$\overline{AC}=10\ \text{cm};\;\;\overline{BD}=6\ \text{cm};\:\overline{AE}=10\ \text{cm}$

Das Dreieck $MEN$ ist ein rechtwinkliges Dreieck. Der Winkel $\angle MEN=90^\circ$.

Weiter gilt:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}\overline{MN}=\overline{AE}=10\ \text{cm}.\\\overline{EN}=\frac12\overline{EG}=\frac12\overline{AC}=5\ \text{cm}\end{array}$

Zur Berechnung der Strecke $\overline{ME}$ benötigst du den Satz des Pythagoras.

$\overline{ME}=\sqrt{{(\overline{MN})}^2+(\overline{EN)}^2}=\sqrt{(10^2+5^2)\ \text{cm}^2}=\sqrt{125\ \text{cm}^2}=11{,}18\ \text{cm}$

Für die Berechnung des Maßes $\varphi\;$ des Winkels $\angle MEN$ benötigst du Kenntnisse über die Winkel im rechtwinkligen Dreieck.

$\tan\left(\varphi\right)=\dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}$ $=\dfrac{\overline{MN}}{\overline{EN}}=\dfrac{10\ \text{cm}}{5\ \text{cm}}=2$

$\varphi=\tan^{-1}(2)=63{,}43^\circ$

$\overline{ME}=11{,}18\ \text{cm}$ und $\varphi=63{,}43^\circ$

Für die Berechnung des Flächeninhalts des Dreiecks $S_1GE$ benötigst du Kenntnisse, wie man den Flächeninhalt eines Dreiecks berechnet.

$\def\arraystretch{2} \begin{array}{l}A_{S_1GE}=\dfrac12\cdot\overline{ES_1}\cdot\overline{EG}\cdot\sin\left(\varphi\right)\\\overline{ES_n}(x)=x\ \text{cm};\;\;\overline{ES_1}(3)=3\ \text{cm}\\A_{S_1GE}=\frac12\cdot3\ \text{cm}\cdot10\ \text{cm}\cdot\sin\left(63{,}43^\circ\right)= 15\ \text{cm}^2\cdot\sin\left(63{,}43^\circ\right)=13{,}42\ \text{cm}^2\end{array}$

Zur Berechnung der Länge von $\overline{S_1G}$ benötigst du den Kosinussatz im allgemeinen Dreieck.

$\overline{S_1G}=\sqrt{(\overline{ES_1)^2}+(\overline{EG)^2}-2\cdot\overline{ES_1}\cdot\overline{EG}\cdot\cos\left(\varphi\right)}$

$\overline{S_1G}=\sqrt{3^2+10^2-2\cdot3\cdot10\cdot\cos\left(63{,}43^\circ\right)}\ \text{cm}$

$\overline{S_1G}=\sqrt{109-60\cdot\cos\left(63{,}43^\circ\right)}\ \text{cm}=9{,}06\ \text{cm}$

Die Fläche des Dreiecks $A_{S_1GE}=13{,}42\ \text{cm}^2$.

Die Länge von $\overline{S_1G}=9{,}06\ \text{cm}$.

Für diese Aufgabe musst du wissen, wie man die Fläche einer Raute und das Volumen einer Pyramide berechnet.

$G=\dfrac12\cdot\overline{AC}\cdot\overline{BD}$

$V=\dfrac13\cdot G\cdot\overline{Q_nS_n}$

$V=\dfrac13\cdot\dfrac12\cdot\overline{AC}\cdot\overline{BD}\cdot\overline{Q_nS_n}$

Zur Berechnung von $\overline{Q_nS_n}$ benötigst du den Strahlensatz.

$\def\arraystretch{2} \begin{array}{l}\dfrac{\overline{Q_nS_n}(x)}{\overline{AE}}=\dfrac{\overline{ME}-x}{\overline{ME}}\\\\\dfrac{\overline{Q_nS_n}(x)}{10\;\text{cm}}=\dfrac{(11{,}18-x)\ \text{cm}}{11{,}18\ \text{cm}}\\\\\overline{Q_nS_n}(x)=(10-0{,}89x)\ \text{cm}\end{array}$

$V(x)=\frac13\cdot\frac12\cdot10\cdot6\cdot(10-0{,}89x)\ \text{cm}^3$

$V(x)=(100-8{,}9x)\ \text{cm}^3$

Bekannt ist bereits:

$V(x)=(100-8{,}9x)\ \text{cm}^3$

Berechne $x$.

Für die Lösung benötigst du den Sinussatz im allgemeinen Dreieck.

$\dfrac{\overline{ES_2}}{\sin\left(\angle S_2AE\right)}=\dfrac{\overline{AE}}{\sin\left(\angle ES_2A\right)}$

$\overline{ES_n(x)}=x \ \text{cm}$

$\dfrac{x\ \text{cm}}{\sin\left(\angle S_2AE\right)}=\dfrac{10\ \text{cm}}{\sin\left(\angle ES_2A\right)}$

$\angle MAS_2=54^\circ$

$\angle S_2AE=90^\circ-54^\circ=36^\circ$

$\angle ES_2A=180^\circ-\angle S_2AE-(90^\circ-\angle MEN)$

$\angle ES_2A=180^\circ-36^\circ-(90^\circ-63{,}43^\circ)=117{,}43°$

$\dfrac{x\ \text{cm}}{\sin\left(36^\circ\right)}=\dfrac{10\ \text{cm}}{\sin\left(117{,}43^\circ\right)}\\\\x=6{,}62$

$V_{ABCDS_2}=(100-8{,}9\cdot6{,}62)\ \text{cm}^3=41{,}08\ \text{cm}^3$

Für die Lösung musst du wissen, wie man das Volumen eines Prisma berechnet.

$\dfrac12\cdot V_{Prisma}=150\ \text{cm}^3$

$V(x)=(100-8{,}9x)\ \text{cm}^3\leq100\ \text{cm}^3,\;\;x\;\in \;\lbrack0;11{,}18\lbrack$

Es gibt keine Pyramide $ABCDS_n$⁣, für die das Volumen halb so groß ist wie das Volumen des Prismas $ABCDEFG$.