Aufgaben zur Bestimmung von Definitionsmengen

Übe und vertiefe mit diesen unterschiedlichen Aufgaben dein Wissen zur Bestimmung von Definitionsmengen.

Gib für folgende Funktionen die maximale Definitionsmenge an $\left(G=ℝ\right)$ .

$f(x)=\dfrac{4x-3}{2x-5}$

$f(x)=\dfrac{3x^3+7}{x^2-2x}$

$f\left(x\right)=\dfrac{2x+x^7}{\frac19x^2+\frac13x+\frac14}$

$f\left(x\right)=\dfrac{2x^4-x^2}{0{,}01x^2-1}$

$f\left(x\right)=\sqrt{7x+4}$

$f\left(x\right)=\sqrt{x^2-5x+6}$

$f(x)=\sqrt{17x}+5x-3$

$f(x)=\sqrt[6]{x^2-4x+3}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Definitionsbereich
Der Definitionsbereich ist die Menge von Zahlen, die man in eine Funktion einsetzen darf.
$\displaystyle f\left(x\right)$ $=$ $\displaystyle \sqrt [6] {x^2-4x+3}$
↓
Prüfe, wann der Radikand $x^2-4x+3$ kleiner als Null wird.
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}\;&x^2-4x+3<0&\\ \Leftrightarrow &(x-3)(x-1)<0&\end{array}$
Das Polynom $x^2-4x+3$ kann man nach dem Satz von Vieta in das angegebene Produkt umwandeln.
Eine andere Möglichkeit ist, die Nullstellen mit Hilfe der Mitternachtsformel zu ermitteln und dann das Polynom als Produkt der zwei Klammern zu schreiben.
Fallunterscheidung:
1.
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}\; x-3<0&\text{ und }x-1>0&\\ \Leftrightarrow x<3&\text{ und }x>1&\\\Leftrightarrow \underline{1<x<3}&\rightarrow x\in\;]1;3[\end{array}$
Man betrachtet zuerst die Möglichkeit, dass der erste Faktor negativ und der zweite Faktor positiv ist.
Der zweite Fall ist die Umkehrung: $x-3$ wird positiv, während $x-1$ negativ wird.
2.
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}\;& x-3>0&\text{ und }x-1<0&\\ \Leftrightarrow &x>3&\text{ und }x<1&\leftarrow\text{unmöglich} \end{array}$
Da $x$ nicht größer als $3$ und gleichzeitig kleiner als $1$ sein kann, gilt nur der erste Fall. Das heißt: $x^2-4x+3$ ist kleiner als Null genau dann, wenn $x$ zwischen $1$ und $3$ liegt. Dieses Intervall muss man also ausschließen.
$\Rightarrow \mathbb D= \mathbb R\backslash ]1;3[$
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$f(x)=\ln(x-5)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Definitionsbereich
Der Definitionsbereich ist die Menge von Zahlen, die man in eine Funktion einsetzen darf.
$f(x)=\ln(x-5)$
Prüfe, wann das Argument $x-5$ kleiner oder gleich Null wird.
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}x-5&\leq&0&|+5\\x&\leq&5\end{array}$
Das Intervall $x\in\;]-\infty; 5]$ muss man also aus dem Definitionsbereich ausschließen.
$\Rightarrow \mathbb{D}=\mathbb{R}\setminus ]-\infty; 5] = ]5, \infty[$
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$f\left(x\right)=\ln\left(6x-x^2-9\right)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Definitionsbereich
