Teil B

Für den Aufgabenpunkt a) musst du wissen, wie man ein Gleichungssystem aufstellt und löst.

Die Parabel $p$ hat eine Gleichung der Form $y=0{,}5x²+bc+c$ und geht durch die beiden Punkte $P(-2\vert19)$ und $Q(4\vert-5)$.

Für die Berechnung der Werte für $b$ und $c$ setzt du die beiden Punkte $P$ und $Q$ nacheinander in die Funktionsgleichung ein, um ein Gleichungssystem zu erhalten.

Setze zunächst den Punkt $Q(4\vert-5)$ in die Gleichung $y=0{,}5x^2+bc+c$ ein:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcll}-5&=&0{,}5\cdot4^2+b\cdot4+c\\-5&=&8+4b+c&|-8\\-13&=&4b+c\end{array}$

Setze nun den Punkt $P(-2\vert19)$ in die Gleichung ein:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcll}19 &=&0{,}5\cdot(-2)^2+b\cdot(-2)+c\\19&=&2-2b+c& |-2\\17&=&-2b+c\end{array}$

Du erhältst folgendes Gleichungssystem:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rrcl}I:&-13&=&4b+c\\II:&17&=&-2b+c\end{array}$

Löse das Gleichungssystem mithilfe des Additionsverfahrens.

(Hinweis: Du kannst das Gleichungssystem auch mit jedem anderen Verfahren lösen, bei Parabelgleichungen ist jedoch das Additionsverfahren häufig das einfachste!)

Subtrahiere $II$ von $I$:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rrcl}I:&-13&=&4b+c\\-II:&17&=&-2b+c\\ \hline &-30&=& 6b\end{array}$

Löse die entstandene Gleichung:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcll}-30&=&6b&|:6\\-5&=&b\end{array}$

Setze $b$ in $I$ ein:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcll}-13&=&4\cdot(-5)+c\\-13&=&-20+c&|+20\\7&=&c\end{array}$

Du erhältst die Funktionsgleichung, die in der Angabe steht:

$y=0{,}5x^2-5x+7$

Zeichne die beiden Funktionsgraphen, die Parabel mithilfe einer Wertetabelle, die Gerade mithilfe der Steigung und des y-Achsenabschnitts:

Um die Aufgabe bearbeiten zu können, brauchst du Wissen über die Eigenschaften einer Raute.

Schau dir zunächst die Raute mit $x=\ 3$ an. Da alle Punkte $A_n$ auf der Parabel liegen, gehst du um $A_1$ zu finden beim $x$-Wert $3$ nach unten bis zur Parabel. Gleiches machst du mit der Gerade: Gehe beim $x$-Wert $3$ nach unten, bis du die Gerade triffst und markiere hier $C_1$.

Da Rauten achsensymmetrisch bezüglich ihrer Diagonalen sind, liegen die Punkte $B_1$ und $D_1$ auf der Mittelsenkrechten. Konstruiere also die Mittelsenkrechte.

Da die Strecke $\overline{B_1D_1}$ $2$ cm lang ist und $\overline{A_1C_1}$ Spiegelachse ist, liegt $B_1$ $1$ cm rechts von $M_1$ und $D_1$ $1$ cm links von $M_1$ (Beschriftung ist immer gegen den Uhrzeigersinn).

Verbinde nun nur noch die vier Punkte, um die Raute zu erhalten:

Wiederhole die Schritte für $x=6$, um die zweite Raute zu erhalten. Dein Koordinatensystem sollte jetzt (eventuell mit Konstruktionslinien) so aussehen:

In Aufgabe b) ist angegeben, dass es nur Rauten gibt, wenn $y_{C_n}>y_{A_n}$, also wenn die Punkte $C_n$ über $A_n$ liegen. Das ist der Fall, wenn die Gerade über der Parabel verläuft. Im Graphen kannst du vielleicht schon sehen, dass das für $x$-Werte zwischen $2$ und $9$ der Fall ist. Rechnerisch nachweisen kannst du dies, indem du die Schnittpunkte berechnest.

Setze die Funktionen gleich, um die Schnittpunkte zu berechnen und bringe alles auf eine Seite, damit du die quadratische Gleichung lösen kannst.

