweder du berechnest die zweite Ableitung und setzt den $x$-Wert ein oder du stellst eine Monotonietabelle auf.

Hier wird exemplarisch das Vorgehen mit einer Monotonietabelle gezeigt:

$\begin{array}{cccc}x& -\infty <x<ln(4)& x=ln(4)& ln(4)<x<\infty \\ f^{\prime }(x)& -& 0& +\\ G_f& \downarrow & Minimum& \uparrow \end{array}$

Du rechnest also einen beliebigen Wert pro Intervall aus und trägst ein, ob dieser positiv oder negativ ist. Die Steigung ist vor dem Extrempunkt negativ, heißt der Graph fällt, und danach positiv, heißt, dass der Graph steigt. Also handelt es sich bei dem Extrempunkt um ein Minimum.

$\text{}F$ ist eine Stammfunktion

Um zu zeigen, dass $F$ eine Stammfunktion ist, musst du zeigen, dass die Ableitung von $F$ $f$ ist. Denke dazu wieder an die Kettenregel.

$F(x)=2e^{-x}-2e^{-2x}$

$F^{\prime }(x)=2e^{-x}\cdot (-1)-2e^{-2x}\cdot (-2)=-2e^{-x}+4e^{-2x}$

An dieser Stelle kannst du $2e^{-x}$ ausklammern (beachte hierzu die Potenzgesetze):

$F^{\prime }(x)=2e^{-x}(-1+2e^{-x})=2e^{-x}(2e^{-x}-1)=f(x)$

Damit hast du nachgewiesen, dass $F(x)=2e^{-x}-2e^{-2x}$ eine Stammfunktion ist.

Begründung für $\underset{x\to +\infty }{\lim }F(x)=0$

$\underset{x\to +\infty }{\lim }F(x)=\underset{x\to +\infty }{\lim }2e^{-x}-2e^{-2x}$

$x$ soll $\infty$ sein, aber es kommt immer $e^{-x}$ vor.Du musst dir also überlegen, was passiert, wenn du in die $e$-Funktion einen sehr großen negativen Wert einsetzt. Die $e$-Funktion ist dann fast $0$, also kannst du schreiben.

$\underset{x\to +\infty }{\lim }2e^{-x}-2e^{-2x}=2\cdot 0+2\cdot 0=0$

Also gilt $\underset{x\to +\infty }{\lim }F(x)=0$.

$F$ kann keine größeren Werte als 0,5 annehmen.

Um Aussagen über den Verlauf von $F$ zu treffen, kannst du dir den Graphen von $f$ anschauen, da $F$ die Stammfunktion von $f$ ist und somit auch umgekehrt $f$ die Ableitung von $F$.

Man sieht, dass $f$ (also hier deine Ableitung) an der Stelle $x=ln(2)$ eine Nullstelle hat. Daraus kann man folgern, dass $F$ an dieser Stelle einen Extrempunkt hat, weil seine Ableitung eine Nullstelle hat.

Da der Graph von $f$ wie man sehen kann vor der Nullstelle positiv ist und danach negativ ist, muss der Graph von $F$ vorher steigen und anschließend nur noch fallen, das heißt bei $x=ln(2)$ ist ein Maximum. Es ist außerdem das einzige Maximum und damit global.

Deswegen ist der $y$-Wert an der Stelle $x=ln(2)$ der höchste $y$-Wert von $F$. Weil der $y$-Wert an dieser Stelle $\mathrm{0,5}$ ist, kann $F$ keine größeren Werte als $\mathrm{0,5}$ annehmen.

Wendestelle von $F$ bei $x=ln(4)$

Wendestellen kommen immer dort vor, wo die Ableitung einen Extrempunkt hat.

Also musst du dir wieder die Ableitung von $F$, also hier $f$ ansehen. Du hast bereits in Teilaufgabe c) nachgerechnet, dass $f$ bei $x=ln(4)$ einen Extrempunkt hat, also muss $F$ hier eine Wendestelle haben.

$y$-Koordinate des Wendepunkts

Um die $y$-Koordinate des Wendepunkts zu bestimmen, musst du seine $x$-Koordinate, also $ln(4)$ in $F$ einsetzen.

$F(ln(4))=2e^{-ln(4)}-2e^{-2ln(4)}=2e^{ln(\frac{1}{4})}-2e^{ln(\frac{1}{16})}=2\cdot \frac{1}{4}-2\cdot \frac{1}{16}=\frac{3}{8}$

Die $y$-Koordinate des Wendepunkts ist $y=\frac{3}{8}$.