Der Definitionsbereich ist die Menge von Zahlen, die man in eine Funktion einsetzen darf.
Vorüberlegung
Die Funktion $f$ ist genau für diejenigen $x$ definiert, für die $g(x)=6x-x^2-9$ positiv ist.
Nullstellen von $g(x)=-x^2+6x-9$
Die Betrachtung der Diskriminante von $g$ ergibt hier, dass $g$ genau eine Nullstelle besitzt.
Da der Graph der Funktion $g$ eine nach unten geöffnete Parabel (negativer Koeffizient vor höchster x-Potenz) mit Scheitel auf der x-Achse ist, nimmt $g$ keine positiven Werte an.
Interpretation
Da $g$ keine positiven Werte annnimmt, gilt nach der Vorüberlegung:
$\mathbb {D}_f=\{\;\}\,$ ,also die leere Menge.
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$f(x)=\mathrm{log}_6(x^3-7x)$
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Definitionsbereich
Der Definitionsbereich ist die Menge von Zahlen, die man in eine Funktion einsetzen darf.
$f(x)=\mathrm{log}_6(x^3-7x)$
Prüfe, wann $x^3-7x$ kleiner oder gleich Null wird.
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}\; & x^3-7x\leq0 & |x \text{ ausklammern}\\ \Leftrightarrow & x\cdot(x^2-7)\leq 0 &\end{array}$
Die erste Fallunterscheidung wird gemacht, um die zwei Fälle zu unterscheiden, bei denen das Produkt kleiner oder gleich Null wird.
Erster Faktor kleinergleich Null, zweiter Faktor größergleich Null.
Fallunterscheidung:
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl} \;1. & x\leq0&\text{ und }x^2-7\geq0&|+7\\ \Leftrightarrow &x\leq0&\text{ und }x^2\geq7&|\sqrt{\;}\\ \Leftrightarrow &x\leq0&\text{ und }|x|\geq\sqrt{7}&|\text{Betrag!}\\\\a)&x\leq0&\text{ und }x\geq\sqrt7\;\leftarrow&\text{unmöglich}\\b)&x\leq0&\text{ und }x\leq-\sqrt7\\&\Leftrightarrow &\underline{x\leq-\sqrt7}\end{array}$
Hier taucht ein Betrag auf, dessen Auflösung in der zweiten Fallunterscheidung passiert:
Dass $x$ kleinergleich Null und gleichzeitig größergleich $\sqrt7$ ist, ist unmöglich.
Es bleibt, dass das Produkt kleiner oder gleich Null wird, wenn $x$ kleiner oder gleich $-\sqrt7$ ist.
Erster Faktor größergleich Null, zweiter Faktor kleinergleich Null.
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}\;2.&x\geq0&\text{ und }x^2-7\leq 0&|+7\\ \Leftrightarrow &x\geq0&\text{ und }x^2\leq7&|\sqrt{\;}\\\Leftrightarrow &x\geq0&\text{ und }|x|\leq\sqrt7&\\\\&x\geq0&\text{ und }-\sqrt7\leq x\leq\sqrt7\\&\Leftrightarrow &\underline{x\in\;\left[0;\sqrt7\right]}\end{array}$
Auch hier taucht ein Betrag auf, dessen Auflösung in der zweiten Fallunterscheidung passiert:
Das Produkt wird kleinergleich Null, wenn $x$ zwischen $-\sqrt7$ und $\sqrt7$ liegt und gleichzeitig $x$ größergleich Null ist.
Zusammenfassend
Man muss ausschließen:
$x\leq-\sqrt7;\;0\leq x\leq\sqrt7$
Somit ergibt sich folgender Definitionsbereich:
$\Rightarrow\mathbb D=\mathbb{R}\setminus]-\infty;-\sqrt7]\cup[0; \sqrt7]$
