Aufgaben zur Bestimmung von Definitionsmengen

Übe und vertiefe mit diesen unterschiedlichen Aufgaben dein Wissen zur Bestimmung von Definitionsmengen.

Gib für folgende Funktionen die maximale Definitionsmenge an $(G = ℝ)$ .

$f (x) = \frac{4 x - 3}{2 x - 5}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Definitionsbereich
Der Definitionsbereich ist die Menge von Zahlen, die man in eine Funktion einsetzen darf.
$f (x)$ $=$ $\frac{4 x - 3}{2 x - 5}$
↓
Setze den Nenner gleich 0.
$2 x - 5$ $=$ $0$ $+ 5$
$2 x$ $=$ $5$ $: 2$
$x$ $=$ $2,5$
$\Rightarrow D = ℝ \ {2,5}$
Hast du eine Frage oder Feedback?
Kommentiere hier 👉
$f (x) = \frac{3 x^{3} + 7}{x^{2} - 2 x}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Definitionsbereich
Der Definitionsbereich ist die Menge von Zahlen, die man in eine Funktion einsetzen darf.
$f (x)$ $=$ $\frac{3 x^{3} + 7}{x^{2} - 2 x}$
↓
Setze den Nenner gleich 0.
$x^{2} - 2 x$ $=$ $0$
↓
$x$ ausklammern.
$x (x - 2)$ $=$ $0$
↓
Ein Produkt wird $0$ , wenn einer der Faktoren $0$ ist.
$\Rightarrow x_{1} = 0$
Setze die Klammer gleich $0$ .
$x - 2$ $=$ $0$ $+ 2$
$x_{2}$ $=$ $2$
↓
Die Nullstellen des Nenners müssen aus dem Definitionsbereich ausgeschlossen werden.
$\Rightarrow D = ℝ \ {0; 2}$
Hast du eine Frage oder Feedback?
Kommentiere hier 👉

