Stochastik, Teil B, Aufgabengruppe 1

Gegeben sind$n=15 n=15$ und $p=\mathrm{0,05}p=0\{,\}05$:

Die Werte der Binomialverteilung können dem Tafelwerk entnommen werden.

"Keine der Pflanzen wird von Pilzen befallen", d.h. es ist $P(X=0)P(X=0)$ gesucht.

$E_1:P(X=0)=B(15;\mathrm{0,05};0)=\mathrm{0,46329}E\_1:\; P(X=0)=B(15;0\{,\}05;0)=0\{,\}46329$

"Höchstens $22$ Pflanzen werden von Pilzen befallen", d.h. es ist $P(X\le 2)P(X\backslash leq2)$ gesucht.

Hier können die Werte der kumulierten Binomialverteilung benutzt werden.

Alternativ können auch die drei Einzelwerte $P(X=0)P(X=0)$, $P(X=1)P(X=1)$ und $P(X=2)P(X=2)$ addiert werden.

$E_2:P(X\le 2)=F(15;\mathrm{0,05};2)=\mathrm{0,96380}E\_2:\; P(X\backslash leq2)=F(15;0\{,\}05;2)=0\{,\}96380$

"$1212$ oder $1313$ Pflanzen bleiben ohne Pilzbefall", d.h. $22$ oder $33$ Pflanzen werden vom Pilz befallen. Demnach ist $P(2\le X\le 3)P(2\backslash leq\; X\backslash leq3)$ gesucht.

$E_3:P(2\le X\le 3)=P(X=2)+P(X=3)=\mathrm{0,13475}+\mathrm{0,03073}=\mathrm{0,16548}E\_3:P(2\backslash le\; X\backslash le3)=P(X=2)+P(X=3)=0\{,\}13475+0\{,\}03073=0\{,\}16548$

Alternative Lösung:

$P(\text{mindest. 1 Pfl. von Pilzen befallen})=1-P(\text{keine Pfl. von Pilzen befallen})\ge \mathrm{0,99}P(\backslash text\{mindest. 1 Pfl. von Pilzen befallen\})=1-P(\backslash text\{keine Pfl. von Pilzen befallen\})\ge 0\{,\}99$

Es ist $n\ge \mathrm{89,8}n\backslash geq\; 89\{,\}8$. Da $nn$ eine ganze Zahl ist und laut Aufgabenstellung der kleinste Wert von $nn$ bestimmt werden soll, ist hier $n=90n=90$.

Der Erwartungswert bei einer Binomialverteilung ist$\mu =n\cdot p \backslash mu=n\backslash cdot\; p$.

Für die Standardabweichung $\sigma \backslash sigma$ gilt: $\sigma =\sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)}\backslash sigma=\backslash sqrt\{n\backslash cdot\; p\; \backslash cdot\; (1-p)\}$.

Mit $n=400n=400$und $p=\mathrm{0,05}p=0\{,\}05$folgt:

$\mu =n\cdot p=400\cdot \mathrm{0,05}=20\backslash mu=n\backslash cdot\; p=400\backslash cdot\; 0\{,\}05=20$und $\sigma =\sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)}=\sqrt{400\cdot \mathrm{0,05}\cdot \mathrm{0,95}}\approx \mathrm{4,4}\backslash sigma=\backslash sqrt\{n\backslash cdot\; p\; \backslash cdot\; (1-p)\}=\backslash sqrt\{400\backslash cdot\; 0\{,\}05\; \backslash cdot\; 0\{,\}95\}\backslash approx\; 4\{,\}4$

Das Intervall "Die Abweichung vom Erwartungswert beträgt höchstens eine Standardabweichung" ist dann $[\mu -\sigma ;\mu +\sigma ][\backslash mu-\backslash sigma;\backslash mu+\backslash sigma]$.

Setzt man die berechneten Werte ein, dann folgt:

$[20-\mathrm{4,4};20+\mathrm{4,4}]=[\mathrm{15,6};\mathrm{24,4}][20-4\{,\}4\; ;20+4\{,\}4]=\; [15\{,\}6;\; 24\{,\}4]$

Da $nn$ eine ganze Zahl ist, ergibt sich gerundet das Intervall $[16;24][16;24]$.

Damit folgt für die kleinst mögliche relative Häufigkeit der Pflanzen, die von Pilzen befallen werden $h_{\min }={\displaystyle \frac{16}{400}}=\mathrm{0,04}h\_\{\backslash min\}=\backslash dfrac\{16\}\{400\}=0\{,\}04$ und für die größtmögliche relative Häufigkeit der Pflanzen, die von Pilzen befallen werden $h_{max}={\displaystyle \frac{24}{400}}=\mathrm{0,06}h\_\{max\}=\backslash dfrac\{24\}\{400\}=0\{,\}06$.

Für $k=2k=2$ erhält man folgende Aussage:

Diese Aussage hat folgende Bedeutung:

Ist $XX$ eine Zufallsgröße mit dem Erwartungswert$\mu \backslash mu$und der Standardabweichung $\sigma \backslash sigma$, dann fallen die Werte von $XX$ mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens $75\mathrm{\%}75\backslash ;\backslash \%$ in das Intervall $[\mu -2\cdot \sigma ;\mu +2\cdot \sigma ][\backslash mu-2\backslash cdot\backslash sigma;\backslash mu+2\backslash cdot\backslash sigma]$.

