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Teil B

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Die Aufgabenstellung findest du hier zum Ausdrucken als PDF.

  1. 1

    Die Parabel pp verläuft durch die Punkte P(219)P(-2\vert19) und Q(45)Q(4\vert-5). Sie hat eine Gleichung der Form y=0,5x2+bx+cy=0{,}5x^2+bx+c mit G=R\mathbb{G}=\mathbb{R} ×\times R\mathbb{R} und b,cRb,c\in\mathbb{R}.

    Die Gerade g besitzt die Gleichung y=0,5x2y=0{,}5x-2 mit G=R\mathbb{G}=\mathbb{R} ×\times R\mathbb{R}.

    Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

    1. Zeigen Sie durch Berechnung der Werte für bb und cc, dass die Parabel pp die Gleichung y=0,5x25x+7y=0{,}5x^2-5x+7 besitzt.

      Zeichnen Sie die Parabel pp und die Gerade gg für xx\in [0;10][0;10] in ein Koordinatensystem.

      Für die Zeichnung: Längeneinheit 11 cm: 0x10;  6y80\leqslant x\leqslant10;\;-6\leqslant y\leqslant8

    2. Punkte An(x0,5x25x+7)A_n(x\vert0{,}5x^2-5x+7)auf der Parabel pp und Punkte Cn(x0,5x2)C_n(x\vert0{,}5x-2) auf der Gerade gg besitzen dieselbe Abszisse xx. Diese Punkte bilden zusammen mit Punkten BnB_nund DnD_n Rauten AnBnCnDnA_nB_nC_nD_n, wobei gilt:

      BnDn=2\overline{B_nD_n}=2 LE und yCny_{C_n} >> yAny_{A_n}.

      Zeichnen Sie die Rauten A1B1C1D1A_1B_1C_1D_1 für x=3x=3 und A2B2C2D2A_2B_2C_2D_2 für x=6x=6 in das Koordinatensystem zu Teilaufgabe a) ein.

    3. Ermitteln Sie rechnerisch, für welche Werte von xx es Rauten AnBnCnDnA_nB_nC_nD_n gibt. Geben Sie das Intervall für xx an.

    4. Zeigen Sie, dass für die Länge der Strecken [AnCn]\lbrack A_nC_n\rbrack in Abhängigkeit von der Abszisse xx der Punkte AnA_n gilt: AnCn(x)=(0,5x2+5,5x9)\overline{A_nC_n}(x)=(-0{,}5x^2+5{,}5x-9) LE.

      Berechnen Sie sodann das Maß φ\varphi des Winkels D2C2B2D_2C_2B_2 und die Seitenlänge A2B2\overline{A_2B_2} der Raute A2B2C2D2A_2B_2C_2D_2.

    5. Bestimmen Sie die Koordinaten der Punkte BnB_n in Abhängigkeit von der Abszisse xx der Punkte AnA_n.

    6. Begründen Sie rechnerisch, dass der Flächeninhalt AA der Rauten AnBnCnDnA_nB_nC_nD_n stets kleiner als 77 FE ist.

  2. 2

    Die Skizze unten zeigt ein Schrägbild des geraden Prismas ABCDEFGHABCDEFGH, dessen Grundfläche die Raute ABCDABCD mit dem Diagonalenschnittpunkt MM ist. Die Strecken [EG][EG] und [FH][FH] schneiden sich im Punkt NN.

    Es gilt: AC=10 cm;  BD=6 cm;  AE=10 cm.\overline{AC}=10 \ \text{cm};\;\overline{BD}=6\ \text{cm};\;\overline{AE}=10\ \text{cm}.

    Bild

    Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach demKomma.

    1. Zeichnen Sie das Schrägbild des Prismas ABCDEFGHABCDEFGH, wobei die Strecke [AC][AC] auf der Schrägbildachse und der Punkt AA links vom Punkt CC liegen soll.

      Für die Zeichnung gilt: q=12;  ω=45.q=\frac12;\;\omega=45^\circ.

      Berechnen Sie sodann die Länge der Strecke [ME][ME] und das Maß φ\varphi des Winkels MENMEN.

      [[Ergebnisse: ME=11,18 cm;  φ=63,43\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}\overline{ME}=11{,}18\ \text{cm};\;\varphi=63{,}43^\circ\end{array}]]

    2. Punkte SnS_n liegen auf der Strecke [ME][ME] mit ESn(x)=x cm,  x[0;11,18[  und  xR.\overline{ES}_n(x)=x\ \text{cm},\;x\in\lbrack0;11{,}18\lbrack\;\text{und}\;x\in\mathbb{R}.

      Zeichnen Sie das Dreieck S1GES_1GE für x=3x=3 in das Schrägbild zu Teilaufgabe a) ein. Berechnen Sie sodann den Flächeninhalt des Dreiecks S1GES_1GE und die Länge der Strecke [S1G]\lbrack S_1G\rbrack.

    3. Die Punkte SnS_n sind Spitzen von Pyramiden ABCDSnABCDS_n mit der Grundfläche ABCDABCD und den Höhen [QnSn][Q_nS_n]. Dabei liegen die Punkte QnQ_n auf der Strecke [AMAM].

      Zeichnen Sie die Pyramide ABCDS2ABCDS_2 sowie ihre Höhe [Q2S2Q_2S_2] in das Schrägbild zu Teilaufgabe a) ein. Dabei gilt: MAS2=54\sphericalangle MAS_2=54^\circ.

      Zeigen Sie, dass für das Volumen VV der Pyramiden ABCDSnABCDS_n in Abhängigkeit von xx gilt: V(x)=(1008,9x) cm3V(x)=(100-8{,}9x)\ \text{cm}^3

      [[Teilergebnis: QnSn(x)=(100,89x) cm\overline{Q_nS_n}(x)=(10-0{,}89x)\ \text{cm}]]

    4. Berechnen Sie das Volumen der Pyramide ABCDS2ABCDS_2 .

    5. Begründen Sie, dass es keine Pyramide ABCDSnABCDS_n gibt, deren Volumen halb so groß wie das Volumen des Prismas ABCDEFGHABCDEFGH ist.


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