Aufgaben zur Vielfachheit von Nullstellen

Vielfachheit von Nullstellen

Der Graph einer Funktion $f$ zeigt verschiedene Nullstellen. Welche davon ist eine doppelte Nullstelle?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vielfachheit von Nullstellen
Die Nullstelle bei $x = - 3$ ist eine doppelte Nullstelle. Der Graph der Funktion $f$ berührt die x-Achse dort und schneidet sie nicht.
Warum ist die Nullstelle $N_{1} (- 3 ∣ 0)$ eine doppelte Nullstelle?
Der Graph von $f$ schneidet in dieser Stelle nicht die x-Achse. Er berührt diese nur und hat in $(- 3 ∣ 0)$ einen Hochpunkt, was im rot markierten Teil des Graphen zu sehen ist.
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Überlege, welche Eigenschaft eine doppelte Nullstelle besitzt. Gibt es hier einen Punkt, der diese Eigenschaft erfüllt?
Der Graph von $f$ erneut abgebildet.
Wähle alle Aussagen aus, die richtig sind.
- Der Graph von $f$ besitzt einfache, doppelte und dreifache Nullstellen.
- $f$ hat in $x = 1$ eine einfache Nullstelle, weil der Graph die x-Achse dort schneidet.
- $f$ hat insgesamt 4 verschiedene Nullstellen.
- Aufgrund der Vielfachheit der Nullstellen muss $f$ ein Polynom mit Grad $6$ sein. Also von der Form $f (x) = a x^{6} + . . .$
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vielfachheit von Nullstellen
Richtig ist:
$f$ hat insgesamt vier Nullstellen. Nämlich an den Stellen $x = - 3$ , $x = 1$ , $x = 3$ und $x = 5$ .
Die Nullstelle in $x = - 3$ ist doppelt, die bei $x = 1$ dreifach und die anderen einfach.
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