Stochastik, Teil B, Aufgabengruppe 1

Gegeben sind$n=15$ und $p=\mathrm{0,05}$:

Die Werte der Binomialverteilung können dem Tafelwerk entnommen werden.

"Keine der Pflanzen wird von Pilzen befallen", d.h. es ist $P(X=0)$ gesucht.

$E_1:P(X=0)=B(15;\mathrm{0,05};0)=\mathrm{0,46329}$

"Höchstens $2$ Pflanzen werden von Pilzen befallen", d.h. es ist $P(X\le 2)$ gesucht.

Hier können die Werte der kumulierten Binomialverteilung benutzt werden.

Alternativ können auch die drei Einzelwerte $P(X=0)$, $P(X=1)$ und $P(X=2)$ addiert werden.

$E_2:P(X\le 2)=F(15;\mathrm{0,05};2)=\mathrm{0,96380}$

"$12$ oder $13$ Pflanzen bleiben ohne Pilzbefall", d.h. $2$ oder $3$ Pflanzen werden vom Pilz befallen. Demnach ist $P(2\le X\le 3)$ gesucht.

$E_3:P(2\le X\le 3)=P(X=2)+P(X=3)=\mathrm{0,13475}+\mathrm{0,03073}=\mathrm{0,16548}$

Alternative Lösung:

$P(\text{mindest. 1 Pfl. von Pilzen befallen})=1-P(\text{keine Pfl. von Pilzen befallen})\ge \mathrm{0,99}$

Es ist $n\ge \mathrm{89,8}$. Da $n$ eine ganze Zahl ist und laut Aufgabenstellung der kleinste Wert von $n$ bestimmt werden soll, ist hier $n=90$.

Der Erwartungswert bei einer Binomialverteilung ist$\mu =n\cdot p$.

Für die Standardabweichung $\sigma$ gilt: $\sigma =\sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)}$.

Mit $n=400$und $p=\mathrm{0,05}$folgt:

$\mu =n\cdot p=400\cdot \mathrm{0,05}=20$und $\sigma =\sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)}=\sqrt{400\cdot \mathrm{0,05}\cdot \mathrm{0,95}}\approx \mathrm{4,4}$

Das Intervall "Die Abweichung vom Erwartungswert beträgt höchstens eine Standardabweichung" ist dann $[\mu -\sigma ;\mu +\sigma ]$.

Setzt man die berechneten Werte ein, dann folgt:

$[20-\mathrm{4,4};20+\mathrm{4,4}]=[\mathrm{15,6};\mathrm{24,4}]$

Da $n$ eine ganze Zahl ist, ergibt sich gerundet das Intervall $[16;24]$.

Damit folgt für die kleinst mögliche relative Häufigkeit der Pflanzen, die von Pilzen befallen werden $h_{\min }={\displaystyle \frac{16}{400}}=\mathrm{0,04}$ und für die größtmögliche relative Häufigkeit der Pflanzen, die von Pilzen befallen werden $h_{max}={\displaystyle \frac{24}{400}}=\mathrm{0,06}$.

Für $k=2$ erhält man folgende Aussage:

$P(\mu -2\cdot \sigma <X<\mu +2\cdot \sigma )\ge 1-{\displaystyle \frac{1}{2^2}}={\displaystyle \frac{3}{4}}\text{}$

Diese Aussage hat folgende Bedeutung:

Ist $X$ eine Zufallsgröße mit dem Erwartungswert$\mu$und der Standardabweichung $\sigma$, dann fallen die Werte von $X$ mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens $75\%$ in das Intervall $[\mu -2\cdot \sigma ;\mu +2\cdot \sigma ]$.

Oder anders formuliert: Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Zufallsgröße $X$ um weniger als zwei Standardabweichungen vom Erwartungswert $\mu$ abweicht, ist mindestens $75\%$.

Die Vierfeldertafel mit den absoluten Häufigkeiten:

Wie findet man die Werte in den einzelnen Feldern?

Gegeben ist die Gesamtzahl der Pflanzen $n=150$. In der Summenspalte unten rechts steht $150$.

$19$ Pflanzen wurden vom tropischen Pilz befallen. In der Summenspalte steht die absolute Häufigkeit $T=19$ in der ersten Zeile.

Die Differenz von $150$ und $19$ ist $131$. In der mittleren Zeile der Summenspalte steht $131$.

$70\%$ der Pflanzen wurden mit dem Pflanzenschutzmittel behandelt:

$\Rightarrow 70\%$ von $150$ sind $105$. In der Spalte $S$ steht die absolute Häufigkeit $S=105$ ganz unten.

Die Differenz von $150$ und $105$ ist $45$. Im mittleren Feld der Summenzeile steht $45$.

Die Anzahl $x$der behandelten Pflanzen mit Pilzbefall steht im Feld $T\cap S$. Im Feld rechts daneben steht die Differenz von $19$ und $x$.

Die Anzahl der unbehandelten Pflanzen ohne Pilzbefall ist dreimal so groß wie die Anzahl $x$ der behandelten Pflanzen mit Pilzbefall. Im Feld $\overline{T}\cap \overline{S}$ steht $3x$.

Die Differenz von $131$ und $3x$ steht dann im Feld $\overline{T}\cap S$.

Damit ist die Vierfeldertafel komplett.

Bestimmung von $x$

In der ersten Spalte kann folgende Gleichung aufgestellt werden:

Die Anzahl der behandelten Pflanzen mit Pilzbefall beträgt $13$.

Mit dem berechneten Wert $x=13$ erhält man folgende Vierfeldertafel:

$P_S(T)={\displaystyle \frac{P(T\cap S)}{P(S)}}={\displaystyle \frac{\frac{13}{150}}{\frac{105}{150}}}={\displaystyle \frac{13}{105}}\approx \mathrm{0,1238}$ oder rund 1$\mathrm{2,4}\%$

$P_{\overline{S}}(T)={\displaystyle \frac{P(T\cap \overline{S})}{P(\overline{S})}}={\displaystyle \frac{\frac{6}{150}}{\frac{45}{150}}}={\displaystyle \frac{6}{45}}\approx \mathrm{0,1333}$ oder rund $\mathrm{13,3}\%$

Warum kann aus den Ergebnissen des Experiments nicht auf die Wirksamkeit des Pflanzenschutzmittels gegen den tropischen Pilz geschlossen werden?

Die beiden berechneten Wahrscheinlichkeiten $P_S(T)$ und $P_{\overline{S}}(T)$ sind ungefähr gleich groß. Bei den unbehandelten Pflanzen ist die Wahrscheinlichkeit, vom tropischen Pilz befallen zu werden ($P_{\overline{S}}(T)\approx \mathrm{13,3}\%$), nur unwesentlich größer als bei den behandelten Pflanzen ($P_S(T)\approx \mathrm{12,4}\%$). Somit ist bei diesem Pilz die Wirkung des Pflanzenschutzmittels eingeschränkt bzw. das Mittel ist gar nicht wirksam.