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Aufgaben
1.0
Die Parabel pp verläuft durch die Punkte P(219)P(-2\vert19) und Q(45)Q(4\vert-5). Sie hat eine Gleichung der Form y=0,5x2+bx+cy=0,5x^2+bx+c mit G=R\mathbb{G}=\mathbb{R} ×\times R\mathbb{R} und b,cRb,c\in\mathbb{R}.
Die Gerade g besitzt die Gleichung y=0,5x2y=0,5x-2 mit
G=R\mathbb{G}=\mathbb{R} ×\times R\mathbb{R}.
Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.
1.1
Zeigen Sie durch Berechnung der Werte für bb und cc, dass die Parabel pp die Gleichung y=0,5x25x+7y=0,5x^2-5x+7besitzt. Zeichnen Sie die Parabel pp und die Gerade gg für xx\in [0;10][0;10] in ein Koordinatensystem.
Für die Zeichnung: Längeneinheit 11 cm: 0x10;  6y80\leqslant x\leqslant10;\;-6\leqslant y\leqslant8
1.2
Punkte An(x0,5x25x+7)A_n(x\vert0,5x^2-5x+7)auf der Parabel pp und Punkte Cn(x0,5x2)C_n(x\vert0,5x-2) auf derGerade gg besitzen dieselbe Abszisse xx. Diese Punkte bilden zusammen mit Punkten BnB_nund DnD_n Rauten AnBnCnDnA_nB_nC_nD_n , wobei gilt:
BnDn=2\overline{B_nD_n}=2 LE und yCny_{C_n} >> yAny_{A_n}.
Zeichnen Sie die Rauten A1B1C1D1A_1B_1C_1D_1 für x=3x=3 und A2B2C2D2A_2B_2C_2D_2 für x=6x=6 in das Koordinatensystem zu 1.1 ein.
1.3
Ermitteln Sie rechnerisch, für welche Werte von xx es Rauten AnBnCnDnA_nB_nC_nD_n gibt. Geben Sie das Intervall für xx an.
1.4
Zeigen Sie, dass für die Länge der Strecken [AnCn]\lbrack A_nC_n\rbrack in Abhängigkeit von der Abszisse xx der Punkte AnA_n gilt: AnCn(x)=(0,5x2+5,5x9)\overline{A_nC_n}(x)=(-0,5x^2+5,5x-9) LE.
Berechnen Sie sodann das Maß φ\varphi des Winkels D2C2B2D_2C_2B_2 und die Seitenlänge A2B2\overline{A_2B_2} der Raute A2B2C2D2A_2B_2C_2D_2.
1.5
Bestimmen Sie die Koordinaten der Punkte BnB_n in Abhängigkeit von der Abszisse xx der Punkte AnA_n .
1.6
Begründen Sie rechnerisch, dass der Flächeninhalt AA der Rauten AnBnCnDnA_nB_nC_nD_n stets kleiner als 77 FE ist.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gleichungssysteme

1.1
Für den Aufgabenpunkt 1.1 musst du wissen, wie man ein Gleichungssystem aufstellt und löst.
Die Parabel pp hat eine Gleichung der Form y=0,5x²+bc+cy=0,5x²+bc+c und geht durch die beiden Punkte P(219)P(-2\vert19) und Q(45)Q(4\vert-5).
Für die Berechnung der Werte für bb und cc setzt du die beiden Punkte PP und QQ nacheinander in die Funktionsgleichung ein, um ein Gleichungssystem zu erhalten.
Setze zunächst den Punkt Q(45)Q(4\vert-5) in die Gleichung y=0,5x2+bc+cy=0,5x^2+bc+c ein:
5=0,5(4)2+b(4)+c5=8+4b+c813=4b+c\displaystyle \begin{array}{rcll}-5&=&0,5\cdot(4)^2+b\cdot(4)+c\\-5&=&8+4b+c&|-8\\-13&=&4b+c\end{array}
Setze nun den Punkt P(219)P(-2\vert19) in die Gleichung ein:
19=0,5(2)2+b(2)+c19=22b+c217=2b+c\displaystyle \begin{array}{rcll}19 &=&0,5\cdot(-2)^2+b\cdot(-2)+c\\19&=&2-2b+c& |-2\\17&=&-2b+c\end{array}
Du erhältst folgendes Gleichungssystem:
I:13=4b+cII:17=2b+c\displaystyle \begin{array}{rrcl}I:&-13&=&4b+c\\II:&17&=&-2b+c\end{array}
Löse das Gleichungssystem mithilfe des Additionsverfahrens.