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$f\left(x\right)=5x\;\tan\left(x\right)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Defeinitionsbereich
Der Definitionsbereich ist die Menge von Zahlen, die man in eine Funktion einsetzen darf.
$f\left(x\right)=5x\cdot\tan\left(x\right)=5x\cdot\frac{\sin(x)}{\cos(x)}$
Man verwendet:
Der Nenner (also $cos(x)$ ) darf nicht $0$ werden.
$cos (x)=0$
Hier setzt man $cos(x)=0$ an.
$cos(x)=0$ gilt genau für alle
Also gilt: $\mathbb{D}_f=\mathbb{R}\backslash\{\frac\pi2+k\cdot\pi\vert k\in\mathbb{Z}\}$
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$f\left(x\right)=7x^2\tan\left(2-x\right)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Definitionsbereich
Der Definitionsbereich ist die Menge von Zahlen, die man in eine Funktion einsetzen darf.
$f(x)=7x^2\cdot\tan(2-x)$
$\phantom{f(x)}=7x^2\cdot\dfrac{\sin(2-x)}{\cos(2-x)}$
Der Nenner ( $\cos(2-x)$ ) darf nicht $0$ werden.
$\cos(2-x)=0$
Der gewöhnliche Cosinus $\cos(x)$ wird genau dann $0$ , wenn $x\in\{\frac\pi2+k\cdot\pi\vert k\in\mathbb{Z}\}$ gilt. Daher gilt $\cos(2-x)=0$ genau dann, wenn $x\in\{2-\frac\pi2+k\cdot\pi\vert k\in\mathbb{Z}\}$ gilt.
$\Rightarrow$ $\mathbb{D}_f=\mathbb{R}\backslash\{2-\frac\pi2+k\pi\vert k\in\mathbb{Z}\}$
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$f\left(x\right)=\left(x+5\right)\;\tan\;\left(x^2-\frac12\pi\right)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Definitionsbereich
Der Definitionsbereich ist die Menge von Zahlen, die man in eine Funktion einsetzen darf.
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}f(x)=(x+5)\;\tan(x^2-\frac\pi2)\\\;\;\;\;\;\;\;\;=(x+5)\;\frac{\sin(x^2-{\displaystyle\frac\pi2})}{\cos(x^2-{\displaystyle\frac\pi2})}\end{array}$
Der Nenner ( $\cos(x^2-\frac\pi2)$ ) darf nicht $0$ werden.
$\cos(x^2-\frac\pi2)=0$
$x^2-\frac\pi2\in\{\frac\pi2+k\cdot\pi\vert k\in\mathbb{Z}\}$
$x\in\{\pm\sqrt{k\cdot\pi}\vert k\in\mathbb{N}_0\}$
Nun überlegt man sich, für welche $x$ der Nenner $0$ wird.
Also gilt: $\mathbb{D}_f=\mathbb{R}\backslash\{\pm\sqrt{k\pi}\vert k\in\mathbb{N}_0\}$
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$f\left(x\right)=\dfrac1{\sqrt{x^2+6x+9}}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Definitionsbereich
Der Definitionsbereich ist die Menge von Zahlen, die man in eine Funktion einsetzen darf.
Vorüberlegung
Die Funktion $f$ ist genau für diejenigen $x$ definiert, für die der Radikand $x^2+6x+9$ positiv ist.
Nullstellen von $x^2+6x+9$
Mitternachtsformel
Für die Diskriminante gilt: $D=36-4\cdot9=0$ $\Rightarrow$ 1 Lösung
Interpretation
Da der Graph der Funktion $g(x)=x^2+6x+9$ unter der Wurzel eine nach oben geöffnete Parabel (positives Vorzeichen vor der höchsten Potenz ) ist, deren Scheitel auf der x-Achse liegt, ist sie für alle $x\neq-3$ positiv.Nach der Vorüberlegung gilt damit für den Definitionsbereich von $f$ :