Löse mithilfe der Lösungsformel für quadratische Gleichungen (Mitternachtsformel):

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rrrcl}0{,}5x^2&-5{,}5x&+9&=& 0\\ ax^2&+bx&+c&=&0\end{array}$

Setze $a=0{,}5$, $b=-5{,}5$, $c=9$ ein:

$\def\arraystretch{2} \begin{array}{ll}x_{1/2}&=\dfrac{-(-5{,}5)\pm \sqrt{(-5{,}5)^2-4\cdot 0{,}5\cdot 9}}{2\cdot0{,}5}\\ &=\dfrac{5{,}5\pm \sqrt{12{,}25}}{1}\\&=5{,}5\pm3{,}5\\x_1&=2\\x_2&=9\end{array}$

Die Schnittpunkte der Graphen sind bei $x_1=2$ und $x_2=9$. Wie man im Koordinatensystem sieht, liegt die Gerade zwischen diesen Werten oberhalb der Parabel. Es gibt also Rauten, wenn $2<x<9$.

Die Länge der Strecke $\left[ \text{A}_{n}\text{C}_{n}\right]$ kannst du berechnen, indem du $y_{\text{A}_{n}}$von $y_{\text{C}_{n}}$ abziehst.

Du erhältst dann:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{ll} \overline{\text{A}_{n}\text{C}_{n}}(x) &= [0{,}5x - 2 - (0{,}5x²-5x+7)]\,\text{LE} \\ &= (0{,}5x - 2 - 0{,}5x²+5x-7)\,\text{LE} \\ &=( -0{,}5x² +5{,}5x - 9)\,\text{LE} \end{array}$

Um den Winkel $\varphi$ zu berechnen, verwenden wir den Tangens. (Alternativ kannst du auch zuerst die Seitenlänge $\overline{\text{A}_2\text{B}_2 }$ berechnen und dann den Sinus oder Kosinus verwenden.) Wenn du die Raute betrachtest, kannst du erkennen, dass der Winkel $\dfrac{\varphi}{2}$ in einem rechtwinkligen Dreieck liegt.

Die Gegenkathete ist dann $0{,}5 \cdot \overline{\text{B}_{2}\text{D}_{2}}$ und die Ankathete ist $0{,}5 \cdot \overline{\text{A}_{2}\text{C}_{2}}$. Du weißt schon, dass $\overline{\text{B}_{2}\text{D}_{2}} = 2$ ist, den Wert von $\overline{\text{A}_{2}\text{C}_{2}}$ kannst du mit der Formel von oben ausrechnen:

Eingesetzt in die Formel des Tangens erhältst du dann:

$\def\arraystretch{2} \begin{array}{ll} \tan\left(\dfrac{\varphi}{2}\right) &= \dfrac{0{,}5 \cdot \overline{\text{B}_{2}\text{D}_{2}}}{0{,}5 \cdot\overline{\text{A}_{2}\text{C}_{2}}} \\ &= \dfrac{1}{0{,}5\cdot6} \\ &= \dfrac13\end{array}$

Nun musst du auf dieses Ergebnis den Arkustangens anwenden, um den halben Winkel zu erhalten:

$\;\Rightarrow\; \dfrac{\varphi}{2} = \arctan\left(\dfrac13\right) \;\Rightarrow\;\varphi=2\cdot\arctan\left(\dfrac13\right)= 36{,}87^\circ$

Wenn du nun mit $2$ multiplizierst, erhältst du als Endergebnis $\varphi=36{,}87^\circ.$

Um die Seitenlänge $\overline{\text{A}_{2}\text{B}_{2}}$ zu berechnen, kannst du den Satz des Pythagoras verwenden. Denn $\overline{\text{A}_{2}\text{B}_{2}}$ ist die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks mit den Katheten $0{,}5 \cdot \overline{\text{B}_{2}\text{D}_{2}}$ und $0{,}5 \cdot \overline{\text{A}_{2}\text{C}_{2}}$.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{lll} \overline{\text{A}_{2}\text{B}_{2}}² &= (0{,}5 \cdot \overline{\text{B}_{2}\text{D}_{2}} )² + (0{,}5 \cdot \overline{\text{A}_{2}\text{C}_{2}})² \\ \overline{\text{A}_{2}\text{B}_{2}}² &= 1² + 3² \\ \overline{\text{A}_{2}\text{B}_{2}}² &= 10 &| \sqrt{} \\ \overline{\text{A}_{2}\text{B}_{2}} &= \sqrt{10} \quad = 3{,}16 \end{array}$

Die Seitenlänge $\overline{\text{A}_{2}\text{B}_{2}}$ hat also den Wert $3{,}16\,\text{LE}$.