$f (x) = \frac{2 x + x^{7}}{\frac{1}{9} x^{2} + \frac{1}{3} x + \frac{1}{4}}$

$f (x) = \frac{2 x^{4} - x^{2}}{0,01 x^{2} - 1}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Definitionsbereich
Der Definitionsbereich ist die Menge von Zahlen, die man in eine Funktion einsetzen darf.
$f (x)$ $=$ $\frac{2 x^{4} - x^{2}}{0,01 x^{2} - 1}$
↓
Nenner gleich 0 setzen.
$0,01 x^{2} - 1$ $=$ $0$ $+ 1$
$0,01 x^{2}$ $=$ $1$ $\cdot 100$
$x^{2}$ $=$ $100$ $\sqrt{}$
$x$ $=$ $\pm 10$
$\Rightarrow D = ℝ ∖ {- 10; + 10}$
Hast du eine Frage oder Feedback?
Kommentiere hier 👉
$f (x) = \sqrt{7 x + 4}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Definitionsbereich
Der Definitionsbereich ist die Menge von Zahlen, die man in eine Funktion einsetzen darf.
$f (x)$ $=$ $\sqrt{7 x + 4}$
↓
Bedingung "Radikand größer gleich 0" ausnutzen.
$7 x + 4$ $\geq$ $0$ $- 4$
↓
Alle Terme mit $x$ auf eine Seite, alle ohne $x$ auf die andere.
$7 x$ $\geq$ $- 4$ $: 7$
↓
$x$ alleine stehen lassen.
$x$ $\geq$ $- \frac{4}{7}$
$D = [- \frac{4}{7}; \infty [$
Hast du eine Frage oder Feedback?
Kommentiere hier 👉
$f (x) = \sqrt{x^{2} - 5 x + 6}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Definitionsbereich
Der Definitionsbereich ist die Menge von Zahlen, die man in eine Funktion einsetzen darf.
$f (x)$ $=$ $\sqrt{x^{2} - 5 x + 6}$
↓
Prüfen, wann der Radikand $\geq$ 0 ist.
$x^{2} - 5 x + 6$ $=$ $0$
↓
Nullstellen berechnen.
Nullstellenbestimmung
Die Nullstellen einer Funktion $f$ sind die $x$ -Werte, für die $f (x) = 0$ wird.
mit dem Satz von Vieta:
$x^{2} - 5 x + 6$ $=$ $0$
↓
Faktorenzerlegung (mit dem Satz von Vieta).
$(x - 3) \cdot (x - 2)$ $=$ $0$
↓
Nullstellen ablesen.
$x_{1} = 3; x_{2} = 2$
mit der Mitternachtsformel:
$x^{2} - 5 x + 6$ $=$ $0$
↓
Mitternachtsformel anwenden.
$x_{1}$ $=$ $\frac{5 + 1}{2}$
$x_{2}$ $=$ $\frac{5 - 1}{2}$
$x_{1} = 3; x_{2} = 2$
Abschnitte bestimmen, in denen der Radikand kleiner als 0 ist
Da der Graph der Funktion $g (x) = x^{2} - 5 x + 6$ eine nach oben geöffnete Parabel ist (Koeffizient der höchsten $x$ -Potenz ist positiv), nimmt $g$ im Intervall $] 2; 3 [$ negative Werte an.
Folglich ist $f (x) = \sqrt{g (x)}$ auf $] 2; 3 [$ nicht definiert.
$\Rightarrow D = ℝ \] 2; 3 [$
Hast du eine Frage oder Feedback?
Kommentiere hier 👉
$f (x) = \sqrt{17 x} + 5 x - 3$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Definitionsbereich
Der Definitionsbereich ist die Menge von Zahlen, die man in eine Funktion einsetzen darf.
$f (x)$ $=$ $\sqrt{17 x} + 5 x - 3$ $: 17$
↓
Prüfe, wann $17 x$ kleiner als Null wird.
$17 x$ $<$ $0$
$x$ $<$ $0$
Das Intervall $] - \infty; 0 [$ muss man also ausschließen. Den Rest der Funktion, also $5 x - 3$ , muss man nicht überprüfen, da er ein Polynom ist.
$\Rightarrow 𝔻 = [0; \infty [$
Hast du eine Frage oder Feedback?
Kommentiere hier 👉
$f (x) = \sqrt[6]{x^{2} - 4 x + 3}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Definitionsbereich
Der Definitionsbereich ist die Menge von Zahlen, die man in eine Funktion einsetzen darf.
$f (x)$ $=$ $\sqrt[6]{x^{2} - 4 x + 3}$
↓
Prüfe, wann der Radikand $x^{2} - 4 x + 3$ kleiner als Null wird.
$\begin{array}{rcl} x^{2} - 4 x + 3 < 0 \\ \Leftrightarrow & (x - 3) (x - 1) < 0 \end{array}$
Das Polynom $x^{2} - 4 x + 3$ kann man nach dem Satz von Vieta in das angegebene Produkt umwandeln.
Eine andere Möglichkeit ist, die Nullstellen mit Hilfe der Mitternachtsformel zu ermitteln und dann das Polynom als Produkt der zwei Klammern zu schreiben.
Fallunterscheidung:
1.
$\begin{array}{l} x - 3 < 0 & und x - 1 > 0 \\ \Leftrightarrow x < 3 & und x > 1 \\ \Leftrightarrow 1 < x < 3 & \to x \in] 1; 3 [ \end{array}$
Man betrachtet zuerst die Möglichkeit, dass der erste Faktor negativ und der zweite Faktor positiv ist.
Der zweite Fall ist die Umkehrung: $x - 3$ wird positiv, während $x - 1$ negativ wird.
2.
$\begin{array}{l} x - 3 > 0 & und x - 1 < 0 \\ \Leftrightarrow & x > 3 & und x < 1 & \leftarrow unmöglich \end{array}$
Da $x$ nicht größer als $3$ und gleichzeitig kleiner als $1$ sein kann, gilt nur der erste Fall. Das heißt: $x^{2} - 4 x + 3$ ist kleiner als Null genau dann, wenn $x$ zwischen $1$ und $3$ liegt. Dieses Intervall muss man also ausschließen.
$\Rightarrow 𝔻 = ℝ \] 1; 3 [$
Hast du eine Frage oder Feedback?
Kommentiere hier 👉
$f (x) = \ln (x - 5)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Definitionsbereich
Der Definitionsbereich ist die Menge von Zahlen, die man in eine Funktion einsetzen darf.
$f (x) = \ln (x - 5)$
