Teil B

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1
Bayerisches Staatsministerium für Unterricht und Kultus (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Die Parabel $p$ verläuft durch die Punkte $P(-2\vert19)$ und $Q(4\vert-5)$ . Sie hat eine Gleichung der Form $y=0{,}5x^2+bx+c$ mit $\mathbb{G}=\mathbb{R}$ $\times$ $\mathbb{R}$ und $b,c\in\mathbb{R}$ .
Die Gerade g besitzt die Gleichung $y = 0,5 x - 2$ mit $\mathbb{G}=\mathbb{R}$ $\times$ $\mathbb{R}$ .
Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.
1. Zeigen Sie durch Berechnung der Werte für $b$ und $c$ , dass die Parabel $p$ die Gleichung $y=0{,}5x^2-5x+7$ besitzt.
  Zeichnen Sie die Parabel $p$ und die Gerade $g$ für $x\in$ $[0; 10]$ in ein Koordinatensystem.
  Für die Zeichnung: Längeneinheit $1$ cm: $0\leqslant x\leqslant10;\;-6\leqslant y\leqslant8$
  
  Für den Aufgabenpunkt a) musst du wissen, wie man ein Gleichungssystem aufstellt und löst.
  Die Parabel $p$ hat eine Gleichung der Form $y = 0,5 x^{2} + b c + c y=0{,}5x²+bc+c$ und geht durch die beiden Punkte $P(-2\vert19)$ und $Q(4\vert-5)$ .
  Für die Berechnung der Werte für $b$ und $c$ setzt du die beiden Punkte $P$ und $Q$ nacheinander in die Funktionsgleichung ein, um ein Gleichungssystem zu erhalten.
  Setze zunächst den Punkt $Q(4\vert-5)$ in die Gleichung $y=0{,}5x^2+bc+c$ ein:
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcll}-5&=&0{,}5\cdot4^2+b\cdot4+c\\-5&=&8+4b+c&|-8\\-13&=&4b+c\end{array}$
  Setze nun den Punkt $P(-2\vert19)$ in die Gleichung ein:
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcll}19 &=&0{,}5\cdot(-2)^2+b\cdot(-2)+c\\19&=&2-2b+c& |-2\\17&=&-2b+c\end{array}$
  Du erhältst folgendes Gleichungssystem:
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rrcl}I:&-13&=&4b+c\\II:&17&=&-2b+c\end{array}$
  Löse das Gleichungssystem mithilfe des Additionsverfahrens.
  (Hinweis: Du kannst das Gleichungssystem auch mit jedem anderen Verfahren lösen, bei Parabelgleichungen ist jedoch das Additionsverfahren häufig das einfachste!)
  Subtrahiere $I I$ von $I$ :
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rrcl}I:&-13&=&4b+c\\-II:&17&=&-2b+c\\ \hline &-30&=& 6b\end{array}$
  Löse die entstandene Gleichung:
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcll}-30&=&6b&|:6\\-5&=&b\end{array}$
  Setze $b$ in $I$ ein:
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcll}-13&=&4\cdot(-5)+c\\-13&=&-20+c&|+20\\7&=&c\end{array}$
  Du erhältst die Funktionsgleichung, die in der Angabe steht:
  $y=0{,}5x^2-5x+7$
  Zeichne die beiden Funktionsgraphen, die Parabel mithilfe einer Wertetabelle, die Gerade mithilfe der Steigung und des y-Achsenabschnitts:
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2. Punkte $A_n(x\vert0{,}5x^2-5x+7)$ auf der Parabel $p$ und Punkte $C_n(x\vert0{,}5x-2)$ auf der Gerade $g$ besitzen dieselbe Abszisse $x$ . Diese Punkte bilden zusammen mit Punkten $B_{n}$ und $D_{n}$ Rauten $A_{n} B_{n} C_{n} D_{n}$ , wobei gilt:
  $\overline{B_nD_n}=2$ LE und $y_{C_n}$ $>$ $y_{A_n}$ .
  Zeichnen Sie die Rauten $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ für $x = 3$ und $A_{2} B_{2} C_{2} D_{2}$ für $x = 6$ in das Koordinatensystem zu Teilaufgabe a) ein.
  