(Hinweis: Du kannst das Gleichungssystem auch mit jedem anderen Verfahren lösen, bei Parabelgleichungen ist jedoch das Additionsverfahren häufig das einfachste!)
Subtrahiere II von IIII:
I:13=4b+cII:17=2b+c30=6b\displaystyle \begin{array}{rrcl}I:&-13&=&4b+c\\-II:&17&=&-2b+c\\ \hline &-30&=& 6b\end{array}
Löse die entstandene Gleichung:
30=6b:65=b\displaystyle \begin{array}{rcll}-30&=&6b&|:6\\-5&=&b\end{array}
Setze bb in II ein:
13=4(5)+c13=20+c+207=c\displaystyle \begin{array}{rcll}-13&=&4\cdot(-5)+c\\-13&=&-20+c&|+20\\7&=&c\end{array}
Du erhältst die Funktionsgleichung, die in der Angabe steht:
y=0,5x25x+7\displaystyle y=0,5x^2-5x+7
Zeichne die beiden Funktionsgraphen, die Parabel mithilfe einer Wertetabelle, die Gerade mithilfe der Steigung und des y-Achsenabschnitts:
Parabel und Gerade
1.2
Um die Aufgabe bearbeiten zu können, brauchst du Wissen über die Eigenschaften einer Raute.
Schau dir zunächst die Raute mit x= 3x=\ 3 an. Da alle Punkte AnA_n auf der Parabel liegen, gehst du um A1A_1 zu finden beim xx-Wert 33 nach unten bis zur Parabel. Gleiches machst du mit der Gerade: Gehe beim xx-Wert 33 nach unten, bis du die Gerade triffst und markiere hier C1C_1.
Punkte A und C auf dem Graph eintragen
Da Rauten achsensymmetrisch bezüglich ihrer Diagonalen sind, liegen die Punkte B1B_1 und D1D_1 auf der Mittelsenkrechten. Konstruiere also die Mittelsenkrechte.
Mittelsenkrechte von AC
Da die Strecke B1D1\overline{B_1D_1} 22 cm lang ist und A1C1\overline{A_1C_1} Spiegelachse ist, liegt B1B_1 11 cm rechts von M1M_1 und D1D_1 11 cm links von M1M_1 (Beschriftung ist immer gegen den Uhrzeigersinn).
Punkte B und D auf der Mittelsenkrechten
Verbinde nun nur noch die vier Punkte, um die Raute zu erhalten:
Die erste Raute
Wiederhole die Schritte für x=6x=6, um die zweite Raute zu erhalten. Dein Koordinatensystem sollte jetzt (eventuell mit Konstruktionslinien) so aussehen:
zwei Rauten im Koordinatensystem
1.3
In Aufgabe 1.2 ist angegeben, dass es nur Rauten gibt, wenn yCn>yAny_{C_n}>y_{A_n}, also wenn die Punkte CnC_n über AnA_n liegen. Das ist der Fall, wenn die Gerade über der Parabel verläuft. Im Graph kannst du vielleicht schon sehen, dass das für xx-Werte zwischen 22 und 99 der Fall ist. Rechnerisch nachweisen kannst du dies, indem du die Schnittpunkte berechnest.
Setze die Funktionen gleich, um die Schnittpunkte zu berechen und bringe alles auf eine Seite, damit du die quadratische Gleichung lösen kannst kannst
0,5x25x+7=0,5x20,5x;+20,5x25,5x+9=0\displaystyle \begin{array}{rcll}0,5x^2-5x+7&=&0,5x-2&|-0,5x ;+2\\0,5x^2-5,5x+9&=& 0\end{array}

0,5x25,5x+9=0ax2+bx+x=0\displaystyle \begin{array}{rrrcl}0,5x^2&-5,5x&+9&=& 0\\ ax^2&+bx&+x&=&0\end{array}
Setze a=0,5a=0,5 b=5,5b=-5,5 c=9c=9 ein:

x1/2=(5,5)±(5,5)240,5920,5=5,5±12,251=5,5±3,5x1=9x2=2\displaystyle \begin{array}{ll}x_{1/2}&=\dfrac{-(-5,5)\pm \sqrt{(-5,5)^2-4\cdot 0,5\cdot 9}}{2\cdot0,5}\\ &=\dfrac{5,5\pm \sqrt{12,25}}{1}\\&=5,5\pm3,5\\x_1&=9\\x_2&=2\end{array}
Die Schnittpunkte der Graphen sind bei x1=9x_1=9 und x2=2x_2=2. Wie man im Koordinatensystem sieht, liegt die Gerade zwischen diesen Werten oberhalb der Parabel. Es gibt also Rauten, wenn 2<x<92<x<9.
