Aufgaben zu Potenz- und Wurzelfunktionen

Gegeben ist die Funktion $f(x)=\sqrt{x+1{,}5}+\sqrt{2x-1}-4$ .

Bestimme den maximalen Definitionsbereich.

Zeichne mithilfe einer Wertetabelle den Graphen der Funktion $f$ für $\frac{1}{2}\le x\le5$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wertetabelle
Für die Wertetabelle werden einige Funktionswerte berechnet.
Beginne mit dem linken Rand des Definitionsbereiches mit $x = 0,5$ .
$x$
$f (x)$
(gerundete Werte)
$0,5$
$- 2,6$
$1$
$- 1,4$
$2$
$- 0,4$
$3$
$0,4$
$4$
$1$
$5$
$1,6$
Graphische Darstellung:
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$x$	$f (x)$ (gerundete Werte)
$0,5$	$- 2,6$
$1$	$- 1,4$
$2$	$- 0,4$
$3$	$0,4$
$4$	$1$
$5$	$1,6$

Berechne den Schnittpunkt mit der $x$ -Achse.

Tipp: Es muss zweimal quadriert werden.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstelle

Die $x$ -Achse wird geschnitten, wenn $f (x) = 0$ ist.

$f(x)=\sqrt{x+1{,}5}+\sqrt{2x-1}-4$

Setze $f (x) = 0$ .

$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle \sqrt{x+1{,}5}+\sqrt{2x-1}-4$	$\displaystyle +4$
$\displaystyle 4$	$=$	$\displaystyle \sqrt{x+1{,}5}+\sqrt{2x-1}$	$\displaystyle ()^2$
	↓	Beseitige die Wurzeln durch Quadrieren, beachte die binomische Formel.
$\displaystyle 16$	$=$	$\displaystyle x+1{,}5+2\cdot\sqrt{x+1{,}5}\cdot\sqrt{2x-1}+2x-1$
	↓	Fasse zusammen.
$\displaystyle 16$	$=$	$\displaystyle 3x+0{,}5+2\cdot\sqrt{(x+1{,}5)\cdot(2x-1)}$	$\displaystyle -0{,}5-3x$
	↓	Der Wurzelterm muss allein auf einer Seite stehen.
$\displaystyle 15{,}5-3x$	$=$	$\displaystyle 2\cdot\sqrt{(x+1{,}5)\cdot(2x-1)}$	$\displaystyle ()^2$

Du hast wieder eine Wurzelgleichung erhalten. d.h. es muss erneut quadriert werden.

$\displaystyle 2\cdot\sqrt{(x+1{,}5)\cdot(2x-1)}$	$=$	$\displaystyle 15{,}5-3x$	$\displaystyle ()^2$
	↓	Beseitige die Wurzel durch Quadrieren.
$\displaystyle 4\cdot(x+1{,}5)\cdot(2x-1)$	$=$	$\displaystyle (15{,}5-3x)^2$
	↓	Vereinfache. Beachte die binomische Formel auf der rechten Seite.
$\displaystyle 4\cdot(2x^2-x+3x-1{,}5)$	$=$	$\displaystyle 240{,}25-93x+9x^2$
	↓	Fasse zusammen und löse die Klammer auf.
$\displaystyle 8x^2+8x-6$	$=$	$\displaystyle 240{,}25-93x+9x^2$	$\displaystyle -8x^2-8x+6$
	↓	Bringe alle Terme auf eine Seite.
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle x^2-101x+246{,}25$

Du hast die quadratische Gleichung $0 =x^2-101x+246{,}25$ erhalten. Diese kannst du nun mit der Mitternachtsformel (abc-Formel) oder mit der p-q-Formel lösen. Hier erfolgt die Lösung mit der p-q-Formel.

Lies die Werte für $p$ und $q$ ab:

$p = - 101$ und $q = 246,25$

Setze die Werte in die p-q-Formel ein:

$\displaystyle x_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle -\dfrac{p}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q}$
	↓	Setze $p = - 101$ und $q = 246,25$ ein.
	$=$	$\displaystyle -\dfrac{(-101)}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{-101}{2}\right)^2-246{,}25}$
	↓	Vereinfache.
	$=$	$\displaystyle 50{,}5\pm\sqrt{2550{,}25-246{,}25}$
	$=$	$\displaystyle 50{,}5\pm\sqrt{2304}$
	$=$	$\displaystyle 50{,}5\pm 48$
$\displaystyle x_1$	$=$	$\displaystyle 98{,}5$
$\displaystyle x_2$	$=$	$\displaystyle 2{,}5$

Du hast die Lösungen $x_1=98{,}5$ und $x_2=2{,}5$ erhalten. Bei der Berechnung dieser Lösungen wurde quadriert. Da das Quadrieren keine Äquivalenzumformung ist, muss geprüft werden, welche der beiden Lösungen die gesuchte Lösung der Gleichung ist.

Probe mit $x_1=98{,}5$ :

Setze $x = 98,5$ in $f(x)=\sqrt{x+1{,}5}+\sqrt{2x-1}-4$ ein:

$\displaystyle f(98{,}5)$	$=$	$\displaystyle \sqrt{98{,}5+1{,}5}+\sqrt{2\cdot98{,}5-1}-4$
	↓	Vereinfache.
	$=$	$\displaystyle \sqrt{100}+\sqrt{196}-4$
	↓	Ziehe die Wurzeln.
	$=$	$\displaystyle 10+14-4$
	↓	Fasse zusammen.
	$=$	$\displaystyle 20$

$f (98,5) = 20$ und somit ist $x_{1}$ keine Lösung der Wurzelgleichung und somit auch keine Nullstelle.

Probe mit $x_2=2{,}5$ :

Setze $x = 2,5$ in $f(x)=\sqrt{x+1{,}5}+\sqrt{2x-1}-4$ ein:

$\displaystyle f(2{,}5)$	$=$	$\displaystyle \sqrt{2{,}5+1{,}5}+\sqrt{2\cdot2{,}5-1}-4$
	↓	Vereinfache.
	$=$	$\displaystyle \sqrt{4}+\sqrt{4}-4$
	↓	Ziehe die Wurzeln.
	$=$	$\displaystyle 2+2-4$
	↓	Fasse zusammen.
	$=$	$\displaystyle 0$

$f (2,5) = 0$ und somit ist $x_{2}$ die Lösung der Wurzelgleichung und damit die gesuchte Nullstelle.

Antwort: Der Schnittpunkt mit der $x$ -Achse lautet: $N (2,5 ∣ 0)$ .

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$\displaystyle x+1{,}5$	$\geq ≥$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle -1{,}5$
$\displaystyle x$	$\geq ≥$	$\displaystyle -1{,}5$

$\displaystyle 2x-1$	$\geq ≥$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle +1$
$\displaystyle 2x$	$\geq ≥$	$\displaystyle 1$	$\displaystyle :2$
$\displaystyle x$	$\geq ≥$	$\displaystyle \dfrac{1}{2}$

Wurzelterm 1:

Wurzelterm 2:

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