  Um die Aufgabe bearbeiten zu können, brauchst du Wissen über die Eigenschaften einer Raute.
  Schau dir zunächst die Raute mit $x = 3$ an. Da alle Punkte $A_{n}$ auf der Parabel liegen, gehst du um $A_{1}$ zu finden beim $x$ -Wert $3$ nach unten bis zur Parabel. Gleiches machst du mit der Gerade: Gehe beim $x$ -Wert $3$ nach unten, bis du die Gerade triffst und markiere hier $C_{1}$ .
  Punkte A und C auf dem Graph eintragen
  Da Rauten achsensymmetrisch bezüglich ihrer Diagonalen sind, liegen die Punkte $B_{1}$ und $D_{1}$ auf der Mittelsenkrechten. Konstruiere also die Mittelsenkrechte.
  Mittelsenkrechte von AC
  Da die Strecke $\overline{B_1D_1}$ $2$ cm lang ist und $\overline{A_1C_1}$ Spiegelachse ist, liegt $B_{1}$ $1$ cm rechts von $M_{1}$ und $D_{1}$ $1$ cm links von $M_{1}$ (Beschriftung ist immer gegen den Uhrzeigersinn).
  Punkte B und D auf der Mittelsenkrechten
  Verbinde nun nur noch die vier Punkte, um die Raute zu erhalten:
  Die erste Raute
  Wiederhole die Schritte für $x = 6$ , um die zweite Raute zu erhalten. Dein Koordinatensystem sollte jetzt (eventuell mit Konstruktionslinien) so aussehen:
  zwei Rauten im Koordinatensystem
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3. Ermitteln Sie rechnerisch, für welche Werte von $x$ es Rauten $A_{n} B_{n} C_{n} D_{n}$ gibt. Geben Sie das Intervall für $x$ an.
  
  In Aufgabe b) ist angegeben, dass es nur Rauten gibt, wenn $y_{C_n}>y_{A_n}$ , also wenn die Punkte $C_{n}$ über $A_{n}$ liegen. Das ist der Fall, wenn die Gerade über der Parabel verläuft. Im Graphen kannst du vielleicht schon sehen, dass das für $x$ -Werte zwischen $2$ und $9$ der Fall ist. Rechnerisch nachweisen kannst du dies, indem du die Schnittpunkte berechnest.
  Setze die Funktionen gleich, um die Schnittpunkte zu berechnen und bringe alles auf eine Seite, damit du die quadratische Gleichung lösen kannst.
  $\displaystyle \def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcll}0{,}5x^2-5x+7&=&0{,}5x-2&|-0{,}5x ;+2\\0{,}5x^2-5{,}5x+9&=& 0\end{array}$
  Löse mithilfe der Lösungsformel für quadratische Gleichungen (Mitternachtsformel):
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rrrcl}0{,}5x^2&-5{,}5x&+9&=& 0\\ ax^2&+bx&+c&=&0\end{array}$
  Setze $a = 0,5$ , $b = - 5,5$ , $c = 9$ ein:
  $\def\arraystretch{2} \begin{array}{ll}x_{1/2}&=\dfrac{-(-5{,}5)\pm \sqrt{(-5{,}5)^2-4\cdot 0{,}5\cdot 9}}{2\cdot0{,}5}\\ &=\dfrac{5{,}5\pm \sqrt{12{,}25}}{1}\\&=5{,}5\pm3{,}5\\x_1&=2\\x_2&=9\end{array}$
  Die Schnittpunkte der Graphen sind bei $x_{1} = 2$ und $x_{2} = 9$ . Wie man im Koordinatensystem sieht, liegt die Gerade zwischen diesen Werten oberhalb der Parabel. Es gibt also Rauten, wenn $2 < x < 9$ .
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4. Zeigen Sie, dass für die Länge der Strecken $\lbrack A_nC_n\rbrack$ in Abhängigkeit von der Abszisse $x$ der Punkte $A_{n}$ gilt: $\overline{A_nC_n}(x)=(-0{,}5x^2+5{,}5x-9)$ LE.
  Berechnen Sie sodann das Maß $\varphi$ des Winkels $D_{2} C_{2} B_{2}$ und die Seitenlänge $\overline{A_2B_2}$ der Raute $A_{2} B_{2} C_{2} D_{2}$ .
  