Oder anders formuliert: Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Zufallsgröße $XX$ um weniger als zwei Standardabweichungen vom Erwartungswert $\mu \backslash mu$ abweicht, ist mindestens $75\mathrm{\%}75\backslash ;\backslash \%$.

Die Vierfeldertafel mit den absoluten Häufigkeiten:

Wie findet man die Werte in den einzelnen Feldern?

Gegeben ist die Gesamtzahl der Pflanzen $n=150n=150$. In der Summenspalte unten rechts steht $150150$.

$1919$ Pflanzen wurden vom tropischen Pilz befallen. In der Summenspalte steht die absolute Häufigkeit $T=19T=\; 19$ in der ersten Zeile.

Die Differenz von $150150$ und $1919$ ist $131131$. In der mittleren Zeile der Summenspalte steht $131131$.

$70\mathrm{\%}70\backslash ;\backslash \%$ der Pflanzen wurden mit dem Pflanzenschutzmittel behandelt:

$\Rightarrow 70\mathrm{\%}\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;\; 70\backslash ;\backslash \%$ von $150150$ sind $105105$. In der Spalte $SS$ steht die absolute Häufigkeit $S=105S=105$ ganz unten.

Die Differenz von $150150$ und $105105$ ist $4545$. Im mittleren Feld der Summenzeile steht $4545$.

Die Anzahl $xx$der behandelten Pflanzen mit Pilzbefall steht im Feld $T\cap ST\backslash cap\; S$. Im Feld rechts daneben steht die Differenz von $1919$ und $xx$.

Die Anzahl der unbehandelten Pflanzen ohne Pilzbefall ist dreimal so groß wie die Anzahl $xx$ der behandelten Pflanzen mit Pilzbefall. Im Feld $\bar{T}\cap \bar{S}\backslash overline\; T\backslash cap\; \backslash overline\; S$ steht $3x3x$.

Die Differenz von $131131$ und $3x3x$ steht dann im Feld $\bar{T}\cap S\backslash overline\; T\backslash cap\; S$.

Damit ist die Vierfeldertafel komplett.

Bestimmung von $xx$

In der ersten Spalte kann folgende Gleichung aufgestellt werden:

Die Anzahl der behandelten Pflanzen mit Pilzbefall beträgt $1313$.

Mit dem berechneten Wert $x=13x=13$ erhält man folgende Vierfeldertafel:

$P_S(T)={\displaystyle \frac{P(T\cap S)}{P(S)}}={\displaystyle \frac{\frac{13}{150}}{\frac{105}{150}}}={\displaystyle \frac{13}{105}}\approx \mathrm{0,1238}P\_\{\{S\}\}(T)=\backslash dfrac\{P(T\backslash cap\; S)\}\{P(S)\}=\backslash dfrac\{\backslash frac\{13\}\{150\}\}\{\backslash frac\{105\}\{150\}\}=\backslash dfrac\{13\}\{105\}\backslash approx0\{,\}1238$ oder rund 1$\mathrm{2,4}\mathrm{\%}2\{,\}4\backslash ;\backslash \%$

$P_{\bar{S}}(T)={\displaystyle \frac{P(T\cap \bar{S})}{P(\bar{S})}}={\displaystyle \frac{\frac{6}{150}}{\frac{45}{150}}}={\displaystyle \frac{6}{45}}\approx \mathrm{0,1333}P\_\{\backslash overline\{S\}\}(T)=\backslash dfrac\{P(T\backslash cap\; \backslash overline\; S)\}\{P(\backslash overline\; S)\}=\backslash dfrac\{\backslash frac\{6\}\{150\}\}\{\backslash frac\{45\}\{150\}\}=\backslash dfrac\{6\}\{45\}\backslash approx0\{,\}1333$ oder rund $\mathrm{13,3}\mathrm{\%}13\{,\}3\backslash ;\backslash \%$

Warum kann aus den Ergebnissen des Experiments nicht auf die Wirksamkeit des Pflanzenschutzmittels gegen den tropischen Pilz geschlossen werden?

Die beiden berechneten Wahrscheinlichkeiten $P_S(T)P\_S(T)$ und $P_{\bar{S}}(T)P\_\{\backslash overline\{S\}\}(T)$ sind ungefähr gleich groß. Bei den unbehandelten Pflanzen ist die Wahrscheinlichkeit, vom tropischen Pilz befallen zu werden ($P_{\bar{S}}(T)\approx \mathrm{13,3}\mathrm{\%}P\_\{\backslash overline\{S\}\}(T)\backslash approx13\{,\}3\backslash ;\backslash \%$), nur unwesentlich größer als bei den behandelten Pflanzen ($P_S(T)\approx \mathrm{12,4}\mathrm{\%}P\_\{\{S\}\}(T)\backslash approx12\{,\}4\backslash ;\backslash \%$). Somit ist bei diesem Pilz die Wirkung des Pflanzenschutzmittels eingeschränkt bzw. das Mittel ist gar nicht wirksam.