Prüfe, wann das Argument $x - 5$ kleiner oder gleich Null wird.
$\begin{array}{rcl} x - 5 & \leq & 0 & | + 5 \\ x & \leq & 5 \end{array}$
Das Intervall $x \in] - \infty; 5]$ muss man also aus dem Definitionsbereich ausschließen.
$\Rightarrow 𝔻 = ℝ ∖] - \infty; 5] =] 5, \infty [$
Hast du eine Frage oder Feedback?
Kommentiere hier 👉
$f (x) = \ln (6 x - x^{2} - 9)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Definitionsbereich
Der Definitionsbereich ist die Menge von Zahlen, die man in eine Funktion einsetzen darf.
Vorüberlegung
Die Funktion $f$ ist genau für diejenigen $x$ definiert, für die $g (x) = 6 x - x^{2} - 9$ positiv ist.
Nullstellen von $g (x) = - x^{2} + 6 x - 9$
$D = 6^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 9) = 36 - 36 = 0$
Die Betrachtung der Diskriminante von $g$ ergibt hier, dass $g$ genau eine Nullstelle besitzt.
Da der Graph der Funktion $g$ eine nach unten geöffnete Parabel (negativer Koeffizient vor höchster x-Potenz) mit Scheitel auf der x-Achse ist, nimmt $g$ keine positiven Werte an.
Interpretation
Da $g$ keine positiven Werte annnimmt, gilt nach der Vorüberlegung:
$𝔻_{f} = {}$ ,also die leere Menge.
Hast du eine Frage oder Feedback?
Kommentiere hier 👉
$f (x) = \log_{6} (x^{3} - 7 x)$
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Definitionsbereich
Der Definitionsbereich ist die Menge von Zahlen, die man in eine Funktion einsetzen darf.
$f (x) = \log_{6} (x^{3} - 7 x)$
Prüfe, wann $x^{3} - 7 x$ kleiner oder gleich Null wird.
$\begin{array}{rcl} x^{3} - 7 x \leq 0 & | x ausklammern \\ \Leftrightarrow & x \cdot (x^{2} - 7) \leq 0 \end{array}$
Die erste Fallunterscheidung wird gemacht, um die zwei Fälle zu unterscheiden, bei denen das Produkt kleiner oder gleich Null wird.
Erster Faktor kleinergleich Null, zweiter Faktor größergleich Null.
Fallunterscheidung:
$\begin{array}{rcl} 1. & x \leq 0 & und x^{2} - 7 \geq 0 & | + 7 \\ \Leftrightarrow & x \leq 0 & und x^{2} \geq 7 & | \sqrt{} \\ \Leftrightarrow & x \leq 0 & und | x | \geq \sqrt{7} & | Betrag! \\ a) & x \leq 0 & und x \geq \sqrt{7} \leftarrow & unmöglich \\ b) & x \leq 0 & und x \leq - \sqrt{7} \\ \Leftrightarrow & x \leq - \sqrt{7} \end{array}$
Hier taucht ein Betrag auf, dessen Auflösung in der zweiten Fallunterscheidung passiert:
Dass $x$ kleinergleich Null und gleichzeitig größergleich $\sqrt{7}$ ist, ist unmöglich.
Es bleibt, dass das Produkt kleiner oder gleich Null wird, wenn $x$ kleiner oder gleich $- \sqrt{7}$ ist.
Erster Faktor größergleich Null, zweiter Faktor kleinergleich Null.
$\begin{array}{rcl} 2. & x \geq 0 & und x^{2} - 7 \leq 0 & | + 7 \\ \Leftrightarrow & x \geq 0 & und x^{2} \leq 7 & | \sqrt{} \\ \Leftrightarrow & x \geq 0 & und | x | \leq \sqrt{7} \\ x \geq 0 & und - \sqrt{7} \leq x \leq \sqrt{7} \\ \Leftrightarrow & x \in [0; \sqrt{7}] \end{array}$
Auch hier taucht ein Betrag auf, dessen Auflösung in der zweiten Fallunterscheidung passiert:
Das Produkt wird kleinergleich Null, wenn $x$ zwischen $- \sqrt{7}$ und $\sqrt{7}$ liegt und gleichzeitig $x$ größergleich Null ist.
Zusammenfassend
Man muss ausschließen:
$x \leq - \sqrt{7}; 0 \leq x \leq \sqrt{7}$
Somit ergibt sich folgender Definitionsbereich:
$\Rightarrow 𝔻 = ℝ ∖] - \infty; - \sqrt{7}] \cup [0; \sqrt{7}]$
Hast du eine Frage oder Feedback?
Kommentiere hier 👉
$f (x) = 5 x \tan (x)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Defeinitionsbereich
Der Definitionsbereich ist die Menge von Zahlen, die man in eine Funktion einsetzen darf.
$f (x) = 5 x \cdot \tan (x) = 5 x \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$
Man verwendet:
$\tan (x) = \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$
Der Nenner (also $c o s (x)$ ) darf nicht $0$ werden.
$c o s (x) = 0$
Hier setzt man $c o s (x) = 0$ an.
$c o s (x) = 0$ gilt genau für alle
$x \in {\frac{π}{2} + k \cdot π | k \in ℤ}$
Also gilt: $𝔻_{f} = ℝ \ {\frac{π}{2} + k \cdot π | k \in ℤ}$
Hast du eine Frage oder Feedback?
Kommentiere hier 👉
$f (x) = 7 x^{2} \tan (2 - x)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Definitionsbereich
Der Definitionsbereich ist die Menge von Zahlen, die man in eine Funktion einsetzen darf.
$f (x) = 7 x^{2} \cdot \tan (2 - x)$
$= 7 x^{2} \cdot \frac{\sin (2 - x)}{\cos (2 - x)}$
Der Nenner ( $\cos (2 - x)$ ) darf nicht $0$ werden.
$\cos (2 - x) = 0$
Der gewöhnliche Cosinus $\cos (x)$ wird genau dann $0$ , wenn $x \in {\frac{π}{2} + k \cdot π | k \in ℤ}$ gilt. Daher gilt $\cos (2 - x) = 0$ genau dann, wenn $x \in {2 - \frac{π}{2} + k \cdot π | k \in ℤ}$ gilt.