  Die Länge der Strecke $\left[ \text{A}_{n}\text{C}_{n}\right]$ kannst du berechnen, indem du $y_{\text{A}_{n}}$ von $y_{\text{C}_{n}}$ abziehst.
  Du erhältst dann:
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{ll} \overline{\text{A}_{n}\text{C}_{n}}(x) &= [0{,}5x - 2 - (0{,}5x²-5x+7)]\,\text{LE} \\ &= (0{,}5x - 2 - 0{,}5x²+5x-7)\,\text{LE} \\ &=( -0{,}5x² +5{,}5x - 9)\,\text{LE} \end{array}$
  Um den Winkel $\varphi$ zu berechnen, verwenden wir den Tangens. (Alternativ kannst du auch zuerst die Seitenlänge $\overline{\text{A}_2\text{B}_2 }$ berechnen und dann den Sinus oder Kosinus verwenden.) Wenn du die Raute betrachtest, kannst du erkennen, dass der Winkel $\dfrac{\varphi}{2}$ in einem rechtwinkligen Dreieck liegt.
  Raute zwischen Gerade und Parabel.
  Die Gegenkathete ist dann $0{,}5 \cdot \overline{\text{B}_{2}\text{D}_{2}}$ und die Ankathete ist $0{,}5 \cdot \overline{\text{A}_{2}\text{C}_{2}}$ . Du weißt schon, dass $\overline{\text{B}_{2}\text{D}_{2}} = 2$ ist, den Wert von $\overline{\text{A}_{2}\text{C}_{2}}$ kannst du mit der Formel von oben ausrechnen:
  $\displaystyle \def\arraystretch{1.25} \begin{array}{cl}\overline{\text{A}_{2}\text{C}_{2}} = \overline{\text{A}_{n}\text{C}_{n}}(6) &= -0{,}5\cdot6^2 + 5{,}5\cdot6 - 9 \\ &=-18 +33 -9 \\&= 6 \end{array}$
  Eingesetzt in die Formel des Tangens erhältst du dann:
  $\def\arraystretch{2} \begin{array}{ll} \tan\left(\dfrac{\varphi}{2}\right) &= \dfrac{0{,}5 \cdot \overline{\text{B}_{2}\text{D}_{2}}}{0{,}5 \cdot\overline{\text{A}_{2}\text{C}_{2}}} \\ &= \dfrac{1}{0{,}5\cdot6} \\ &= \dfrac13\end{array}$
  Nun musst du auf dieses Ergebnis den Arkustangens anwenden, um den halben Winkel zu erhalten:
  $\;\Rightarrow\; \dfrac{\varphi}{2} = \arctan\left(\dfrac13\right) \;\Rightarrow\;\varphi=2\cdot\arctan\left(\dfrac13\right)= 36{,}87^\circ$
  Wenn du nun mit $2$ multiplizierst, erhältst du als Endergebnis $\varphi=36{,}87^\circ.$
  Um die Seitenlänge $\overline{\text{A}_{2}\text{B}_{2}}$ zu berechnen, kannst du den Satz des Pythagoras verwenden. Denn $\overline{\text{A}_{2}\text{B}_{2}}$ ist die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks mit den Katheten $0{,}5 \cdot \overline{\text{B}_{2}\text{D}_{2}}$ und $0{,}5 \cdot \overline{\text{A}_{2}\text{C}_{2}}$ .
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{lll} \overline{\text{A}_{2}\text{B}_{2}}² &= (0{,}5 \cdot \overline{\text{B}_{2}\text{D}_{2}} )² + (0{,}5 \cdot \overline{\text{A}_{2}\text{C}_{2}})² \\ \overline{\text{A}_{2}\text{B}_{2}}² &= 1² + 3² \\ \overline{\text{A}_{2}\text{B}_{2}}² &= 10 &| \sqrt{} \\ \overline{\text{A}_{2}\text{B}_{2}} &= \sqrt{10} \quad = 3{,}16 \end{array}$
  Die Seitenlänge $\overline{\text{A}_{2}\text{B}_{2}}$ hat also den Wert $3{,}16\,\text{LE}$ .
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5. Bestimmen Sie die Koordinaten der Punkte $B_{n}$ in Abhängigkeit von der Abszisse $x$ der Punkte $A_{n}$ .
  
