Gegeben ist die Funktion f(x)=x+1,5â+2xâ1ââ4.
Bestimme den maximalen Definitionsbereich.
FĂŒr diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Definitionsbereich
Der Definitionsbereich einer Funktion umfasst die Menge der Zahlen, die in die Funktion eingesetzt werden dĂŒrfen.
Unter geraden Wurzeln darf kein negativer Radikand stehen, d.h. der Radikand muss gröĂer oder gleich null sein.
Beide Wurzeln im Funktionsterm mĂŒssen untersucht werden:
Wurzelterm 1:
PrĂŒfe, wann der Radikand x+1,5 gröĂer oder gleich null ist.
x+1,5 â„ 0 â1,5 x â„ â1,5 Wurzelterm 2:
PrĂŒfe, wann der Radikand 2xâ1 gröĂer oder gleich null ist.
2xâ1 â„ 0 +1 2x â„ 1 :2 x â„ 21â Damit hat die Funktion f den maximalen Definitionsbereich:
Dfâ={xâRâŁxâ„21â}(Mit xâ„21â ist die Bedingung fĂŒr den 1. Wurzelterm auch erfĂŒllt.)
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Zeichne mithilfe einer Wertetabelle den Graphen der Funktion f fĂŒr 21ââ€xâ€5
FĂŒr diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wertetabelle
FĂŒr die Wertetabelle werden einige Funktionswerte berechnet.
Beginne mit dem linken Rand des Definitionsbereiches mit x=0,5.
x
f(x)
(gerundete Werte)
0,5
â2,6
1
â1,4
2
â0,4
3
0,4
4
1
5
1,6
Graphische Darstellung:
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Berechne den Schnittpunkt mit der x-Achse.
Tipp: Es muss zweimal quadriert werden.
FĂŒr diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstelle
Die x-Achse wird geschnitten, wenn f(x)=0 ist.
f(x)=x+1,5â+2xâ1ââ4
Setze f(x)=0.
0 = x+1,5â+2xâ1ââ4 +4 4 = x+1,5â+2xâ1â ()2 â Beseitige die Wurzeln durch Quadrieren, beachte die binomische Formel.
16 = x+1,5+2â x+1,5ââ 2xâ1â+2xâ1 â Fasse zusammen.
16 = 3x+0,5+2â (x+1,5)â (2xâ1)â â0,5â3x â Der Wurzelterm muss allein auf einer Seite stehen.
15,5â3x = 2â (x+1,5)â (2xâ1)â ()2 Du hast wieder eine Wurzelgleichung erhalten. d.h. es muss erneut quadriert werden.
2â (x+1,5)â (2xâ1)â = 15,5â3x ()2 â Beseitige die Wurzel durch Quadrieren.
4â (x+1,5)â (2xâ1) = (15,5â3x)2 â Vereinfache. Beachte die binomische Formel auf der rechten Seite.
4â (2x2âx+3xâ1,5) = 240,25â93x+9x2 â Fasse zusammen und löse die Klammer auf.
8x2+8xâ6 = 240,25â93x+9x2 â8x2â8x+6 â Bringe alle Terme auf eine Seite.
0 = x2â101x+246,25 Du hast die quadratische Gleichung 0=x2â101x+246,25 erhalten. Diese kannst du nun mit der Mitternachtsformel (abc-Formel) oder mit der p-q-Formel lösen. Hier erfolgt die Lösung mit der p-q-Formel.
Lies die Werte fĂŒr p und q ab:
p=â101 und q=246,25
Setze die Werte in die p-q-Formel ein:
x1,2â = â2pâ±(2pâ)2âqâ â Setze p=â101 und q=246,25 ein.
= â2(â101)â±(2â101â)2â246,25â â Vereinfache.
= 50,5±2550,25â246,25â = 50,5±2304â = 50,5±48 x1â = 98,5 x2â = 2,5 Du hast die Lösungen x1â=98,5 und x2â=2,5 erhalten. Bei der Berechnung dieser Lösungen wurde quadriert. Da das Quadrieren keine Ăquivalenzumformung ist, muss geprĂŒft werden, welche der beiden Lösungen die gesuchte Lösung der Gleichung ist.
Probe mit x1â=98,5:
Setze x=98,5 in f(x)=x+1,5â+2xâ1ââ4 ein:
f(98,5) = 98,5+1,5â+2â 98,5â1ââ4 â Vereinfache.
= 100â+196ââ4 â Ziehe die Wurzeln.
= 10+14â4 â Fasse zusammen.
= 20 f(98,5)=20 und somit ist x1â keine Lösung der Wurzelgleichung und somit auch keine Nullstelle.
Probe mit x2â=2,5:
Setze x=2,5 in f(x)=x+1,5â+2xâ1ââ4 ein:
f(2,5) = 2,5+1,5â+2â 2,5â1ââ4 â Vereinfache.
= 4â+4ââ4 â Ziehe die Wurzeln.
= 2+2â4 â Fasse zusammen.
= 0 f(2,5)=0 und somit ist x2â die Lösung der Wurzelgleichung und damit die gesuchte Nullstelle.
Antwort: Der Schnittpunkt mit der x-Achse lautet: N(2,5âŁ0).
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