$\Rightarrow$ $𝔻_{f} = ℝ \ {2 - \frac{π}{2} + k π | k \in ℤ}$
Hast du eine Frage oder Feedback?
Kommentiere hier 👉
$f (x) = (x + 5) \tan (x^{2} - \frac{1}{2} π)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Definitionsbereich
Der Definitionsbereich ist die Menge von Zahlen, die man in eine Funktion einsetzen darf.
$\begin{array}{l} f (x) = (x + 5) \tan (x^{2} - \frac{π}{2}) \\ = (x + 5) \frac{\sin (x^{2} - \frac{π}{2})}{\cos (x^{2} - \frac{π}{2})} \end{array}$
Der Nenner ( $\cos (x^{2} - \frac{π}{2})$ ) darf nicht $0$ werden.
$\cos (x^{2} - \frac{π}{2}) = 0$
$x^{2} - \frac{π}{2} \in {\frac{π}{2} + k \cdot π | k \in ℤ}$
$x \in {\pm \sqrt{k \cdot π} | k \in ℕ_{0}}$
Nun überlegt man sich, für welche $x$ der Nenner $0$ wird.
Also gilt: $𝔻_{f} = ℝ \ {\pm \sqrt{k π} | k \in ℕ_{0}}$
Hast du eine Frage oder Feedback?
Kommentiere hier 👉
$f (x) = \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 6 x + 9}}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Definitionsbereich
Der Definitionsbereich ist die Menge von Zahlen, die man in eine Funktion einsetzen darf.
Vorüberlegung
Die Funktion $f$ ist genau für diejenigen $x$ definiert, für die der Radikand $x^{2} + 6 x + 9$ positiv ist.
Nullstellen von $x^{2} + 6 x + 9$
$x_{1 / 2} = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 9}}{2}$
Mitternachtsformel
$x_{1} = \frac{- 6}{2} = - 3$
Für die Diskriminante gilt: $D = 36 - 4 \cdot 9 = 0$ $\Rightarrow$ 1 Lösung
Interpretation
Da der Graph der Funktion $g (x) = x^{2} + 6 x + 9$ unter der Wurzel eine nach oben geöffnete Parabel (positives Vorzeichen vor der höchsten Potenz ) ist, deren Scheitel auf der x-Achse liegt, ist sie für alle $x \neq - 3$ positiv.Nach der Vorüberlegung gilt damit für den Definitionsbereich von $f$ :
$𝔻_{f} = ℝ \ {- 3}$
Hast du eine Frage oder Feedback?
Kommentiere hier 👉
$f (x) = \frac{\lg (x^{2} - x)}{\sqrt{x + 2}}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Definitionsbereich
Der Definitionsbereich ist die Menge von Zahlen, die man in eine Funktion einsetzen darf.
Vorüberlegung
Die Funktion $f$ ist genau für diejenigen $x$ definiert, für die $g (x) = x^{2} - x > 0$ (Definitionsbereich des Logarithmus) und $h (x) = x + 2 > 0$ gilt.
Nullstellen von $g (x) = x^{2} - x$
$g (x) = x (x - 1)$
$\Rightarrow$ zwei Nullstellen $x_{1} = 0$ und $x_{2} = 1$
Zunächst faktorisiert man $g (x)$ .
Daraufhin kann man die Nullstellen ablesen.
Da der Graph der Funktion $g (x) = x^{2} - x$ eine nach oben geöffnete Parabel (positives Vorzeichen vor der höchsten Potenz) ist, nimmt $g$ für alle $x \in̸ [0; 1]$ positive Werte an.
Nullstellen von $h (x) = x + 2$
$x + 2 = 0$
$x = - 2$
Die Nullstelle der linearen Funktion $h$ lässt sich durch einfaches Auflösen nach $x$ bestimmen.
Da der Graph der Funktion $h (x) = x + 2$ eine Gerade mit positiver Steigung ist, nimmt $h$ für alle $x > - 2$ positive Werte an.
Interpretation
Da die Bedingungen an $g$ und $h$ aus der Vorüberlegung genau für alle $x \in̸ [0; 1]$ UND $x > - 2$ erfüllt sind, gilt:
$𝔻_{f} =] - 2; 0 [\cup] 1; \infty [$
Hast du eine Frage oder Feedback?
Kommentiere hier 👉
$f (x) = \frac{1 + 3 x + 33 x^{2}}{\sin (x)}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Definitionsbereich
Der Definitionsbereich ist die Menge von Zahlen, die man in eine Funktion einsetzen darf.
$f (x) = \frac{1 + 3 x + 33 x^{2}}{\sin (x)}$
Der Nenner ( $\sin (x)$ ) darf nicht $0$ werden.
$s i n (x) = 0$
$x \in {k \cdot π | k \in ℤ}$
Nun überlegt man sich, für welche $x$ der Nenner $0$ wird.
Also gilt: $𝔻_{f} = ℝ \ {k \cdot π | k \in ℤ}$
Hast du eine Frage oder Feedback?
Kommentiere hier 👉
$f (x) = \frac{12345}{1 - \sin (x - \frac{1}{2} π)}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Definitionsbereich
Der Definitionsbereich ist die Menge von Zahlen, die man in eine Funktion einsetzen darf.
$f (x) = \frac{12345}{1 - \sin (x - \frac{π}{2})}$
Der Nenner ( $1 - \sin (x - \frac{π}{2})$ ) darf nicht $0$ werden.
$1 - \sin (x - \frac{π}{2}) = 0$
Du kannst die Gleichung umformen. Bringe durch Addition $\sin (x - \frac{π}{2})$ auf die andere Seite.
$\Leftrightarrow$ $\sin (x - \frac{π}{2}) = 1$
Nun überlegst du dir, für welche Werte der Sinus $1$ wird.
$\Leftrightarrow$ $x - \frac{π}{2} \in {\frac{π}{2} + 2 k \cdot π | k \in ℤ}$
Da du nach den $x$ -Werten suchst, musst du noch mit $\frac{π}{2}$ addieren.
$\Leftrightarrow$ $x \in {(2 k + 1) π | k \in ℤ}$
Also gilt: $𝔻_{f} = ℝ \ {(2 k + 1) π | k \in ℤ}$
Hast du eine Frage oder Feedback?
Kommentiere hier 👉