Die $x$-Koordinate des Punkts $\text{B}_n$ liegt einen Schritt in $x$-Richtung weiter rechts, als die Abszisse von $\text{A}_n$ (Weil die Strecke $\overline{\text{B}_{n}\text{D}_{n}}$ immer die Länge $2$ hat).

Sie hat also den Wert $x + 1$.

Die $y$-Koordinate von $\text{B}_n$ hat denselben Wert, wie die $y$-Koordinate des Mittelpunkts $\text{M}_n$ der Strecke $\overline{\text{A}_{n}\text{C}_{n}}$. Nun kannst du $y_{\text{M}_{n}}$ als den Mittelwert von $y_{\text{A}_n}$ und $y_{\text{C}_n}$berechnen:

$\def\arraystretch{2} \begin{array}{ll} y_{\text{M}_{n}} &= \dfrac{y_{\text{A}_{n}}+y_{\text{C}_{n}}}{2} = \dfrac{0{,}5x^2 -5x + 7 + 0{,}5x -2}{2} \\ &= 0{,}25x²-2{,}25x + 2{,}5 \end{array}$

Und als Lösung ergibt sich $\text{B}_n\left(x +1 | 0{,}25x²-2{,}25x + 2{,}5\right)$.

Du kannst dir das in diesem Applet nochmals veranschaulichen.

Den Flächeninhalt $A$ der Raute $A_nB_nC_nD_n$ berechnest du mit der Formel

Du weißt, dass $\overline{\text{B}_{n}\text{D}_{n}}$ immer gleich $2$ ist. Das heißt, dass $A = \overline{\text{A}_{n}\text{C}_{n}}$ nur von der Länge der Strecke $\overline{\text{A}_{n}\text{C}_{n}}$ abhängt. Nun möchtest du herausfinden, wie lang diese Strecke maximal werden kann, du erhältst also eine Extremwertaufgabe. Diese kannst du jetzt mithilfe der quadratischen Ergänzung lösen.

Zuerst klammerst du die $-0{,}5$ aus.

Nun ergänzt du den Term in der Klammer mit $5{,}5^2$ $(=30{,}25)$. (Auf die $5{,}5$ kommst du, wenn du dich an die binomische Formel erinnerst und erkennst, dass $2\cdot 5{,}5 = 11$ ist.)

$A = -0{,}5\left(x² - 11x + 30{,}25 - 30{,}25+ 18\right) = -0{,}5\left(\underbrace{x² - 11x + 30{,}25}_{\text{Binomische Formel}} - 12{,}25\right)$

Hier wendest du dein Wissen über die 2. binomische Formel an.

Das multiplizierst du wieder aus und du erhältst die Scheitelform der Gleichung.

Daraus kannst du den Maximalwert ablesen. Er beträgt $6{,}125$ bzw. gerundet $6{,}13.$ Der Flächeninhalt der Raute ist also maximal $6{,}13$ Flächeneinheiten groß und damit stets kleiner als $7 \,\text{FE}$.

$\overline{AC}=10\ \text{cm};\;\;\overline{BD}=6\ \text{cm};\:\overline{AE}=10\ \text{cm}$

Das Dreieck $MEN$ ist ein rechtwinkliges Dreieck. Der Winkel $\angle MEN=90^\circ$.

Weiter gilt:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}\overline{MN}=\overline{AE}=10\ \text{cm}.\\\overline{EN}=\frac12\overline{EG}=\frac12\overline{AC}=5\ \text{cm}\end{array}$

Zur Berechnung der Strecke $\overline{ME}$ benötigst du den Satz des Pythagoras.

$\overline{ME}=\sqrt{{(\overline{MN})}^2+(\overline{EN)}^2}=\sqrt{(10^2+5^2)\ \text{cm}^2}=\sqrt{125\ \text{cm}^2}=11{,}18\ \text{cm}$

Für die Berechnung des Maßes $\varphi\;$ des Winkels $\angle MEN$ benötigst du Kenntnisse über die Winkel im rechtwinkligen Dreieck.

$\tan\left(\varphi\right)=\dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}$ $=\dfrac{\overline{MN}}{\overline{EN}}=\dfrac{10\ \text{cm}}{5\ \text{cm}}=2$

$\varphi=\tan^{-1}(2)=63{,}43^\circ$

$\overline{ME}=11{,}18\ \text{cm}$ und $\varphi=63{,}43^\circ$

Für die Berechnung des Flächeninhalts des Dreiecks $S_1GE$ benötigst du Kenntnisse, wie man den Flächeninhalt eines Dreiecks berechnet.