  Die $x$ -Koordinate des Punkts $\text{B}_n$ liegt einen Schritt in $x$ -Richtung weiter rechts, als die Abszisse von $\text{A}_n$ (Weil die Strecke $\overline{\text{B}_{n}\text{D}_{n}}$ immer die Länge $2$ hat).
  Sie hat also den Wert $x + 1$ .
  Die $y$ -Koordinate von $\text{B}_n$ hat denselben Wert, wie die $y$ -Koordinate des Mittelpunkts $\text{M}_n$ der Strecke $\overline{\text{A}_{n}\text{C}_{n}}$ . Nun kannst du $y_{\text{M}_{n}}$ als den Mittelwert von $y_{\text{A}_n}$ und $y_{\text{C}_n}$ berechnen:
  $\def\arraystretch{2} \begin{array}{ll} y_{\text{M}_{n}} &= \dfrac{y_{\text{A}_{n}}+y_{\text{C}_{n}}}{2} = \dfrac{0{,}5x^2 -5x + 7 + 0{,}5x -2}{2} \\ &= 0{,}25x²-2{,}25x + 2{,}5 \end{array}$
  Und als Lösung ergibt sich $\text{B}_n\left(x +1 | 0{,}25x²-2{,}25x + 2{,}5\right)$ .
  Du kannst dir das in diesem Applet nochmals veranschaulichen.
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6. Begründen Sie rechnerisch, dass der Flächeninhalt $A$ der Rauten $A_{n} B_{n} C_{n} D_{n}$ stets kleiner als $7$ FE ist.
  
  Den Flächeninhalt $A$ der Raute $A_{n} B_{n} C_{n} D_{n}$ berechnest du mit der Formel
  $\displaystyle A = \dfrac12 \cdot \overline{\text{A}_{n}\text{C}_{n}}\cdot \overline{\text{B}_{n}\text{D}_{n}}.$
  Du weißt, dass $\overline{\text{B}_{n}\text{D}_{n}}$ immer gleich $2$ ist. Das heißt, dass $A = \overline{\text{A}_{n}\text{C}_{n}}$ nur von der Länge der Strecke $\overline{\text{A}_{n}\text{C}_{n}}$ abhängt. Nun möchtest du herausfinden, wie lang diese Strecke maximal werden kann, du erhältst also eine Extremwertaufgabe. Diese kannst du jetzt mithilfe der quadratischen Ergänzung lösen.
  $\displaystyle A = -0{,}5x² + 5{,}5x - 9$
  Zuerst klammerst du die $- 0,5$ aus.
  $\displaystyle A = -0{,}5\left(x² - 11x + 18 \right)$
  Nun ergänzt du den Term in der Klammer mit $5{,}5^2$ $(= 30,25)$ . (Auf die $5,5$ kommst du, wenn du dich an die binomische Formel erinnerst und erkennst, dass $2\cdot 5{,}5 = 11$ ist.)
  $A = -0{,}5\left(x² - 11x + 30{,}25 - 30{,}25+ 18\right) = -0{,}5\left(\underbrace{x² - 11x + 30{,}25}_{\text{Binomische Formel}} - 12{,}25\right)$
  Hier wendest du dein Wissen über die 2. binomische Formel an.
  $\displaystyle A = -0{,}5 \left(\left(x-5{,}5\right)² - 12{,}25 \right)$
  Das multiplizierst du wieder aus und du erhältst die Scheitelform der Gleichung.
  $\displaystyle A = -0{,}5 \left(x-5{,}5\right)² + 6{,}125$
  Daraus kannst du den Maximalwert ablesen. Er beträgt $6,125$ bzw. gerundet $6,13.$ Der Flächeninhalt der Raute ist also maximal $6,13$ Flächeneinheiten groß und damit stets kleiner als $7 \,\text{FE}$ .
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Bayerisches Staatsministerium für Unterricht und Kultus (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Die Skizze unten zeigt ein Schrägbild des geraden Prismas $A B C D E F G H$ , dessen Grundfläche die Raute $A B C D$ mit dem Diagonalenschnittpunkt $M$ ist. Die Strecken $[E G]$ und $[F H]$ schneiden sich im Punkt $N$ .
Es gilt: $\overline{AC}=10 \ \text{cm};\;\overline{BD}=6\ \text{cm};\;\overline{AE}=10\ \text{cm}.$
Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach demKomma.
1. Zeichnen Sie das Schrägbild des Prismas $A B C D E F G H$ , wobei die Strecke $[A C]$ auf der Schrägbildachse und der Punkt $A$ links vom Punkt $C$ liegen soll.
  Für die Zeichnung gilt: $q=\frac12;\;\omega=45^\circ.$
  Berechnen Sie sodann die Länge der Strecke $[M E]$ und das Maß $\varphi$ des Winkels $M E N$ .
  $[$ Ergebnisse: $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}\overline{ME}=11{,}18\ \text{cm};\;\varphi=63{,}43^\circ\end{array}$ $]$
  
