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Die Aufgabenstellung findest du hier zum Ausdrucken als PDF.

  1. 1

    Die Parabel p verläuft durch die Punkte P(2|19) und Q(4|5). Sie hat eine Gleichung der Form y=0,5x2+bx+c mit 𝔾= × und b,c.

    Die Gerade g besitzt die Gleichung y=0,5x2 mit 𝔾= × .

    Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

    1. Zeigen Sie durch Berechnung der Werte für b und c, dass die Parabel p die Gleichung y=0,5x25x+7 besitzt.

      Zeichnen Sie die Parabel p und die Gerade g für x [0;10] in ein Koordinatensystem.

      Für die Zeichnung: Längeneinheit 1 cm: 0x10;6y8

    2. Punkte An(x|0,5x25x+7)auf der Parabel p und Punkte Cn(x|0,5x2) auf der Gerade g besitzen dieselbe Abszisse x. Diese Punkte bilden zusammen mit Punkten Bnund Dn Rauten AnBnCnDn, wobei gilt:

      BnDn=2 LE und yCn > yAn.

      Zeichnen Sie die Rauten A1B1C1D1 für x=3 und A2B2C2D2 für x=6 in das Koordinatensystem zu Teilaufgabe a) ein.

    3. Ermitteln Sie rechnerisch, für welche Werte von x es Rauten AnBnCnDn gibt. Geben Sie das Intervall für x an.

    4. Zeigen Sie, dass für die Länge der Strecken [AnCn] in Abhängigkeit von der Abszisse x der Punkte An gilt: AnCn(x)=(0,5x2+5,5x9) LE.

      Berechnen Sie sodann das Maß φ des Winkels D2C2B2 und die Seitenlänge A2B2 der Raute A2B2C2D2.

    5. Bestimmen Sie die Koordinaten der Punkte Bn in Abhängigkeit von der Abszisse x der Punkte An.

    6. Begründen Sie rechnerisch, dass der Flächeninhalt A der Rauten AnBnCnDn stets kleiner als 7 FE ist.

  2. 2

    Die Skizze unten zeigt ein Schrägbild des geraden Prismas ABCDEFGH, dessen Grundfläche die Raute ABCD mit dem Diagonalenschnittpunkt M ist. Die Strecken [EG] und [FH] schneiden sich im Punkt N.

    Es gilt: AC=10 cm;BD=6 cm;AE=10 cm.

    Bild

    Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach demKomma.

    1. Zeichnen Sie das Schrägbild des Prismas ABCDEFGH, wobei die Strecke [AC] auf der Schrägbildachse und der Punkt A links vom Punkt C liegen soll.

      Für die Zeichnung gilt: q=12;ω=45.

      Berechnen Sie sodann die Länge der Strecke [ME] und das Maß φ des Winkels MEN.

      [Ergebnisse: ME=11,18 cm;φ=63,43]

    2. Punkte Sn liegen auf der Strecke [ME] mit ESn(x)=x cm,x[0;11,18[undx.

      Zeichnen Sie das Dreieck S1GE für x=3 in das Schrägbild zu Teilaufgabe a) ein. Berechnen Sie sodann den Flächeninhalt des Dreiecks S1GE und die Länge der Strecke [S1G].

    3. Die Punkte Sn sind Spitzen von Pyramiden ABCDSn mit der Grundfläche ABCD und den Höhen [QnSn]. Dabei liegen die Punkte Qn auf der Strecke [AM].

      Zeichnen Sie die Pyramide ABCDS2 sowie ihre Höhe [Q2S2] in das Schrägbild zu Teilaufgabe a) ein. Dabei gilt: MAS2=54.

      Zeigen Sie, dass für das Volumen V der Pyramiden ABCDSn in Abhängigkeit von x gilt: V(x)=(1008,9x) cm3

      [Teilergebnis: QnSn(x)=(100,89x) cm]

    4. Berechnen Sie das Volumen der Pyramide ABCDS2 .

    5. Begründen Sie, dass es keine Pyramide ABCDSn gibt, deren Volumen halb so groß wie das Volumen des Prismas ABCDEFGH ist.


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