Gegeben sind$n=15$ und $p=\mathrm{0,05}$:

Die Werte der Binomialverteilung können dem Tafelwerk entnommen werden.

"Keine der Pflanzen wird von Pilzen befallen", d.h. es ist $P(X=0)$ gesucht.

$E_1:P(X=0)=B(15;\mathrm{0,05};0)=\mathrm{0,46329}$

"Höchstens $2$ Pflanzen werden von Pilzen befallen", d.h. es ist $P(X\le 2)$ gesucht.

Hier können die Werte der kumulierten Binomialverteilung benutzt werden.

Alternativ können auch die drei Einzelwerte $P(X=0)$, $P(X=1)$ und $P(X=2)$ addiert werden.

$E_2:P(X\le 2)=F(15;\mathrm{0,05};2)=\mathrm{0,96380}$

"$12$ oder $13$ Pflanzen bleiben ohne Pilzbefall", d.h. $2$ oder $3$ Pflanzen werden vom Pilz befallen. Demnach ist $P(2\le X\le 3)$ gesucht.

$E_3:P(2\le X\le 3)=P(X=2)+P(X=3)=\mathrm{0,13475}+\mathrm{0,03073}=\mathrm{0,16548}$

Alternative Lösung:

$P(\text{mindest. 1 Pfl. von Pilzen befallen})=1-P(\text{keine Pfl. von Pilzen befallen})\ge \mathrm{0,99}$

Es ist $n\ge \mathrm{89,8}$. Da $n$ eine ganze Zahl ist und laut Aufgabenstellung der kleinste Wert von $n$ bestimmt werden soll, ist hier $n=90$.

Der Erwartungswert bei einer Binomialverteilung ist$\mu =n\cdot p$.

Für die Standardabweichung $\sigma$ gilt: $\sigma =\sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)}$.

Mit $n=400$und $p=\mathrm{0,05}$folgt:

$\mu =n\cdot p=400\cdot \mathrm{0,05}=20$und $\sigma =\sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)}=\sqrt{400\cdot \mathrm{0,05}\cdot \mathrm{0,95}}\approx \mathrm{4,4}$

Das Intervall "Die Abweichung vom Erwartungswert beträgt höchstens eine Standardabweichung" ist dann $[\mu -\sigma ;\mu +\sigma ]$.

Setzt man die berechneten Werte ein, dann folgt:

$[20-\mathrm{4,4};20+\mathrm{4,4}]=[\mathrm{15,6};\mathrm{24,4}]$

Da $n$ eine ganze Zahl ist, ergibt sich gerundet das Intervall $[16;24]$.

Damit folgt für die kleinst mögliche relative Häufigkeit der Pflanzen, die von Pilzen befallen werden $h_{\min }={\displaystyle \frac{16}{400}}=\mathrm{0,04}$ und für die größtmögliche relative Häufigkeit der Pflanzen, die von Pilzen befallen werden $h_{max}={\displaystyle \frac{24}{400}}=\mathrm{0,06}$.

Für $k=2$ erhält man folgende Aussage:

$P(\mu -2\cdot \sigma <X<\mu +2\cdot \sigma )\ge 1-{\displaystyle \frac{1}{2^2}}={\displaystyle \frac{3}{4}}\text{}$

Diese Aussage hat folgende Bedeutung:

Ist $X$ eine Zufallsgröße mit dem Erwartungswert$\mu$und der Standardabweichung $\sigma$, dann fallen die Werte von $X$ mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens $75\%$ in das Intervall $[\mu -2\cdot \sigma ;\mu +2\cdot \sigma ]$.

Oder anders formuliert: Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Zufallsgröße $X$ um weniger als zwei Standardabweichungen vom Erwartungswert $\mu$ abweicht, ist mindestens $75\%$.