$\overline{AC}=10\text{cm};\overline{BD}=6\text{cm};\overline{AE}=10\text{cm}$

Das Dreieck $MEN$ ist ein rechtwinkliges Dreieck. Der Winkel $\angle MEN={90}^{\circ }$.

Weiter gilt:

$\begin{array}{l}\overline{MN}=\overline{AE}=10\text{cm}.\\ \overline{EN}=\frac{1}{2}\overline{EG}=\frac{1}{2}\overline{AC}=5\text{cm}\end{array}$

Zur Berechnung der Strecke $\overline{ME}$ benötigst du den Satz des Pythagoras.

$\overline{ME}=\sqrt{{(\overline{MN})}^2+({\overline{EN)}}^2}=\sqrt{({10}^2+5^2){\text{cm}}^2}=\sqrt{125{\text{cm}}^2}=\mathrm{11,18}\text{cm}$

Für die Berechnung des Maßes $\phi$ des Winkels $\angle MEN$ benötigst du Kenntnisse über die Winkel im rechtwinkligen Dreieck.

$\tan \left(\phi \right)={\displaystyle \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}}$ $={\displaystyle \frac{\overline{MN}}{\overline{EN}}}={\displaystyle \frac{10\text{cm}}{5\text{cm}}}=2$

$\phi ={\tan }^{-1}(2)={\mathrm{63,43}}^{\circ }$

$\overline{ME}=\mathrm{11,18}\text{cm}$ und $\phi ={\mathrm{63,43}}^{\circ }$

Für die Berechnung des Flächeninhalts des Dreiecks $S_{1}GE$ benötigst du Kenntnisse, wie man den Flächeninhalt eines Dreiecks berechnet.

$\begin{array}{l}{A}_{S_{1}GE}={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot \overline{E{S}_1}\cdot \overline{EG}\cdot \sin \left(\phi \right)\\ \overline{E{S}_n}(x)=x\text{cm};\overline{E{S}_1}(3)=3\text{cm}\\ A_{S_{1}GE}=\frac{1}{2}\cdot 3\text{cm}\cdot 10\text{cm}\cdot \sin \left({\mathrm{63,43}}^{\circ }\right)=15{\text{cm}}^2\cdot \sin \left({\mathrm{63,43}}^{\circ }\right)=\mathrm{13,42}{\text{cm}}^2\end{array}$

Zur Berechnung der Länge von $\overline{S_{1}G}$ benötigst du den Kosinussatz im allgemeinen Dreieck.

$\overline{S_{1}G}=\sqrt{(\overline{E{S}_1{)}^2}+(\overline{EG{)}^2}-2\cdot \overline{E{S}_1}\cdot \overline{EG}\cdot \cos \left(\phi \right)}$

$\overline{S_{1}G}=\sqrt{3^2+{10}^2-2\cdot 3\cdot 10\cdot \cos \left({\mathrm{63,43}}^{\circ }\right)}\text{cm}$

$\overline{S_{1}G}=\sqrt{109-60\cdot \cos \left({\mathrm{63,43}}^{\circ }\right)}\text{cm}=\mathrm{9,06}\text{cm}$

Die Fläche des Dreiecks $A_{S_{1}GE}=\mathrm{13,42}{\text{cm}}^2$.

Die Länge von $\overline{S_{1}G}=\mathrm{9,06}\text{cm}$.

Für diese Aufgabe musst du wissen, wie man die Fläche einer Raute und das Volumen einer Pyramide berechnet.

$G={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot \overline{AC}\cdot \overline{BD}$

$V={\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot G\cdot \overline{Q_n{S}_n}$

$V={\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot \overline{AC}\cdot \overline{BD}\cdot \overline{Q_n{S}_n}$

Zur Berechnung von $\overline{Q_n{S}_n}$ benötigst du den Strahlensatz.

$\begin{array}{l}{\displaystyle \frac{\overline{Q_n{S}_n}(x)}{\overline{AE}}}={\displaystyle \frac{\overline{ME}-x}{\overline{ME}}}\\ \\ {\displaystyle \frac{\overline{Q_n{S}_n}(x)}{10\text{cm}}}={\displaystyle \frac{(\mathrm{11,18}-x)\text{cm}}{\mathrm{11,18}\text{cm}}}\\ \\ \overline{Q_n{S}_n}(x)=(10-\mathrm{0,89}x)\text{cm}\end{array}$

$V(x)=\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}\cdot 10\cdot 6\cdot (10-\mathrm{0,89}x){\text{cm}}^3$

$V(x)=(100-\mathrm{8,9}x){\text{cm}}^3$

Bekannt ist bereits:

$V(x)=(100-\mathrm{8,9}x){\text{cm}}^3$

Berechne $x$.

Für die Lösung benötigst du den Sinussatz im allgemeinen Dreieck.

${\displaystyle \frac{\overline{E{S}_2}}{\sin \left(\angle S_{2}AE\right)}}={\displaystyle \frac{\overline{AE}}{\sin \left(\angle E{S}_{2}A\right)}}$

$\overline{E{S}_n(x)}=x\text{cm}$

${\displaystyle \frac{x\text{cm}}{\sin \left(\angle S_{2}AE\right)}}={\displaystyle \frac{10\text{cm}}{\sin \left(\angle E{S}_{2}A\right)}}$

$\angle MA{S}_2={54}^{\circ }$

$\angle S_{2}AE={90}^{\circ }-{54}^{\circ }={36}^{\circ }$

$\angle E{S}_{2}A={180}^{\circ }-\angle S_{2}AE-({90}^{\circ }-\angle MEN)$

$\angle E{S}_{2}A={180}^{\circ }-{36}^{\circ }-({90}^{\circ }-{\mathrm{63,43}}^{\circ })=\mathrm{117,43}°$

$\begin{array}{l}{\displaystyle \frac{x\text{cm}}{\sin \left({36}^{\circ }\right)}}={\displaystyle \frac{10\text{cm}}{\sin \left({\mathrm{117,43}}^{\circ }\right)}}\\ \\ x=\mathrm{6,62}\end{array}$

$V_{ABCD{S}_2}=(100-\mathrm{8,9}\cdot \mathrm{6,62}){\text{cm}}^3=\mathrm{41,08}{\text{cm}}^3$

Für die Lösung musst du wissen, wie man das Volumen eines Prisma berechnet.

${\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot V_{Prisma}=150{\text{cm}}^3$

$V(x)=(100-\mathrm{8,9}x){\text{cm}}^3\le 100{\text{cm}}^3,x\in [0;\mathrm{11,18}[$

Es gibt keine Pyramide $ABCD{S}_n$⁣, für die das Volumen halb so groß ist wie das Volumen des Prismas $ABCDEFG$.