Gib für folgende Funktionen die maximale Definitionsmenge an $(G = ℝ)$ .

$f (x) = \frac{5 x + 17}{0,64 x^{2} + 1,12 x + 0,49}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Definitionsbereich
Der Definitionsbereich ist die Menge von Zahlen, die man in eine Funktion einsetzen darf.
$f (x) = \frac{5 x + 17}{0,64 x^{2} + 1,12 x + 0,49}$
Setze den Nenner gleich 0.
$0,64 x^{2} + 1,12 x + 0,49 = 0$
Berechne die Diskriminante.
$\begin{array}{lll} D & = & (1,12)^{2} - 4 \cdot 0,64 \cdot 0,49 \\ = & 1,2544 - 1,2544 \\ = & 0 \end{array}$
$\Rightarrow 1 L \ddot{o} s u n g$
Wende nun die Mitternachtsformel an.
$x = \frac{- 1,12}{2 \cdot 0,64} = - 0,875$
$\Rightarrow D = ℝ ∖ {- 0,875}$
Hast du eine Frage oder Feedback?
Kommentiere hier 👉
$f (x) = \frac{\sqrt{x^{2} + 4 x + 4}}{\sqrt{2 x^{2} + 20 x + 60}}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Definitionsbereich
Definitionsbereich
Der Definitionsbereich ist die Menge von Zahlen, die man in eine Funktion einsetzen darf.
Vorüberlegung
Die Funktion $f$ ist genau für diejenigen $x$ definiert, für die der Radikand $g (x) = x^{2} + 4 x + 4$ im Zähler größer gleich $0$ ist UND der Radikand $h (x) = 2 x^{2} + 20 x + 60$ im Nenner größer als $0$ ist.
Nullstellen von $g (x) = x^{2} + 4 x + 4$
Faktorisiere $g (x)$ mit dem Verfahren von Vieta oder der binomischen Formel:
$g (x) = (x + 2) (x + 2)$
$\Rightarrow$ doppelte Nullstelle bei $x = - 2$
Da der Graph der Funktion $g (x) = x^{2} + 4 x + 4$ eine nach oben geöffnete Parabel (positives Vorzeichen vor der höchsten Potenz ) ist, deren Scheitel auf der x-Achse liegt, ist sie für alle $x \in ℝ$ größer gleich 0.
Nullstellen von $h (x) = 2 x^{2} + 20 x + 60$
$D = 20^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 60 = - 80 < 0$
$\Rightarrow$ keine Nullstellen
Hier zeigt die Berechnung der Diskriminanten, dass die Funktion $h$ keine reellen Nullstellen besitzt.
Da der Graph der Funktion $h (x) = 2 x^{2} + 20 x + 60$ eine nach oben geöffnete Parabel (positives Vorzeichen vor der höchsten Potenz ) ist, deren Scheitel oberhalb der x-Achse liegt, ist sie für alle $x \in ℝ$ positiv.
Interpretation
Da sowohl für $g$ als auch $h$ die Bedingung aus der Vorüberlegung für alle $x \in ℝ$ erfüllt ist, gilt:
$𝔻_{f} = ℝ$
Hast du eine Frage oder Feedback?
Kommentiere hier 👉
$f (x) = \frac{{(4 x - 9)}^{\frac{1}{2}}}{18 - 8 x}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Definitionsbereich
Der Definitionsbereich ist die Menge von Zahlen, die man in eine Funktion einsetzen darf.
Vorüberlegung
Der Exponent $\frac{1}{2}$ steht für die Quadratwurzel. Demnach ist die Funktion $f$ genau für diejenigen $x$ definiert, für die $g (x) = 4 x - 9$ größer gleich $0$ ist UND die Funktion $h (x) = 18 - 8 x$ im Nenner ungleich $0$ ist.
Nullstellen von $g (x) = 4 x - 9$
Die Nullstelle der linearen Funktion $g$ lässt sich durch einfaches Auflösen nach x bestimmen.
$4 x - 9$ $=$ $0$ $+ 9$
$4 x$ $=$ $9$ $: 4$
$x$ $=$ $\frac{9}{4}$
Da der Graph der Funktion $g (x) = 4 x - 9$ eine Gerade mit positiver Steigung ist, nimmt $g$ für alle $x \geq \frac{9}{4}$ Werte größer gleich $0$ an.
Nullstellen von $h (x) = 18 - 8 x$
Die Nullstelle der linearen Funktion $h$ lässt sich durch einfaches Auflösen nach x bestimmen.
$18 - 8 x$ $=$ $0$ $+ 8 x$
$18$ $=$ $8 x$ $: 8$
$\frac{9}{4}$ $=$ $x$
Interpretation
Da die Bedingungen an $g$ und $h$ aus der Vorüberlegung genau für alle $x > \frac{9}{4}$ erfüllt sind, gilt:
$𝔻_{f} =] \frac{9}{4}; \infty [$
Hast du eine Frage oder Feedback?
Kommentiere hier 👉
$f (x) = \sqrt{6 x - x^{2} - 9}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Definitionsbereich
Der Definitionsbereich ist die Menge von Zahlen, die man in eine Funktion einsetzen darf.
Vorüberlegung
Die Funktion $f$ ist genau für diejenigen $x$ definiert, für die $g (x) = 6 x - x^{2} - 9$ größer gleich $0$ ist.
Nullstellen von $g (x) = - x^{2} + 6 x - 9$
Hier lässt sich $g (x)$ mit dem Verfahren von Vieta oder der binomischen Formel faktorisieren.
$g (x) = - (x - 3) (x - 3)$
$\Rightarrow$ doppelte Nullstelle bei $x_{1} = 3$
Da der Graph der Funktion g eine nach unten geöffnete Parabel (negativer Koeffizient vor höchster x-Potenz) mit Scheitel auf der x-Achse ist, nimmt g nur für $x = 3$ einen nicht-negativen Wert an.
Interpretation
Nach der Vorüberlegung gilt:
$𝔻_{f} = {3}$
Hast du eine Frage oder Feedback?
Kommentiere hier 👉
$f (x) = \frac{1}{\frac{1}{2} x^{2} - 2}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Definitionsbereich
Der Definitionsbereich ist die Menge von Zahlen, die man in eine Funktion einsetzen darf.
$f (x) = \frac{1}{\frac{1}{2} x^{2} - 2}$
Nenner darf nicht 0 werden $\Rightarrow$ Nenner gleich 0 setzen.
$\frac{1}{2} x^{2} - 2$ $=$ $0$ $+ 2$
$\frac{1}{2} x^{2}$ $=$ $2$ $\cdot 2$
$x^{2}$ $=$ $4$
$\Rightarrow x = \pm 2$