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$f\left(x\right)=\dfrac{\lg\left(x^2-x\right)}{\sqrt{x+2}}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Definitionsbereich
Der Definitionsbereich ist die Menge von Zahlen, die man in eine Funktion einsetzen darf.
Vorüberlegung
Die Funktion $f$ ist genau für diejenigen $x$ definiert, für die $g(x)=x^2-x>0$ (Definitionsbereich des Logarithmus) und $h(x)=x+2>0$ gilt.
Nullstellen von $g(x)=x^2-x$
$g(x)=x(x-1)$
$\Rightarrow$ zwei Nullstellen $x_1=0\;$ und $x_2=1$
Zunächst faktorisiert man $g(x)$ .
Daraufhin kann man die Nullstellen ablesen.
Da der Graph der Funktion $g(x)=x^2-x$ eine nach oben geöffnete Parabel (positives Vorzeichen vor der höchsten Potenz) ist, nimmt $g$ für alle $x\not\in\lbrack0;1\rbrack$ positive Werte an.
Nullstellen von $h(x)=x+2$
$x+2=0$
$x=-2$
Die Nullstelle der linearen Funktion $h$ lässt sich durch einfaches Auflösen nach $x$ bestimmen.
Da der Graph der Funktion $h(x)=x+2$ eine Gerade mit positiver Steigung ist, nimmt $h$ für alle $x>-2$ positive Werte an.
Interpretation
Da die Bedingungen an $g$ und $h$ aus der Vorüberlegung genau für alle $x\not\in\lbrack0;1\rbrack$ UND $x>-2$ erfüllt sind, gilt:
$\mathbb{D}_f=]-2;0[\;\;\cup\;\;]1;\infty[$
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$f\left(x\right)=\dfrac{1+3x+33x^2}{\sin\left(x\right)}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Definitionsbereich
Der Definitionsbereich ist die Menge von Zahlen, die man in eine Funktion einsetzen darf.
Der Nenner ( $\sin(x)$ ) darf nicht $0$ werden.
$sin(x)=0$
$x\in\{k\cdot\pi\vert k\in\mathbb{Z}\}$
Nun überlegt man sich, für welche $x$ der Nenner $0$ wird.
Also gilt: $\mathbb{D}_f=\mathbb{R}\backslash\{k\cdot\pi\vert k\in\mathbb{Z}\}$
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$f\left(x\right)=\dfrac{12345}{1-\sin\left(x-\frac12\pi\right)}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Definitionsbereich
Der Definitionsbereich ist die Menge von Zahlen, die man in eine Funktion einsetzen darf.
Der Nenner ( $1-\sin(x-\frac\pi2)$ ) darf nicht $0$ werden.
$1-\sin(x-\frac\pi2)=0$
Du kannst die Gleichung umformen. Bringe durch Addition $\sin(x-\frac\pi2)$ auf die andere Seite.
$\Leftrightarrow$ $\sin(x-\frac\pi2)=1$
Nun überlegst du dir, für welche Werte der Sinus $1$ wird.
$\Leftrightarrow$ $x-\frac\pi2\in\{\frac\pi2+2k\cdot\pi\vert k\in\mathbb{Z}\}$
Da du nach den $x$ -Werten suchst, musst du noch mit $\frac{\pi}{2}$ addieren.
$\Leftrightarrow$ $x\in\{(2k+1)\pi\vert k\in\mathbb{Z}\}$
Also gilt: $\mathbb{D}_f=\mathbb{R}\backslash\{(2k+1)\pi\vert k\in\mathbb{Z}\}$
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Gib für folgende Funktionen die maximale Definitionsmenge an $\left(G=ℝ\right)$ .