$\def\arraystretch{2} \begin{array}{l}A_{S_1GE}=\dfrac12\cdot\overline{ES_1}\cdot\overline{EG}\cdot\sin\left(\varphi\right)\\\overline{ES_n}(x)=x\ \text{cm};\;\;\overline{ES_1}(3)=3\ \text{cm}\\A_{S_1GE}=\frac12\cdot3\ \text{cm}\cdot10\ \text{cm}\cdot\sin\left(63{,}43^\circ\right)= 15\ \text{cm}^2\cdot\sin\left(63{,}43^\circ\right)=13{,}42\ \text{cm}^2\end{array}$

Zur Berechnung der Länge von $\overline{S_1G}$ benötigst du den Kosinussatz im allgemeinen Dreieck.

$\overline{S_1G}=\sqrt{(\overline{ES_1)^2}+(\overline{EG)^2}-2\cdot\overline{ES_1}\cdot\overline{EG}\cdot\cos\left(\varphi\right)}$

$\overline{S_1G}=\sqrt{3^2+10^2-2\cdot3\cdot10\cdot\cos\left(63{,}43^\circ\right)}\ \text{cm}$

$\overline{S_1G}=\sqrt{109-60\cdot\cos\left(63{,}43^\circ\right)}\ \text{cm}=9{,}06\ \text{cm}$

Die Fläche des Dreiecks $A_{S_1GE}=13{,}42\ \text{cm}^2$.

Die Länge von $\overline{S_1G}=9{,}06\ \text{cm}$.

Für diese Aufgabe musst du wissen, wie man die Fläche einer Raute und das Volumen einer Pyramide berechnet.

$G=\dfrac12\cdot\overline{AC}\cdot\overline{BD}$

$V=\dfrac13\cdot G\cdot\overline{Q_nS_n}$

$V=\dfrac13\cdot\dfrac12\cdot\overline{AC}\cdot\overline{BD}\cdot\overline{Q_nS_n}$

Zur Berechnung von $\overline{Q_nS_n}$ benötigst du den Strahlensatz.

$\def\arraystretch{2} \begin{array}{l}\dfrac{\overline{Q_nS_n}(x)}{\overline{AE}}=\dfrac{\overline{ME}-x}{\overline{ME}}\\\\\dfrac{\overline{Q_nS_n}(x)}{10\;\text{cm}}=\dfrac{(11{,}18-x)\ \text{cm}}{11{,}18\ \text{cm}}\\\\\overline{Q_nS_n}(x)=(10-0{,}89x)\ \text{cm}\end{array}$

$V(x)=\frac13\cdot\frac12\cdot10\cdot6\cdot(10-0{,}89x)\ \text{cm}^3$

$V(x)=(100-8{,}9x)\ \text{cm}^3$

Bekannt ist bereits:

$V(x)=(100-8{,}9x)\ \text{cm}^3$

Berechne $x$.

Für die Lösung benötigst du den Sinussatz im allgemeinen Dreieck.

$\dfrac{\overline{ES_2}}{\sin\left(\angle S_2AE\right)}=\dfrac{\overline{AE}}{\sin\left(\angle ES_2A\right)}$

$\overline{ES_n(x)}=x \ \text{cm}$

$\dfrac{x\ \text{cm}}{\sin\left(\angle S_2AE\right)}=\dfrac{10\ \text{cm}}{\sin\left(\angle ES_2A\right)}$

$\angle MAS_2=54^\circ$

$\angle S_2AE=90^\circ-54^\circ=36^\circ$

$\angle ES_2A=180^\circ-\angle S_2AE-(90^\circ-\angle MEN)$

$\angle ES_2A=180^\circ-36^\circ-(90^\circ-63{,}43^\circ)=117{,}43°$

$\dfrac{x\ \text{cm}}{\sin\left(36^\circ\right)}=\dfrac{10\ \text{cm}}{\sin\left(117{,}43^\circ\right)}\\\\x=6{,}62$

$V_{ABCDS_2}=(100-8{,}9\cdot6{,}62)\ \text{cm}^3=41{,}08\ \text{cm}^3$

Für die Lösung musst du wissen, wie man das Volumen eines Prisma berechnet.

$\dfrac12\cdot V_{Prisma}=150\ \text{cm}^3$

$V(x)=(100-8{,}9x)\ \text{cm}^3\leq100\ \text{cm}^3,\;\;x\;\in \;\lbrack0;11{,}18\lbrack$

Es gibt keine Pyramide $ABCDS_n$⁣, für die das Volumen halb so groß ist wie das Volumen des Prismas $ABCDEFG$.