Geometrie, Teil A, Aufgabengruppe 1

Hier musst du wissen, was die Eigenschaften eines Parallelogramms und eines Rechtecks sind. Außerdem solltest du wissen, wie man ein Skalarprodukt berechnen kann.

Du weißt bereits, dass das Viereck $ABCD$ ein Parallelogramm ist. Deswegen sind die gegenüberliegenden Seiten sicher gleich lang. Die zusätzliche Eigenschaft eines Rechtecks sind rechte Winkel zwischen den Seiten. Das ist das, was du nachweisen musst. Dazu reicht es aus, dass es einen rechten Winkel gibt.

Einen rechten Winkel weißt du nach, indem du das Skalarprodukt zwischen den zwei Vektoren ausrechnest, die die anliegenden Seiten darstellen. Wenn es null ist, stehen die Vektoren senkrecht aufeinander und der Winkel ist ein rechter Winkel.

Es gibt natürlich jetzt viele Seitenkombinationen, mit denen man das ausrechnen kann. Hier wird es exemplarisch mit den Strecken $[AB]$ und $[AD]$ berechnet:

Vektoren aufstellen

$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=\begin{pmatrix}4\\4\\2\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\4\\2\end{pmatrix}$

$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OA}=\begin{pmatrix}4\\-4\\0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\-4\\0\end{pmatrix}$

Denke an die Regel "Spitze minus Fuß".

Skalarprodukt berechnen

$\overrightarrow{AB}\circ\overrightarrow{AD}=\begin{pmatrix}4\\4\\2\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}4\\-4\\0\end{pmatrix}=4\cdot4+4\cdot (-4)+2\cdot 0=16-16=0$

Der Winkel zwischen den Seiten $[AB]$ und $[AD]$ ist ein rechter Winkel und damit ist $ABCD$ ein Rechteck.

Bei dieser Teilaufgabe musst du die Formel für das Volumen von Pyramiden kennen. Du musst außerdem den Betrag eines Vektors berechnen können.

$V=\frac{1}{3}\cdot \text{Grundfläche}\cdot \text{Höhe}$

Die Grundfläche ist dir bereits gegeben, also musst du noch die Länge der Höhe ausrechnen. Die Höhe ist die Strecke $[AS]$, da sie senkrecht auf der Grundfläche steht. Berechne also zuerst den Vektor $\overrightarrow{AS}$, indem du "Spitze minus Fuß" berechnest.

$\overrightarrow{AS}=\overrightarrow{OS}-\overrightarrow{OA}=\begin{pmatrix}1\\1\\-4\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\1\\-4\end{pmatrix}$

Berechne die Länge des Vektors für die Größe der Höhe. Ermittele dazu den Betrag des Vektors.

$\vert\overrightarrow{AS}\vert=\left|\begin{pmatrix}1\\1\\-4\end{pmatrix}\right|=\sqrt{1^2+1^2+(-4)^2}=\sqrt{18}$

Du kannst durch teilweises Radizieren die Wurzel vereinfachen.

$|\overrightarrow{AS}|=\sqrt{18}=\sqrt{3\cdot 3\cdot 2}=3\sqrt{2}$

Setze die Werte in die Volumenformel ein.

$V=\frac{1}{3}\cdot 24\sqrt{2}\cdot 3\sqrt{2}=24\cdot 2=48$

Das Volumen der Pyramide beträgt $48$ Volumeneinheiten.

Für diese Aufgabe musst du wissen, wie du den Abstand zwischen zwei Punkten ausrechnest. Außerdem musst du Vektoren addieren und multiplizieren können.

Abstand der Punkte $A$ und $B$

Dafür berechnest du den Betrag des Verbindungsvektors zwischen $A$ und $B$:

$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{B} - \overrightarrow{A} =\begin{pmatrix}2\\5\\6\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}0\\1\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\4\\4\end{pmatrix}$

$\left|\,\overrightarrow{AB} \,\right|=\left|\begin{pmatrix}2\\4\\4\end{pmatrix}\right|\displaystyle=\sqrt{2^2+4^2+4^2}=\sqrt{36}=6$

Die Punkte $A$ und $B$ haben den Abstand $6$ Längeneinheiten voneinander, wie man zeigen sollte. Statt dem Vektor $\overrightarrow{AB}$ kann man natürlich genauso den Vektor $\overrightarrow{BA}$ verwenden.

Koordinaten von $B$ und $C$

$\overrightarrow{AB}$ ist ein Richtungsvektor der Geraden mit der Länge $6$. Sucht man jetzt Punkte, die auf der Geraden liegen und den Abstand $12$ von $A$ haben, muss man zum Punkt $A$ gehörigen Vektor nur zweimal den Vektor $\overrightarrow{AB}$ addieren bzw. subtrahieren:

$\overrightarrow{0C}=\overrightarrow{0A}+2\cdot \overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}0\\1\\2\end{pmatrix} +2\cdot \begin{pmatrix}2\\4\\4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\1\\2\end{pmatrix} +\begin{pmatrix}4\\8\\8\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\9\\10\end{pmatrix}$

und

$\overrightarrow{0D}=\overrightarrow{0A}-2\cdot \overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}0\\1\\2\end{pmatrix} -2\cdot \begin{pmatrix}2\\4\\4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\1\\2\end{pmatrix} -\begin{pmatrix}4\\8\\8\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-4\\-7\\-6\end{pmatrix}$

Damit hat der Punkt $C$ die Koordinaten $(4|9|10)$ und der Punkt $D$ die Koordinaten $(-4|-7|-6)$.

Für diese Aufgabe solltest du die Eigenschaften eines Parallelogramms kennen.

Grundsätzlich sind drei Möglichkeiten vorstellbar, die drei vorhandenen Punkte zu einem Parallelogramm zu ergänzen. Sie sind alle in der Grafik rechts grundsätzlich dargestellt.

Das Vorgehen zum Ermitteln eines neuen Punktes funktioniert immer gleich: Man stellt einen Verbindungsvektor zwischen zwei Punkten auf und addiert diesen zum dritten Punkt.

Nachdem du den Vektor $\overrightarrow{AB}$ bereits kennst, lassen sich die Punkte $P_1$ und $P_2$ schneller ausrechnen:

$\overrightarrow{OP_1}=\overrightarrow{OE}+ \overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}1\\2\\5\end{pmatrix} +\begin{pmatrix}2\\4\\4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\6\\9\end{pmatrix}$

$\overrightarrow{OP_2}=\overrightarrow{OE}- \overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}1\\2\\5\end{pmatrix} -\begin{pmatrix}2\\4\\4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\-2\\1\end{pmatrix}$

Einen Verbindungsvektor berechnet man, indem man "Spitze minus Fuß" rechnet:

$\overrightarrow{OP_3}=\overrightarrow{OA}+ \overrightarrow{EB}=\overrightarrow{OA}+\left[\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OE}\right]=\begin{pmatrix}0\\1\\2\end{pmatrix}+ \begin{pmatrix}2\\5\\6\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\2\\5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\4\\3\end{pmatrix}$

Die drei möglichen Punkte sind:

$P1​(3∣6∣9), \sf P_2(-1|-2|1) und \sf P_3(1|4|3)$

Achtung: Man kann jeden der Punkte auf viele verschiedene Arten erhalten, ein anderer Rechenweg ist also gut möglich.