$f\left(x\right)=\dfrac{5x+17}{0{,}64x^2+1{,}12x+0{,}49}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Definitionsbereich
Der Definitionsbereich ist die Menge von Zahlen, die man in eine Funktion einsetzen darf.
$f\left(x\right)=\dfrac{5x+17}{0{,}64x^2+1{,}12x+0{,}49}$
Setze den Nenner gleich 0.
$0{,}64x^2+1{,}12x+0{,}49=0$
Berechne die Diskriminante.
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{lll}D&=&(1{,}12)^2-4\cdot0{,}64\cdot0{,}49 \\ &=&1{,}2544-1{,}2544 \\ &=& 0 \end{array}$
$\;\;\Rightarrow\;\;1\;\mathrm{Lösung}$
Wende nun die Mitternachtsformel an.
$x=\dfrac{-1{,}12}{2\cdot0{,}64}=-0{,}875$
$\;\;\Rightarrow\;\;D=ℝ\setminus\{-0{,}875\}$
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$f\left(x\right)=\dfrac{\sqrt{x^2+4x+4}}{\sqrt{2x^2+20x+60}}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Definitionsbereich
Definitionsbereich
Der Definitionsbereich ist die Menge von Zahlen, die man in eine Funktion einsetzen darf.
Vorüberlegung
Die Funktion $f$ ist genau für diejenigen $x$ definiert, für die der Radikand $g(x)=x^2+4x+4$ im Zähler größer gleich $0$ ist UND der Radikand $h(x)=2x^2+20x+60$ im Nenner größer als $0$ ist.
Nullstellen von $g(x)=x^2+4x+4$
Faktorisiere $g(x)$ mit dem Verfahren von Vieta oder der binomischen Formel:
$g(x)=(x+2)(x+2)$
$\Rightarrow$ doppelte Nullstelle bei $x=-2$
Da der Graph der Funktion $g(x)=x^2+4x+4$ eine nach oben geöffnete Parabel (positives Vorzeichen vor der höchsten Potenz ) ist, deren Scheitel auf der x-Achse liegt, ist sie für alle $x\in\mathbb{R}$ größer gleich 0.
Nullstellen von $h(x)=2x^2+20x+60$
$D=20^2-4\cdot2\cdot60=-80<0$
$\Rightarrow$ keine Nullstellen
Hier zeigt die Berechnung der Diskriminanten, dass die Funktion $h$ keine reellen Nullstellen besitzt.
Da der Graph der Funktion $h(x)=2x^2+20x+60$ eine nach oben geöffnete Parabel (positives Vorzeichen vor der höchsten Potenz ) ist, deren Scheitel oberhalb der x-Achse liegt, ist sie für alle $x\in\mathbb{R}$ positiv.
Interpretation
Da sowohl für $g$ als auch $h$ die Bedingung aus der Vorüberlegung für alle $x\in\mathbb{R}$ erfüllt ist, gilt:
$\mathbb{D}_f=ℝ$
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$f\left(x\right)=\dfrac{\left(4x-9\right)^\tfrac12}{18-8x}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Definitionsbereich
Der Definitionsbereich ist die Menge von Zahlen, die man in eine Funktion einsetzen darf.
Vorüberlegung
Der Exponent $\frac12$ steht für die Quadratwurzel. Demnach ist die Funktion $f$ genau für diejenigen $x$ definiert, für die $g(x)=4x-9$ größer gleich $0$ ist UND die Funktion $h(x)=18-8x$ im Nenner ungleich $0$ ist.
Nullstellen von $g(x)=4x-9$
Die Nullstelle der linearen Funktion $g$ lässt sich durch einfaches Auflösen nach x bestimmen.
$\displaystyle 4x - 9$ $=$ $\displaystyle 0$ $\displaystyle + 9$
$\displaystyle 4x$ $=$ $\displaystyle 9$ $\displaystyle \colon 4$
$\displaystyle x$ $=$ $\displaystyle \frac94$
Da der Graph der Funktion $g(x)=4x-9$ eine Gerade mit positiver Steigung ist, nimmt $g$ für alle $x\geq\frac94$ Werte größer gleich $0$ an.
Nullstellen von $h(x)=18-8x$
Die Nullstelle der linearen Funktion $h$ lässt sich durch einfaches Auflösen nach x bestimmen.
$\displaystyle 18-8x$ $=$ $\displaystyle 0$ $\displaystyle +8x$
$\displaystyle 18$ $=$ $\displaystyle 8x$ $\displaystyle \colon 8$
$\displaystyle \frac94$ $=$ $\displaystyle x$
Interpretation
Da die Bedingungen an $g$ und $h$ aus der Vorüberlegung genau für alle $x>\frac94$ erfüllt sind, gilt:
$\mathbb{D}_f= \left]\frac94;\infty\right[$
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$f\left(x\right)=\sqrt{6x-x^2-9}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Definitionsbereich
Der Definitionsbereich ist die Menge von Zahlen, die man in eine Funktion einsetzen darf.
Vorüberlegung
Die Funktion $f$ ist genau für diejenigen $x$ definiert, für die $g(x)=6x−x^2−9$ größer gleich $0$ ist.
Nullstellen von $g(x)=-x^2+6x-9$
Hier lässt sich $g(x)$ mit dem Verfahren von Vieta oder der binomischen Formel faktorisieren.
$g(x)=-(x-3)(x-3)$
$\Rightarrow$ doppelte Nullstelle bei $x_1=3$
Da der Graph der Funktion g eine nach unten geöffnete Parabel (negativer Koeffizient vor höchster x-Potenz) mit Scheitel auf der x-Achse ist, nimmt g nur für $x=3$ einen nicht-negativen Wert an.
Interpretation
Nach der Vorüberlegung gilt:
$\mathbb{D}_f=\{{3}\}$
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$f\left(x\right)=\dfrac1{\frac12x^2-2}$

