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Stochastik, Teil B, Aufgabengruppe 1

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Die Aufgabenstellung findest du hier zu Ausdrucken als PDF,

  1. 1

    Um die Wirksamkeit eines Pflanzenschutzmittels gegen Pilzbefall nachzuweisen, wurden zahlreiche Versuche durchgeführt, bei denen landwirtschaftliche Nutzpflanzen behandelt und anschließend mit Pilzsporen besprüht wurden. Im Mittel sind dabei 5  %5\;\% der Pflanzen von Pilzen befallen worden.

    Bei einem weiteren Versuch mit nn Pflanzen beschreibt die Zufallsgröße XnX_n​ die Anzahl der

    Pflanzen, die von Pilzen befallen werden. Im Folgenden soll davon ausgegangen werden,

    dass Xn​ X_n​ binomialverteilt ist, mit den Parametern nn und p=0,05p=0{,}05.

    1. Es werden 1515 Pflanzen mit dem Pflanzenschutzmittel behandelt und anschließend mit Pilzsporen besprüht. Bestimmen Sie jeweils die Wahrscheinlichkeit folgender Ereignisse: (6 P)

      E1E_1​: "Keine der Pflanzen wird von Pilzen befallen."

      E2E_2​: "Höchstens 22 Pflanzen werden von Pilzen befallen."

      E3E_3​: "1212 oder 1313 Pflanzen bleiben ohne Pilzbefall."

    2. Bestimmen Sie den kleinsten Wert von n n, für den die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mindestens eine Pflanze von Pilzen befallen wird, mindestens 99  %99\;\% beträgt. (4 P)


    3. Ermitteln Sie unter der Voraussetzung, dass bei einem Versuch mit 400400 Pflanzen der Wert der Zufallsgröße X400​ X_{400}​ um höchstens eine Standardabweichung von Erwartungswert abweicht, die kleinst- und größtmögliche relative Häufigkeit der Pflanzen, die von Pilzen befallen werden. (4 P)

    4. Allgemein gilt für eine Zufallsgröße XX mit Erwartungswert μ \mu und Standardabweichung σ\sigma folgende Ungleichung für k>0k>0:

      P(μkσ<X<μ+kσ)11k2\displaystyle P(\mu-k\cdot \sigma <X< \mu+k\cdot \sigma)\geq 1-\dfrac{1}{k^2}​

      Erläutern Sie die Aussage dieser Ungleichung für k=2k=2. (3 P)

  2. 2

    Um die Wirksamkeit eines Pflanzenschutzmittels gegen Pilzbefall nachzuweisen, wurden zahlreiche Versuche durchgeführt, bei denen landwirtschaftliche Nutzpflanzen behandelt und anschließend mit Pilzsporen besprüht wurden. Im Mittel sind dabei 5  %5\;\% der Pflanzen von Pilzen befallen worden.

    Um die Wirksamkeit des Pflanzenschutzmittels gegen einen nur in den Tropen auftretenden Pilz zu untersuchen, wurde ein Experiment mit 150150 Pflanzen durchgeführt. Dabei wurden 70  %70\;\% der Pflanzen mit dem Pflanzenschutzmittel behandelt und anschließend alle 150 150 Pflanzen mit den Sporen des tropischen Pilzes besprüht.

    Am Ende des Experiments war die Anzahl der unbehandelten Pflanzen ohne Pilzbefall dreimal so groß wie die Anzahl xx der behandelten Pflanzen mit Pilzbefall. Insgesamt wurden 1919 Pflanzen vom tropischen Pilz befallen.

    Aus den 150150 Pflanzen wird eine Pflanze zufällig ausgewählt. Betrachtet werden folgende Ereignisse:

    SS: "Die Pflanze wurde mit dem Pflanzenschutzmittel behandelt."

    TT: "Die Pflanze wurde vom tropischen Pilz befallen."

    1. Bestimmen Sie xx unter Zuhilfenahme einer Vierfeldertafel. (4 P)

      (zur Kontrolle: x=13x=13)

    2. Berechnen Sie PS(T)P_S(T) und PS(T)P_{\overline{S}}(T) und begründen Sie, dass aus den Ergebnissen des Experiments nicht auf die Wirksamkeit des Pflanzenschutzmittels gegen den tropischen Pilz geschlossen werden kann. (4 P)


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