Um die bisherigen Ergebnisse zu beachten, solltest du die Punkte $(ln(2)|\mathrm{0,5})$ als Maximum und $(ln(4)|\frac{1}{4})$ als Wendepunkt einzeichnen. Außerdem weißt du aus $c)$, dass $\underset{x\to +\infty }{\lim }F(x)=0$ gilt.

Um die Abweichung zu berechnen, brauchst du als Erstes die Werte der beiden Flächen.

Bei dem Dreieck handelt es sich um ein rechtwinkliges Dreieck, das seine Grundseite entlang der $x$-Achse hat und seine Höhe entlang der $y$-Achse. Erstere ist $2-0=2$ lang und letztere $ln(2)-0=ln(2)$ lang.

Nach der Flächenformel des Dreiecks gilt demnach:

$A_{Dreieck}=\frac{1}{2}\cdot 2\cdot ln(2)=ln(2)$

Den genauen Flächeninhalt berechnest du mittels eines Integrals. Die Grenzen sind $0$ und $ln(2)$ und auch die Stammfunktion ist dir bereits gegeben:

$\begin{array}{l}{\int }_0^{ln(2)}f(x)dx=[F(x){]}_0^{ln(2)}=[2e^{-x}-2e^{-2x}{]}_0^{ln(2)}\\ =(2e^{-ln(2)}-2e^{-2ln(2)})-(2e^{-0}-2e^{-2\cdot 0})=(2e^{ln(\frac{1}{2})}-2e^{ln(\frac{1}{4})})-(2-2)=(2\cdot \frac{1}{2}-2\cdot \frac{1}{4})-0=\frac{1}{2}\end{array}$

Um den prozentualen Unterschied zu berechen, berechnest du den absoluten Unterschied und teilst diesen durch den ursprünglichen Wert:

$\frac{|\frac{1}{2}-ln(2)|}{\frac{1}{2}}\approx \mathrm{0,386}$

Die Abweichung beträgt also $39$ %.

$\text{}\text{}{F}_0$​ stimmt mit $\text{}\text{}F$ überein

Du kannst diese Aussage überprüfen, indem du $F_0$ ausrechnest, also ohne Integral schreibst:

$\begin{array}{l}{F}_0(x)={\int }_0^{x}f(t)dt=[F(t){]}_0^x=[2e^{-t}-2e^{-2t}{]}_0^x\\ =(2e^{-x}-2e^{-2x})-(2e^{-0}-2e^{-2\cdot 0})=(2e^{-x}-2e^{-2x})-(2-2)=2e^{-x}-2e^{-2x}=F(x)\end{array}$

Interpretation des Wertes $F_0(2)\approx \mathrm{0,234}$

Du kannst an der Zeichnung erkennen, dass das Integral über eine Nullstelle verläuft. Nun verwendest du, dass du weißt, dass das Integral eine Flächenbilanz ist. Du ziehst also hier von dem Wert des Integrals von $0$ bis zur Nullstelle den Wert des Integrals von der Nullstelle bis $2$ ab.

Das kannst du nun noch graphisch veranschaulichen: Du subtrahierst also das rote Flächenstück vom orangen Flächenstück, um den Wert $F_0(2)\approx \mathrm{0,234}$ zu erhalten.

Ein entscheidender Unterschied zwischen Stammfunktion und Integralfunktion ist, dass die Integralfunktion immer eine Nullstelle haben muss (mindestens bei ihrer unteren Grenze), während die Stammfunktion zwar Nullstellen haben kann, aber nicht muss.

Das heißt, wenn du sichergehen willst, dass eine Funktion eine Stammfunktion, aber keine Integralfunktion ist, dann musst du eine Stammfunktion ohne Nullstelle finden.

Eine neue Stammfunktion erhältst du, wenn du zu einer alten eine Konstante addierst, weil Konstanten bekanntlich beim Ableiten wegfallen.

Über die gegebene Stammfunktion $F$ weißt du bereits, dass ihr größter $y$-Wert bei $\mathrm{0,5}$ liegt. Das heißt, wenn du die Funktion um mehr als $\mathrm{0,5}$ nach unten verschiebst, ist ihr höchster $y$-Wert kleiner als $0$ und die Funktion verläuft nur unterhalb der $x$-Achse und hat somit keine Nullstellen.

Das heißt eine mögliche Stammfunktion $F^{\ast }$ wäre:

$F^{\ast }(x)=F(x)-1=2e^{-x}-2e^{-2x}-1$