$f\left(x\right)=\dfrac{x^3+x^2+x+1}{\frac49x^2-\frac14}$

$f\left(x\right)=\dfrac{\sin(x)}{x^2-4x+4}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Definitionsbereich
Der Definitionsbereich ist die Menge von Zahlen, die man in eine Funktion einsetzen darf.
$f\left(x\right)=\dfrac{\sin\;x}{x^2-4x+4}$
Nenner darf nicht 0 werden, setze diesen also gleich 0.
$x^2-4x+4=0$
Hier lässt sich die 2. Binomische Formel anwenden.
$\left(x-2\right)^2=0$
$\Rightarrow x = 2$
Also gilt: $\mathbb {D}_f=\mathbb{R}\backslash\{2\}$
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$f(x)=\dfrac1{-x^2+6x-9}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Definitionsbereich
Der Definitionsbereich ist die Menge von Zahlen, die man in eine Funktion einsetzen darf.
$f(x)=\dfrac1{-x^2+6x-9}$
Der Nenner $g(x)=-x^2+6x-9$ darf nicht $0$ werden, setze ihn also gleich 0.
$g(x)=-x^2+6x-9=0$
Um das zu lösen, kannst du die Mitternachtsformel verwenden oder die Funktion mit dem Verfahren von Vieta oder der binomischen Formel faktorisieren.
$g(x)=-(x-3)(x-3)$
$\Rightarrow$ doppelte Nullstelle bei $x=3$
Also gilt: $\mathbb{D}=ℝ\backslash\left\{3\right\}$
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$f\left(x\right)=\dfrac{2\mathrm{ax}+4\mathrm{bx}^2+8\mathrm{cx}^3}{80-5x^2}$

$f\left(x\right)=\left(2-x\right)\cdot\dfrac{x+x^2+x^3+x^4}{x^3-\frac14x}$

$f\left(x\right)=\dfrac x{\sin(x)}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Definitionsbereich
Der Definitionsbereich ist die Menge von Zahlen, die man in eine Funktion einsetzen darf.
$f\left(x\right)=\dfrac x{\sin(x)}$
Setze den Nenner gleich 0.
$\sin(x)=0$
Überlege dir folgendes: Die gewöhnliche Sinus-Kurve schneidet die x-Achse genau bei allen Vielfachen von $\pi$ .
$\Rightarrow$ $\mathbb{D}_f=\mathbb{R}\backslash\{k\cdot\pi\vert k\in\mathbb{Z}\}$
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$f\left(x\right)=123\cdot\dfrac{4+5x+6x^2}{\cos\left(x+4\right)}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Definitionsbereich
Der Definitionsbereich ist die Menge von Zahlen, die man in eine Funktion einsetzen darf.
$f\left(x\right)=123\cdot\dfrac{4+5x+6x^2}{\cos\left(x+4\right)}$
Der Nenner ( $\cos(x+4)$ ) darf nicht $0$ werden, überlege dir also für welche $x$ er 0 werden würde.
$\cos(x+4)=0$
$x+4\in\{\frac\pi2+k\cdot\mathrm\pi\vert\mathrm k\in\mathbb{Z}\}$
$x\in\{-4+\frac\pi2+k\cdot\mathrm\pi\vert\mathrm k\in\mathbb{Z}\}$
Also gilt: $\mathbb{D}_f=\mathbb{R}\backslash\{-4+\frac\pi2+k\cdot\pi\vert k\in\mathbb{Z}\}$
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$f\left(x\right)=\dfrac{6789}{\sqrt3\;\cos\left(x\right)-\sin\left(x\right)}$

strobl-f.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Franz Strobl
$f(x)=\dfrac{5x^2-a}{36x^2-16x}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Definitionsbereich
Der Definitionsbereich ist die Menge von Zahlen, die man in eine Funktion einsetzen darf.
$f(x)=\dfrac{5x^2-a}{36x^2-16x}$
Die Definitionslücken sind die Nullstellen des Nenners, setze diesen also gleich 0.
$\displaystyle 36x^2-16x$ $=$ $\displaystyle 0$
↓
Klammere $4x$ aus
$\displaystyle 4x(9x-4)=0$ $=$ $\displaystyle 0$
Ein Produkt wird Null, wenn einer der Faktoren Null ist.
1.Möglichkeit:
$x=0$
2.Möglichkeit:
$\displaystyle 9x - 4$ $=$ $\displaystyle 0$ $\displaystyle + 4$
$\displaystyle 9x$ $=$ $\displaystyle 4$ $\displaystyle \colon 9$
$\displaystyle x$ $=$ $\displaystyle \frac49$
Also gilt: $\mathbb{D}_f=\mathbb{R}\backslash\left\{0;\;\;\frac49\right\}$
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$f(x)=\dfrac1{x-6}-\dfrac1{6x+1}$

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

$\displaystyle x-2$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle +2$
$\displaystyle x_2$	$=$	$\displaystyle 2$
	↓	Die Nullstellen des Nenners müssen aus dem Definitionsbereich ausgeschlossen werden.

