Stochastik, Teil B, Aufgabengruppe 1

Gegeben sind$n=15$ und $p=0{,}05$:

Die Werte der Binomialverteilung können dem Tafelwerk entnommen werden.

"Keine der Pflanzen wird von Pilzen befallen", d.h. es ist $P(X=0)$ gesucht.

$E_1: P(X=0)=B(15;0{,}05;0)=0{,}46329$

"Höchstens $2$ Pflanzen werden von Pilzen befallen", d.h. es ist $P(X\leq2)$ gesucht.

Hier können die Werte der kumulierten Binomialverteilung benutzt werden.

Alternativ können auch die drei Einzelwerte $P(X=0)$, $P(X=1)$ und $P(X=2)$ addiert werden.

$E_2: P(X\leq2)=F(15;0{,}05;2)=0{,}96380$

"$12$ oder $13$ Pflanzen bleiben ohne Pilzbefall", d.h. $2$ oder $3$ Pflanzen werden vom Pilz befallen. Demnach ist $P(2\leq X\leq3)$ gesucht.

$E_3:P(2\le X\le3)=P(X=2)+P(X=3)=0{,}13475+0{,}03073=0{,}16548$

Alternative Lösung:

$P(\text{mindest. 1 Pfl. von Pilzen befallen})=1−P(\text{keine Pfl. von Pilzen befallen})≥0{,}99$

Es ist $n\geq 89{,}8$. Da $n$ eine ganze Zahl ist und laut Aufgabenstellung der kleinste Wert von $n$ bestimmt werden soll, ist hier $n=90$.

Der Erwartungswert bei einer Binomialverteilung ist$\mu=n\cdot p$.

Für die Standardabweichung $\sigma$ gilt: $\sigma=\sqrt{n\cdot p \cdot (1-p)}$.

Mit $n=400$und $p=0{,}05$folgt:

$\mu=n\cdot p=400\cdot 0{,}05=20$und $\sigma=\sqrt{n\cdot p \cdot (1-p)}=\sqrt{400\cdot 0{,}05 \cdot 0{,}95}\approx 4{,}4$

Das Intervall "Die Abweichung vom Erwartungswert beträgt höchstens eine Standardabweichung" ist dann $[\mu-\sigma;\mu+\sigma]$.

Setzt man die berechneten Werte ein, dann folgt:

$[20-4{,}4 ;20+4{,}4]= [15{,}6; 24{,}4]$

Da $n$ eine ganze Zahl ist, ergibt sich gerundet das Intervall $[16;24]$.

Damit folgt für die kleinst mögliche relative Häufigkeit der Pflanzen, die von Pilzen befallen werden $h_{\min}=\dfrac{16}{400}=0{,}04$ und für die größtmögliche relative Häufigkeit der Pflanzen, die von Pilzen befallen werden $h_{max}=\dfrac{24}{400}=0{,}06$.

Für $k=2$ erhält man folgende Aussage:

$P(\mu-2\cdot \sigma <X< \mu+2\cdot \sigma)\geq 1-\dfrac{1}{2^2}=\dfrac{3}{4}​$

Diese Aussage hat folgende Bedeutung:

Ist $X$ eine Zufallsgröße mit dem Erwartungswert$\mu$und der Standardabweichung $\sigma$, dann fallen die Werte von $X$ mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens $75\;\%$ in das Intervall $[\mu-2\cdot\sigma;\mu+2\cdot\sigma]$.

Oder anders formuliert: Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Zufallsgröße $X$ um weniger als zwei Standardabweichungen vom Erwartungswert $\mu$ abweicht, ist mindestens $75\;\%$.

Die Vierfeldertafel mit den absoluten Häufigkeiten:

Wie findet man die Werte in den einzelnen Feldern?

Gegeben ist die Gesamtzahl der Pflanzen $n=150$. In der Summenspalte unten rechts steht $150$.

$19$ Pflanzen wurden vom tropischen Pilz befallen. In der Summenspalte steht die absolute Häufigkeit $T= 19$ in der ersten Zeile.

Die Differenz von $150$ und $19$ ist $131$. In der mittleren Zeile der Summenspalte steht $131$.

$70\;\%$ der Pflanzen wurden mit dem Pflanzenschutzmittel behandelt:

$\;\Rightarrow\; 70\;\%$ von $150$ sind $105$. In der Spalte $S$ steht die absolute Häufigkeit $S=105$ ganz unten.

Die Differenz von $150$ und $105$ ist $45$. Im mittleren Feld der Summenzeile steht $45$.

Die Anzahl $x$der behandelten Pflanzen mit Pilzbefall steht im Feld $T\cap S$. Im Feld rechts daneben steht die Differenz von $19$ und $x$.

Die Anzahl der unbehandelten Pflanzen ohne Pilzbefall ist dreimal so groß wie die Anzahl $x$ der behandelten Pflanzen mit Pilzbefall. Im Feld $\overline T\cap \overline S$ steht $3x$.

Die Differenz von $131$ und $3x$ steht dann im Feld $\overline T\cap S$.

Damit ist die Vierfeldertafel komplett.

Bestimmung von $x$

In der ersten Spalte kann folgende Gleichung aufgestellt werden:

Die Anzahl der behandelten Pflanzen mit Pilzbefall beträgt $13$.

Mit dem berechneten Wert $x=13$ erhält man folgende Vierfeldertafel:

$P_{{S}}(T)=\dfrac{P(T\cap S)}{P(S)}=\dfrac{\frac{13}{150}}{\frac{105}{150}}=\dfrac{13}{105}\approx0{,}1238$ oder rund 1$2{,}4\;\%$

$P_{\overline{S}}(T)=\dfrac{P(T\cap \overline S)}{P(\overline S)}=\dfrac{\frac{6}{150}}{\frac{45}{150}}=\dfrac{6}{45}\approx0{,}1333$ oder rund $13{,}3\;\%$

Warum kann aus den Ergebnissen des Experiments nicht auf die Wirksamkeit des Pflanzenschutzmittels gegen den tropischen Pilz geschlossen werden?

Die beiden berechneten Wahrscheinlichkeiten $P_S(T)$ und $P_{\overline{S}}(T)$ sind ungefähr gleich groß. Bei den unbehandelten Pflanzen ist die Wahrscheinlichkeit, vom tropischen Pilz befallen zu werden ($P_{\overline{S}}(T)\approx13{,}3\;\%$), nur unwesentlich größer als bei den behandelten Pflanzen ($P_{{S}}(T)\approx12{,}4\;\%$). Somit ist bei diesem Pilz die Wirkung des Pflanzenschutzmittels eingeschränkt bzw. das Mittel ist gar nicht wirksam.