  $\overline{AC}=10\ \text{cm};\;\;\overline{BD}=6\ \text{cm};\:\overline{AE}=10\ \text{cm}$
  Das Dreieck $M E N$ ist ein rechtwinkliges Dreieck. Der Winkel $\angle MEN=90^\circ$ .
  Weiter gilt:
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}\overline{MN}=\overline{AE}=10\ \text{cm}.\\\overline{EN}=\frac12\overline{EG}=\frac12\overline{AC}=5\ \text{cm}\end{array}$
  Zur Berechnung der Strecke $\overline{ME}$ benötigst du den Satz des Pythagoras.
  $\overline{ME}=\sqrt{{(\overline{MN})}^2+(\overline{EN)}^2}=\sqrt{(10^2+5^2)\ \text{cm}^2}=\sqrt{125\ \text{cm}^2}=11{,}18\ \text{cm}$
  Für die Berechnung des Maßes $\varphi\;$ des Winkels $\angle MEN$ benötigst du Kenntnisse über die Winkel im rechtwinkligen Dreieck.
  $\tan\left(\varphi\right)=\dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}$ $=\dfrac{\overline{MN}}{\overline{EN}}=\dfrac{10\ \text{cm}}{5\ \text{cm}}=2$
  $\varphi=\tan^{-1}(2)=63{,}43^\circ$
  $\overline{ME}=11{,}18\ \text{cm}$ und $\varphi=63{,}43^\circ$
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2. Punkte $S_{n}$ liegen auf der Strecke $[M E]$ mit $\overline{ES}_n(x)=x\ \text{cm},\;x\in\lbrack0;11{,}18\lbrack\;\text{und}\;x\in\mathbb{R}.$
  Zeichnen Sie das Dreieck $S_{1} G E$ für $x = 3$ in das Schrägbild zu Teilaufgabe a) ein. Berechnen Sie sodann den Flächeninhalt des Dreiecks $S_{1} G E$ und die Länge der Strecke $\lbrack S_1G\rbrack$ .
  
  Für die Berechnung des Flächeninhalts des Dreiecks $S_{1} G E$ benötigst du Kenntnisse, wie man den Flächeninhalt eines Dreiecks berechnet.
  $\def\arraystretch{2} \begin{array}{l}A_{S_1GE}=\dfrac12\cdot\overline{ES_1}\cdot\overline{EG}\cdot\sin\left(\varphi\right)\\\overline{ES_n}(x)=x\ \text{cm};\;\;\overline{ES_1}(3)=3\ \text{cm}\\A_{S_1GE}=\frac12\cdot3\ \text{cm}\cdot10\ \text{cm}\cdot\sin\left(63{,}43^\circ\right)= 15\ \text{cm}^2\cdot\sin\left(63{,}43^\circ\right)=13{,}42\ \text{cm}^2\end{array}$
  Zur Berechnung der Länge von $\overline{S_1G}$ benötigst du den Kosinussatz im allgemeinen Dreieck.
  $\overline{S_1G}=\sqrt{(\overline{ES_1)^2}+(\overline{EG)^2}-2\cdot\overline{ES_1}\cdot\overline{EG}\cdot\cos\left(\varphi\right)}$
  $\overline{S_1G}=\sqrt{3^2+10^2-2\cdot3\cdot10\cdot\cos\left(63{,}43^\circ\right)}\ \text{cm}$
  $\overline{S_1G}=\sqrt{109-60\cdot\cos\left(63{,}43^\circ\right)}\ \text{cm}=9{,}06\ \text{cm}$
  Die Fläche des Dreiecks $A_{S_1GE}=13{,}42\ \text{cm}^2$ .
  Die Länge von $\overline{S_1G}=9{,}06\ \text{cm}$ .
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3. Die Punkte $S_{n}$ sind Spitzen von Pyramiden $A B C D S_{n}$ mit der Grundfläche $A B C D$ und den Höhen $[Q_{n} S_{n}]$ . Dabei liegen die Punkte $Q_{n}$ auf der Strecke [ $A M$ ].
  Zeichnen Sie die Pyramide $A B C D S_{2}$ sowie ihre Höhe [ $Q_{2} S_{2}$ ] in das Schrägbild zu Teilaufgabe a) ein. Dabei gilt: $\sphericalangle MAS_2=54^\circ$ .
  Zeigen Sie, dass für das Volumen $V$ der Pyramiden $A B C D S_{n}$ in Abhängigkeit von $x$ gilt: $V(x)=(100-8{,}9x)\ \text{cm}^3$
  $[$ Teilergebnis: $\overline{Q_nS_n}(x)=(10-0{,}89x)\ \text{cm}$ $]$
  
