Geometrie, Teil A, Aufgabengruppe 1

Betrachtet wird die Pyramide $A B C D S$ mit $A (0 ∣ 0 ∣ 0), B (4 ∣ 4 ∣ 2), C (8 ∣ 0 ∣ 2), D (4 ∣ - 4 ∣ 0)$ ,und $S (1 ∣ 1 ∣ - 4)$ . Die Grundfläche $A B C D$ ist ein Parallelogramm.

Weisen Sie nach, dass das Parallelogramm $A B C D$ ein Rechteck ist. (2 BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Skalarprodukt
Hier musst du wissen, was die Eigenschaften eines Parallelogramms und eines Rechtecks sind. Außerdem solltest du wissen, wie man ein Skalarprodukt berechnen kann.
Du weißt bereits, dass das Viereck $A B C D$ ein Parallelogramm ist. Deswegen sind die gegenüberliegenden Seiten sicher gleich lang. Die zusätzliche Eigenschaft eines Rechtecks sind rechte Winkel zwischen den Seiten. Das ist das, was du nachweisen musst. Dazu reicht es aus, dass es einen rechten Winkel gibt.
Einen rechten Winkel weißt du nach, indem du das Skalarprodukt zwischen den zwei Vektoren ausrechnest, die die anliegenden Seiten darstellen. Wenn es null ist, stehen die Vektoren senkrecht aufeinander und der Winkel ist ein rechter Winkel.
Es gibt natürlich jetzt viele Seitenkombinationen, mit denen man das ausrechnen kann. Hier wird es exemplarisch mit den Strecken $[A B]$ und $[A D]$ berechnet:
Vektoren aufstellen
$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=\begin{pmatrix}4\\4\\2\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\4\\2\end{pmatrix}$
$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OA}=\begin{pmatrix}4\\-4\\0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\-4\\0\end{pmatrix}$
Denke an die Regel "Spitze minus Fuß".
Skalarprodukt berechnen
$\overrightarrow{AB}\circ\overrightarrow{AD}=\begin{pmatrix}4\\4\\2\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}4\\-4\\0\end{pmatrix}=4\cdot4+4\cdot (-4)+2\cdot 0=16-16=0$
Der Winkel zwischen den Seiten $[A B]$ und $[A D]$ ist ein rechter Winkel und damit ist $A B C D$ ein Rechteck.
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Die Kante $[A S]$ steht senkrecht auf der Grundfläche $A B C D$ . Der Flächeninhalt der Grundfläche beträgt $24\sqrt{2}$ . Ermitteln Sie das Volumen der Pyramide. (3 BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Betrag eines Vektors
Bei dieser Teilaufgabe musst du die Formel für das Volumen von Pyramiden kennen. Du musst außerdem den Betrag eines Vektors berechnen können.
$V=\frac{1}{3}\cdot \text{Grundfläche}\cdot \text{Höhe}$
Die Grundfläche ist dir bereits gegeben, also musst du noch die Länge der Höhe ausrechnen. Die Höhe ist die Strecke $[A S]$ , da sie senkrecht auf der Grundfläche steht. Berechne also zuerst den Vektor $\overrightarrow{AS}$ , indem du "Spitze minus Fuß" berechnest.
$\overrightarrow{AS}=\overrightarrow{OS}-\overrightarrow{OA}=\begin{pmatrix}1\\1\\-4\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\1\\-4\end{pmatrix}$
Berechne die Länge des Vektors für die Größe der Höhe. Ermittele dazu den Betrag des Vektors.
$\vert\overrightarrow{AS}\vert=\left|\begin{pmatrix}1\\1\\-4\end{pmatrix}\right|=\sqrt{1^2+1^2+(-4)^2}=\sqrt{18}$
Du kannst durch teilweises Radizieren die Wurzel vereinfachen.
$|\overrightarrow{AS}|=\sqrt{18}=\sqrt{3\cdot 3\cdot 2}=3\sqrt{2}$
Setze die Werte in die Volumenformel ein.
$V=\frac{1}{3}\cdot 24\sqrt{2}\cdot 3\sqrt{2}=24\cdot 2=48$
Das Volumen der Pyramide beträgt $48$ Volumeneinheiten.
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Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. → Was bedeutet das?

Vektoren aufstellen

AB→=OB→−OA→=(442)−(000)=(442)\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=\begin{pmatrix}4\\4\\2\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\4\\2\end{pmatrix}AB=OB−OA=​442​​−​000​​=​442​​

AD→=OD→−OA→=(4−40)−(000)=(4−40)\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OA}=\begin{pmatrix}4\\-4\\0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\-4\\0\end{pmatrix}AD=OD−OA=​4−40​​−​000​​=​4−40​​

Skalarprodukt berechnen

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$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=\begin{pmatrix}4\\4\\2\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\4\\2\end{pmatrix}$

$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OA}=\begin{pmatrix}4\\-4\\0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\-4\\0\end{pmatrix}$