$\Rightarrow 𝔻_{f} = ℝ \ {2; - 2}$
Hast du eine Frage oder Feedback?
Kommentiere hier 👉
$f (x) = \frac{x^{3} + x^{2} + x + 1}{\frac{4}{9} x^{2} - \frac{1}{4}}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Definitionsbereich
Der Definitionsbereich ist die Menge von Zahlen, die man in eine Funktion einsetzen darf.
$f (x) = \frac{x^{3} + x^{2} + x + 1}{\frac{4}{9} x^{2} - \frac{1}{4}}$
Der Nenner $g (x) = \frac{4}{9} x^{2} - \frac{1}{4}$ darf nicht $0$ werden, setze diesen also gleich 0.
$g (x) = \frac{4}{9} x^{2} - \frac{1}{4} = 0$
Hier kannst du die Mitternachtsformel verwenden oder die Funktion mit der 3. Binomischen Formel umgehen.
$g (x) = (\frac{2}{3} x - \frac{1}{2}) (\frac{2}{3} x + \frac{1}{2}) = 0$
Zunächst betrachtet man den (linearen) Term in der ersten Klammer.
1.Nullstelle:
$\frac{2}{3} x - \frac{1}{2}$ $=$ $0$ $+ \frac{1}{2}$
$\frac{2}{3} x$ $=$ $\frac{1}{2}$ $\cdot \frac{3}{2}$
$x$ $=$ $\frac{3}{4}$
Nun betrachtet man den (linearen) Term in der zweiten Klammer.
2.Nullstelle
$\frac{2}{3} x + \frac{1}{2}$ $=$ $0$ $- \frac{1}{2}$
$\frac{2}{3} x$ $=$ $- \frac{1}{2}$ $\cdot \frac{3}{2}$
$x$ $=$ $- \frac{3}{4}$
Damit gilt: $𝔻_{𝕗} = ℝ \ {- \frac{3}{4}; \frac{3}{4}}$
Hast du eine Frage oder Feedback?
Kommentiere hier 👉
$f (x) = \frac{\sin (x)}{x^{2} - 4 x + 4}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Definitionsbereich
Der Definitionsbereich ist die Menge von Zahlen, die man in eine Funktion einsetzen darf.
$f (x) = \frac{\sin x}{x^{2} - 4 x + 4}$
Nenner darf nicht 0 werden, setze diesen also gleich 0.
$x^{2} - 4 x + 4 = 0$
Hier lässt sich die 2. Binomische Formel anwenden.
${(x - 2)}^{2} = 0$
$\Rightarrow x = 2$
Also gilt: $𝔻_{f} = ℝ \ {2}$
Hast du eine Frage oder Feedback?
Kommentiere hier 👉
$f (x) = \frac{1}{- x^{2} + 6 x - 9}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Definitionsbereich
Der Definitionsbereich ist die Menge von Zahlen, die man in eine Funktion einsetzen darf.
$f (x) = \frac{1}{- x^{2} + 6 x - 9}$
Der Nenner $g (x) = - x^{2} + 6 x - 9$ darf nicht $0$ werden, setze ihn also gleich 0.
$g (x) = - x^{2} + 6 x - 9 = 0$
Um das zu lösen, kannst du die Mitternachtsformel verwenden oder die Funktion mit dem Verfahren von Vieta oder der binomischen Formel faktorisieren.
$g (x) = - (x - 3) (x - 3)$
$\Rightarrow$ doppelte Nullstelle bei $x = 3$
Also gilt: $𝔻 = ℝ \ {3}$
Hast du eine Frage oder Feedback?
Kommentiere hier 👉
$f (x) = \frac{2 ax + 4 {bx}^{2} + 8 {cx}^{3}}{80 - 5 x^{2}}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Definitionsbereich
Der Definitionsbereich ist die Menge von Zahlen, die man in eine Funktion einsetzen darf.
$f (x) = \frac{2 ax + 4 {bx}^{2} + 8 {cx}^{3}}{80 - 5 x^{2}}$
Setze den Nenner gleich 0:
$80 - 5 x^{2}$ $=$ $0$ $+ 5 x^{2}$
$80$ $=$ $5 x^{2}$ $: 5$
$16$ $=$ $x^{2}$ $\sqrt{}$
$\pm 4$ $=$ $x$
$\Rightarrow D_{f} = ℝ \ {- 4; 4}$
Hast du eine Frage oder Feedback?
Kommentiere hier 👉
$f (x) = (2 - x) \cdot \frac{x + x^{2} + x^{3} + x^{4}}{x^{3} - \frac{1}{4} x}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Definitionsbereich
Der Definitionsbereich ist die Menge von Zahlen, die man in eine Funktion einsetzen darf.
$f (x) = (2 - x) \cdot \frac{x + x^{2} + x^{3} + x^{4}}{x^{3} - \frac{1}{4} x}$
Setze den Nenner gleich 0.
$x^{3} - \frac{1}{4} x$ $=$ $0$
↓
Klammere $x$ aus.
$x (x^{2} - \frac{1}{4})$ $=$ $0$
Damit kannst du die erste Nullstelle $x_{1} = 0$ ablesen, für die anderen betrachtest du die Klammer:
$x^{2} - \frac{1}{4}$ $=$ $0$ $+ \frac{1}{4}$
$x^{2}$ $=$ $\frac{1}{4}$ $\sqrt{}$
$x_{2,3}$ $=$ $\pm \sqrt{\frac{1}{2}}$
$\Rightarrow$ $𝔻_{f} = ℝ \ {- \frac{1}{2};0; \frac{1}{2}}$
Hast du eine Frage oder Feedback?
Kommentiere hier 👉
$f (x) = \frac{x}{\sin (x)}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Definitionsbereich
Der Definitionsbereich ist die Menge von Zahlen, die man in eine Funktion einsetzen darf.
$f (x) = \frac{x}{\sin (x)}$
Setze den Nenner gleich 0.
$\sin (x) = 0$
Überlege dir folgendes: Die gewöhnliche Sinus-Kurve schneidet die x-Achse genau bei allen Vielfachen von $π$ .
$\Rightarrow$ $𝔻_{f} = ℝ \ {k \cdot π | k \in ℤ}$
Hast du eine Frage oder Feedback?
Kommentiere hier 👉
$f (x) = 123 \cdot \frac{4 + 5 x + 6 x^{2}}{\cos (x + 4)}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Definitionsbereich
Der Definitionsbereich ist die Menge von Zahlen, die man in eine Funktion einsetzen darf.
$f (x) = 123 \cdot \frac{4 + 5 x + 6 x^{2}}{\cos (x + 4)}$
Der Nenner ( $\cos (x + 4)$ ) darf nicht $0$ werden, überlege dir also für welche $x$ er 0 werden würde.
$\cos (x + 4) = 0$
$x + 4 \in {\frac{π}{2} + k \cdot π | k \in ℤ}$
$x \in {- 4 + \frac{π}{2} + k \cdot π | k \in ℤ}$
Also gilt: $𝔻_{f} = ℝ \ {- 4 + \frac{π}{2} + k \cdot π | k \in ℤ}$
Hast du eine Frage oder Feedback?
Kommentiere hier 👉