  Für diese Aufgabe musst du wissen, wie man die Fläche einer Raute und das Volumen einer Pyramide berechnet.
  $G=\dfrac12\cdot\overline{AC}\cdot\overline{BD}$
  $V=\dfrac13\cdot G\cdot\overline{Q_nS_n}$
  $V=\dfrac13\cdot\dfrac12\cdot\overline{AC}\cdot\overline{BD}\cdot\overline{Q_nS_n}$
  Zur Berechnung von $\overline{Q_nS_n}$ benötigst du den Strahlensatz.
  $\def\arraystretch{2} \begin{array}{l}\dfrac{\overline{Q_nS_n}(x)}{\overline{AE}}=\dfrac{\overline{ME}-x}{\overline{ME}}\\\\\dfrac{\overline{Q_nS_n}(x)}{10\;\text{cm}}=\dfrac{(11{,}18-x)\ \text{cm}}{11{,}18\ \text{cm}}\\\\\overline{Q_nS_n}(x)=(10-0{,}89x)\ \text{cm}\end{array}$
  $V(x)=\frac13\cdot\frac12\cdot10\cdot6\cdot(10-0{,}89x)\ \text{cm}^3$
  $V(x)=(100-8{,}9x)\ \text{cm}^3$
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4. Berechnen Sie das Volumen der Pyramide $A B C D S_{2}$ .
  
  Bekannt ist bereits:
  $V(x)=(100-8{,}9x)\ \text{cm}^3$
  Berechne $x$ .
  Für die Lösung benötigst du den Sinussatz im allgemeinen Dreieck.
  $\dfrac{\overline{ES_2}}{\sin\left(\angle S_2AE\right)}=\dfrac{\overline{AE}}{\sin\left(\angle ES_2A\right)}$
  $\overline{ES_n(x)}=x \ \text{cm}$
  $\dfrac{x\ \text{cm}}{\sin\left(\angle S_2AE\right)}=\dfrac{10\ \text{cm}}{\sin\left(\angle ES_2A\right)}$
  $\angle MAS_2=54^\circ$
  $\angle S_2AE=90^\circ-54^\circ=36^\circ$
  $\angle ES_2A=180^\circ-\angle S_2AE-(90^\circ-\angle MEN)$
  $\angle ES_2A=180^\circ-36^\circ-(90^\circ-63{,}43^\circ)=117{,}43°$
  $\dfrac{x\ \text{cm}}{\sin\left(36^\circ\right)}=\dfrac{10\ \text{cm}}{\sin\left(117{,}43^\circ\right)}\\\\x=6{,}62$
  $V_{ABCDS_2}=(100-8{,}9\cdot6{,}62)\ \text{cm}^3=41{,}08\ \text{cm}^3$
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5. Begründen Sie, dass es keine Pyramide $A B C D S_{n}$ gibt, deren Volumen halb so groß wie das Volumen des Prismas $A B C D E F G H$ ist.
  
  Für die Lösung musst du wissen, wie man das Volumen eines Prisma berechnet.
  $\displaystyle V_{Prisma}=\frac12\cdot\overline{AC}\cdot\overline{BD}\cdot h$
  $\displaystyle V_{Prisma}=(0{,}5\cdot10\cdot6\cdot10)\ \text{cm}^3=300\ \text{cm}^3$
  $\dfrac12\cdot V_{Prisma}=150\ \text{cm}^3$
  $V(x)=(100-8{,}9x)\ \text{cm}^3\leq100\ \text{cm}^3,\;\;x\;\in \;\lbrack0;11{,}18\lbrack$
  Es gibt keine Pyramide $A B C D S_{n}$ ⁣, für die das Volumen halb so groß ist wie das Volumen des Prismas $A B C D E F G$ .
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