Zeigen Sie, dass für den Term der Ableitungsfunktion $f'$ von $f$ gilt: $f'(x)=2e^{-x}\cdot(1-4e^{-x})$. (3 BE)

Bestimmen Sie rechnerisch Lage und Art des Extrempunkts von $G_f$. (4 BE)

(Teilergebnis: x-Koordinate des Extrempunkts: $ln(4)$)

Zusätzlich ist die Funktion $F$ mit $F(x)=2e^{-x}-2e^{-2x}$ und $x \in \mathbb{R}$ gegeben.

Zeigen Sie, dass $F$ eine Stammfunktion von $f$ ist, und begründen Sie anhand des Terms von $F$, dass $\lim\limits_{x\rightarrow +\infty} F(x)=0$ gilt. (3 BE)

Der Graph von $F$ verläuft durch den Punkt $(ln(2)|0{,}5)$. Begründen Sie ohne weitere Rechnung, dass $F$ keine größeren Werte als $0{,}5$ annehmen kann und bei $x=ln(4)$ eine Wendestelle besitzt. Berechnen Sie die y-Koordinate des zugehörigen Wendepunkts. (5 BE)

Zeichnen Sie den Graphen von $F$ unter Berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse sowie des Funktionswerts $F(0)$ im Bereich $-0{,}3\le x \le 3{,}5$ in Abbildung 1 ein. (4 BE)

Der Graph von $f$ schließt mit den Koordinatenachsen ein Flächenstück ein, das durch das Dreieck mit Eckpunkten $O(0|0)$, $P(ln2|0)$ und $Q(0|2)$ angenähert werden kann. Berechnen Sie, um wie viel Prozent der Flächeninhalt des Dreiecks $OPQ$ vom Inhalt des Flächenstücks abweicht. (4 BE)

Betrachtet wird nun die Integralfunktion $F_0$ mit $F_0(x)=\int_0^x f(t)dt$ und $x \in \mathbb{R}$.

Begründen Sie, dass $F_0$ mit der betrachteten Stammfunktion $F$ von $f$ übereinstimmt. Interpretieren Sie geometrisch den Wert $F_0(2)\approx 0{,}234$ mithilfe von in Abbildung 1 geeignet zu markierenden Flächenstücken. (4 BE)

Geben Sie den Term einer in $\mathbb{R}$ definierten Funktion an, die eine Stammfunktion, aber keine Integralfunktion von $f$ ist. (2 BE)