$f (x) = \frac{6789}{\sqrt{3} \cos (x) - \sin (x)}$

strobl-f.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Franz Strobl
$f (x) = \frac{5 x^{2} - a}{36 x^{2} - 16 x}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Definitionsbereich
Der Definitionsbereich ist die Menge von Zahlen, die man in eine Funktion einsetzen darf.
$f (x) = \frac{5 x^{2} - a}{36 x^{2} - 16 x}$
Die Definitionslücken sind die Nullstellen des Nenners, setze diesen also gleich 0.
$36 x^{2} - 16 x$ $=$ $0$
↓
Klammere $4 x$ aus
$4 x (9 x - 4) = 0$ $=$ $0$
Ein Produkt wird Null, wenn einer der Faktoren Null ist.
1.Möglichkeit:
$x = 0$
2.Möglichkeit:
$9 x - 4$ $=$ $0$ $+ 4$
$9 x$ $=$ $4$ $: 9$
$x$ $=$ $\frac{4}{9}$
Also gilt: $𝔻_{f} = ℝ \ {0; \frac{4}{9}}$
Hast du eine Frage oder Feedback?
Kommentiere hier 👉
strobl-f.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Franz Strobl
$f (x) = \frac{1}{x - 6} - \frac{1}{6 x + 1}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Definitionsbereich
Der Definitionsbereich ist die Menge von Zahlen, die man in eine Funktion einsetzen darf.
$f (x) = \frac{1}{x - 6} - \frac{1}{6 x + 1}$
Definitionslücken sind die Nullstellen der Nenner.
$x - 6$ $=$ $0$ $+ 6$
$x_{1}$ $=$ $6$
$6 x + 1$ $=$ $0$ $- 1$
$6 x$ $=$ $- 1$ $: 6$
$x_{2}$ $=$ $- \frac{1}{6}$
Also gilt: $𝔻_{f} = ℝ \ {- \frac{1}{6}; 6}$
Hast du eine Frage oder Feedback?
Kommentiere hier 👉

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

$\sqrt{3} \cos (x) - \sin (x)$	$=$	$0$	$+ \sin (x)$
$\sqrt{3} \cos (x)$	$=$	$\sin (x)$	$: \cos (x)$
	↓	Hier darfst du durch den Cosinus teilen, da es kein x gibt, für das cos(x) und sin(x) beide 0 sind.
$\sqrt{3}$	$=$	$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$
	↓	Sinus geteilt durch Cosinus entspricht dem Tangens.
$\sqrt{3}$	$=$	$\tan (x)$

$f (x)$	$=$	$\frac{4 x - 3}{2 x - 5}$
	↓	Setze den Nenner gleich 0.
$2 x - 5$	$=$	$0$	$+ 5$
$2 x$	$=$	$5$	$: 2$
$x$	$=$	$2,5$

$f (x)$	$=$	$\frac{3 x^{3} + 7}{x^{2} - 2 x}$
	↓	Setze den Nenner gleich 0.
$x^{2} - 2 x$	$=$	$0$
	↓	$x$ ausklammern.
$x (x - 2)$	$=$	$0$
	↓	Ein Produkt wird $0$ , wenn einer der Faktoren $0$ ist.

$x - 2$	$=$	$0$	$+ 2$
$x_{2}$	$=$	$2$
	↓	Die Nullstellen des Nenners müssen aus dem Definitionsbereich ausgeschlossen werden.

$f (x)$	$=$	$\frac{2 x + x^{7}}{\frac{1}{9} x^{2} + \frac{1}{3} x + \frac{1}{4}}$
	↓	Definitionslücke(n) berechnen, indem man ausrechnet, für welche(s) $x$ der Nenner den Wert $0$ ergibt.
$0$	$=$	$\frac{1}{9} x^{2} + \frac{1}{3} x + \frac{1}{4}$
	↓	Mitternachtsformel verwenden.
$x_{1,2}$	$=$	$\frac{- \frac{1}{3} \pm \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2} - 4 \cdot \frac{1}{9} \cdot \frac{1}{4}}}{\frac{2}{9}}$
	↓	Die Betrachtung der Diskriminanten ergibt $D = (\frac{1}{3})^{2} - 4 \cdot \frac{1}{9} \cdot \frac{1}{4} = 0$ . Also besitzt der Nenner genau eine Nullstelle.
$x_{1}$	$=$	$\frac{- \frac{1}{3}}{\frac{2}{9}}$
$x_{1}$	$=$	$- \frac{3}{2}$