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle \dfrac{2x+x^7}{\dfrac{1}{9}x^2+\dfrac{1}{3}x+\dfrac{1}{4}}$
	↓	Definitionslücke(n) berechnen, indem man ausrechnet, für welche(s) $x$ der Nenner den Wert $0$ ergibt.
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{9}x^2+\frac{1}{3}x+\frac{1}{4}$
	↓	Mitternachtsformel verwenden.
$\displaystyle x_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle \frac{-\frac{1}{3}\pm\sqrt{\left(\frac{1}{3}\right)^2-4\cdot\frac{1}{9}\cdot\frac{1}{4}}}{\frac{2}{9}}$
	↓	Die Betrachtung der Diskriminanten ergibt $D=(\frac13)^2-4\cdot\frac19\cdot\frac14=0$ . Also besitzt der Nenner genau eine Nullstelle.
$\displaystyle x_1$	$=$	$\displaystyle \frac{-\frac{1}{3}}{\frac{2}{9}}$
$\displaystyle x_1$	$=$	$\displaystyle -\frac{3}{2}$

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{2x^4-x^2}{0{,}01x^2-1}$
	↓	Nenner gleich 0 setzen.
$\displaystyle 0{,}01x^2-1$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle +1$
$\displaystyle 0{,}01x^2$	$=$	$\displaystyle 1$	$\displaystyle \cdot100$
$\displaystyle x^2$	$=$	$\displaystyle 100$	$\displaystyle \sqrt{ }$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \pm10$

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle \sqrt{7x+4}$
	↓	Bedingung "Radikand größer gleich 0" ausnutzen.
$\displaystyle 7x+4$	$≥$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle -4$
	↓	Alle Terme mit $x$ auf eine Seite, alle ohne $x$ auf die andere.
$\displaystyle 7x$	$≥$	$\displaystyle -4$	$\displaystyle :7$
	↓	$x$ alleine stehen lassen.
$\displaystyle x$	$≥$	$\displaystyle -\frac{4}{7}$

$\displaystyle x^2-5x+6$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Mitternachtsformel anwenden.
$\displaystyle x_1$	$=$	$\displaystyle \frac{5+1}{2}$
$\displaystyle x_2$	$=$	$\displaystyle \frac{5-1}{2}$

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{4x-3}{2x-5}$
	↓	Setze den Nenner gleich 0.
$\displaystyle 2x-5$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle +5$
$\displaystyle 2x$	$=$	$\displaystyle 5$	$\displaystyle :2$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 2{,}5$

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle \dfrac{3x^3+7}{x^2-2x}$
	↓	Setze den Nenner gleich 0.
$\displaystyle x^2-2x$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	$x$ ausklammern.
$\displaystyle x\left(x-2\right)$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Ein Produkt wird $0$ , wenn einer der Faktoren $0$ ist.

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle \sqrt{x^2-5x+6}$
	↓	Prüfen, wann der Radikand $\geq$ 0 ist.
$\displaystyle x^2-5x+6$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Nullstellen berechnen.

$\displaystyle x^2-5x+6$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Faktorenzerlegung (mit dem Satz von Vieta).
$\displaystyle \left(x-3\right)\cdot\left(x-2\right)$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Nullstellen ablesen.

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle \sqrt{17x}+5x-3$	$\displaystyle :17$
	↓	Prüfe, wann $17x$ kleiner als Null wird.
$\displaystyle 17x$	$<$	$\displaystyle 0$
$\displaystyle x$	$<$	$\displaystyle 0$

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle \sqrt [6] {x^2-4x+3}$
	↓	Prüfe, wann der Radikand $x^2-4x+3$ kleiner als Null wird.

$\displaystyle 4x - 9$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle + 9$
$\displaystyle 4x$	$=$	$\displaystyle 9$	$\displaystyle \colon 4$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \frac94$

$\displaystyle 18-8x$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle +8x$
$\displaystyle 18$	$=$	$\displaystyle 8x$	$\displaystyle \colon 8$
$\displaystyle \frac94$	$=$	$\displaystyle x$

$\displaystyle \frac12x^2-2$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle +2$
$\displaystyle \frac12 x^2$	$=$	$\displaystyle 2$	$\displaystyle \cdot 2$
$\displaystyle x^2$	$=$	$\displaystyle 4$

$\displaystyle \frac{2}3x-\frac{1}2$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle + \frac12$
$\displaystyle \frac{2}3x$	$=$	$\displaystyle \frac12$	$\displaystyle \cdot \frac32$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \frac34$

$\displaystyle \sqrt{3}\cos(x)-\sin(x)$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle + \sin(x)$
$\displaystyle \sqrt{3}\cos(x)$	$=$	$\displaystyle \sin(x)$	$\displaystyle \colon \cos(x)$
	↓	Hier darfst du durch den Cosinus teilen, da es kein x gibt, für das cos(x) und sin(x) beide 0 sind.
$\displaystyle \sqrt{3}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{\sin(x)}{\cos(x)}$
	↓	Sinus geteilt durch Cosinus entspricht dem Tangens.
$\displaystyle \sqrt{3}$	$=$	$\displaystyle \tan (x)$

$\displaystyle \frac{2}3x+\frac{1}2$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle - \frac12$
$\displaystyle \frac{2}3x$	$=$	$\displaystyle -\frac12$	$\displaystyle \cdot \frac32$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle - \frac34$

$\displaystyle 80-5x^2$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle + 5x^2$
$\displaystyle 80$	$=$	$\displaystyle 5x^2$	$\displaystyle \colon5$
$\displaystyle 16$	$=$	$\displaystyle x^2$	$\displaystyle \sqrt{}$
$\displaystyle \pm 4$	$=$	$\displaystyle x$

$\displaystyle x^3 - \frac14 x$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Klammere $x$ aus.
$\displaystyle x\left(x^2- \frac14\right)$	$=$	$\displaystyle 0$

$\displaystyle x^2-\frac14$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle +\frac14$
$\displaystyle x^2$	$=$	$\displaystyle \frac14$	$\displaystyle \sqrt{}$
$\displaystyle x_\mathrm{2{,}3}$	$=$	$\displaystyle \pm \sqrt{\frac12}$

$\displaystyle 36x^2-16x$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Klammere $4x$ aus
$\displaystyle 4x(9x-4)=0$	$=$	$\displaystyle 0$

$\displaystyle 9x - 4$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle + 4$
$\displaystyle 9x$	$=$	$\displaystyle 4$	$\displaystyle \colon 9$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \frac49$

$\displaystyle x - 6$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle +6$
$\displaystyle x_1$	$=$	$\displaystyle 6$

$\displaystyle 6x + 1$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle -1$
$\displaystyle 6x$	$=$	$\displaystyle -1$	$\displaystyle \colon 6$
$\displaystyle x_2$	$=$	$\displaystyle - \frac16$

Aufgaben zur Bestimmung von Definitionsmengen

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Nullstellenbestimmung

mit der Mitternachtsformel:

Abschnitte bestimmen, in denen der Radikand kleiner als 0 ist

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Vorüberlegung

Nullstellen von g(x)=−x2+6x−9g(x)=-x^2+6x-9g(x)=−x2+6x−9

Interpretation

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Vorüberlegung

Nullstellen von x2+6x+9x^2+6x+9x2+6x+9

Interpretation

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Vorüberlegung

Nullstellen von g(x)=x2−xg(x)=x^2-xg(x)=x2−x

Nullstellen von h(x)=x+2h(x)=x+2h(x)=x+2

Interpretation

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Definitionsbereich

Vorüberlegung

Nullstellen von g(x)=x2+4x+4g(x)=x^2+4x+4g(x)=x2+4x+4

Nullstellen von h(x)=2x2+20x+60h(x)=2x^2+20x+60h(x)=2x2+20x+60

Interpretation

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Vorüberlegung

Nullstellen von g(x)=4x−9g(x)=4x-9g(x)=4x−9

Nullstellen von h(x)=18−8xh(x)=18-8xh(x)=18−8x

Interpretation

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Vorüberlegung

Nullstellen von g(x)=−x2+6x−9g(x)=-x^2+6x-9g(x)=−x2+6x−9

Interpretation

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Nullstellen von $g(x)=-x^2+6x-9$

Nullstellen von $x^2+6x+9$

Nullstellen von $g(x)=x^2-x$

Nullstellen von $h(x)=x+2$

Nullstellen von $g(x)=x^2+4x+4$

Nullstellen von $h(x)=2x^2+20x+60$

Nullstellen von $g(x)=4x-9$

Nullstellen von $h(x)=18-8x$

Nullstellen von $g(x)=-x^2+6x-9$