$f (x)$	$=$	$\frac{2 x^{4} - x^{2}}{0,01 x^{2} - 1}$
	↓	Nenner gleich 0 setzen.
$0,01 x^{2} - 1$	$=$	$0$	$+ 1$
$0,01 x^{2}$	$=$	$1$	$\cdot 100$
$x^{2}$	$=$	$100$	$\sqrt{}$
$x$	$=$	$\pm 10$

$f (x)$	$=$	$\sqrt{7 x + 4}$
	↓	Bedingung "Radikand größer gleich 0" ausnutzen.
$7 x + 4$	$\geq$	$0$	$- 4$
	↓	Alle Terme mit $x$ auf eine Seite, alle ohne $x$ auf die andere.
$7 x$	$\geq$	$- 4$	$: 7$
	↓	$x$ alleine stehen lassen.
$x$	$\geq$	$- \frac{4}{7}$

$f (x)$	$=$	$\sqrt{x^{2} - 5 x + 6}$
	↓	Prüfen, wann der Radikand $\geq$ 0 ist.
$x^{2} - 5 x + 6$	$=$	$0$
	↓	Nullstellen berechnen.

$x^{2} - 5 x + 6$	$=$	$0$
	↓	Faktorenzerlegung (mit dem Satz von Vieta).
$(x - 3) \cdot (x - 2)$	$=$	$0$
	↓	Nullstellen ablesen.

$x^{2} - 5 x + 6$	$=$	$0$
	↓	Mitternachtsformel anwenden.
$x_{1}$	$=$	$\frac{5 + 1}{2}$
$x_{2}$	$=$	$\frac{5 - 1}{2}$

$f (x)$	$=$	$\sqrt{17 x} + 5 x - 3$	$: 17$
	↓	Prüfe, wann $17 x$ kleiner als Null wird.
$17 x$	$<$	$0$
$x$	$<$	$0$

$f (x)$	$=$	$\sqrt[6]{x^{2} - 4 x + 3}$
	↓	Prüfe, wann der Radikand $x^{2} - 4 x + 3$ kleiner als Null wird.

$\frac{1}{2} x^{2} - 2$	$=$	$0$	$+ 2$
$\frac{1}{2} x^{2}$	$=$	$2$	$\cdot 2$
$x^{2}$	$=$	$4$

$\frac{2}{3} x - \frac{1}{2}$	$=$	$0$	$+ \frac{1}{2}$
$\frac{2}{3} x$	$=$	$\frac{1}{2}$	$\cdot \frac{3}{2}$
$x$	$=$	$\frac{3}{4}$

$\frac{2}{3} x + \frac{1}{2}$	$=$	$0$	$- \frac{1}{2}$
$\frac{2}{3} x$	$=$	$- \frac{1}{2}$	$\cdot \frac{3}{2}$
$x$	$=$	$- \frac{3}{4}$

$80 - 5 x^{2}$	$=$	$0$	$+ 5 x^{2}$
$80$	$=$	$5 x^{2}$	$: 5$
$16$	$=$	$x^{2}$	$\sqrt{}$
$\pm 4$	$=$	$x$

$x^{3} - \frac{1}{4} x$	$=$	$0$
	↓	Klammere $x$ aus.
$x (x^{2} - \frac{1}{4})$	$=$	$0$

$x^{2} - \frac{1}{4}$	$=$	$0$	$+ \frac{1}{4}$
$x^{2}$	$=$	$\frac{1}{4}$	$\sqrt{}$
$x_{2,3}$	$=$	$\pm \sqrt{\frac{1}{2}}$

$36 x^{2} - 16 x$	$=$	$0$
	↓	Klammere $4 x$ aus
$4 x (9 x - 4) = 0$	$=$	$0$

$6 x + 1$	$=$	$0$	$- 1$
$6 x$	$=$	$- 1$	$: 6$
$x_{2}$	$=$	$- \frac{1}{6}$

Aufgaben zur Bestimmung von Definitionsmengen

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Nullstellenbestimmung

mit der Mitternachtsformel:

Abschnitte bestimmen, in denen der Radikand kleiner als 0 ist

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Vorüberlegung

Nullstellen von g(x)=−x2+6x−9

Interpretation

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Vorüberlegung

Nullstellen von x2+6x+9

Interpretation

Hast du eine Frage oder Feedback?

Vorüberlegung

Nullstellen von g(x)=x2−x

Nullstellen von h(x)=x+2

Interpretation

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Definitionsbereich

Vorüberlegung

Nullstellen von g(x)=x2+4x+4

Nullstellen von h(x)=2x2+20x+60

Interpretation

Hast du eine Frage oder Feedback?

Vorüberlegung

Nullstellen von g(x)=4x−9

Nullstellen von h(x)=18−8x

Interpretation

Hast du eine Frage oder Feedback?

Vorüberlegung

Nullstellen von g(x)=−x2+6x−9

Interpretation

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Nullstellen von $g (x) = - x^{2} + 6 x - 9$

Nullstellen von $x^{2} + 6 x + 9$

Nullstellen von $g (x) = x^{2} - x$

Nullstellen von $h (x) = x + 2$

Nullstellen von $g (x) = x^{2} + 4 x + 4$

Nullstellen von $h (x) = 2 x^{2} + 20 x + 60$

Nullstellen von $g (x) = 4 x - 9$

Nullstellen von $h (x) = 18 - 8 x$

Nullstellen von $g (x) = - x^{2} + 6 x - 9$