1.4
Die Länge der Strecke [AnCn]\left[ \text{A}_{n}\text{C}_{n}\right] kannst du berechnen, indem du yAny_{\text{A}_{n}}von yCny_{\text{C}_{n}} abziehst.
Du erhältst dann:
AnCn(x)=0,5x2(0,5x²5x+7)=0,5x20,5x²+5x7=0,5x²+5,5x9\displaystyle \begin{array}{ll} \overline{\text{A}_{n}\text{C}_{n}}(x) &= 0{,}5x - 2 - (0{,}5x²-5x+7) \\ &= 0{,}5x - 2 - 0{,}5x²+5x-7 \\ &= -0{,}5x² +5{,}5x - 9 \end{array}
Um den Winkel φ\varphi zu berechnen verwenden wir den Tangens. (Alternativ kannst du auch zuerst die Seitenlänge A2B2\overline{\text{A}_2\text{B}_2 } berechnen und dann den Sinus oder Kosinus verwenden.) Wenn du die Raute betrachtest kannst du erkennen, dass der Winkel φ2\dfrac{\varphi}{2} in einem rechtwinkligen Dreieck liegt.
Raute zwischen Gerade und Parabel.

Die Gegenkathete ist dann 0,5B2D20{,}5 \cdot \overline{\text{B}_{2}\text{D}_{2}} und die Ankathete ist 0,5A2C20{,}5 \cdot \overline{\text{A}_{2}\text{C}_{2}}. Du weißt schon, dass B2D2=2\overline{\text{B}_{2}\text{D}_{2}} = 2 ist, den Wert von A2C2\overline{\text{A}_{2}\text{C}_{2}} kannst du mit der Formel von oben ausrechnen:
A2C2=AnCn(6)=0,56+5,569=18+339=6\displaystyle \begin{array}{cl}\overline{\text{A}_{2}\text{C}_{2}} = \overline{\text{A}_{n}\text{C}_{n}}(6) &= -0{,}5\cdot6 + 5{,}5\cdot6 - 9 \\ &=-18 +33 -9 \\&= 6 \end{array}
Eingesetzt in die Formel des Tangens erhältst du dann:
tan(φ2)=0,5B2D20,5A2C2=10,56=13\displaystyle \begin{array}{ll} \tan\left(\dfrac{\varphi}{2}\right) &= \dfrac{0{,}5 \cdot \overline{\text{B}_{2}\text{D}_{2}}}{0{,}5 \cdot\overline{\text{A}_{2}\text{C}_{2}}} \\ &= \dfrac{1}{0{,}5\cdot6} \\ &= \dfrac13\end{array}
Nun musst du auf dieses Ergebnis den Arkustangens anwenden, um den Winkel zu erhalten:
φ2=arctan(13)=18,43°\displaystyle \dfrac{\varphi}{2} = \arctan\left(\dfrac13\right) = 18{,}43\degree
Wenn du nun mit 22 multiplizierst erhältst du als Endergebnis φ=36,86°\varphi = 36{,}86\degree.
Um die Seitenlänge A2B2\overline{\text{A}_{2}\text{B}_{2}} zu berechnen kannst du den Satz des Pythagoras verwenden. Denn A2B2\overline{\text{A}_{2}\text{B}_{2}} ist die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks mit den Katheten 0,5B2D20{,}5 \cdot \overline{\text{B}_{2}\text{D}_{2}} und 0,5A2C20{,}5 \cdot \overline{\text{A}_{2}\text{C}_{2}}.
A2B2²=(0,5B2D2)²+(0,5A2C2)²A2B2²=1²+3²A2B2²=10A2B2=10=3,16\displaystyle \begin{array}{lll} \overline{\text{A}_{2}\text{B}_{2}}² &= (0{,}5 \cdot \overline{\text{B}_{2}\text{D}_{2}} )² + (0{,}5 \cdot \overline{\text{A}_{2}\text{C}_{2}})² \\ \overline{\text{A}_{2}\text{B}_{2}}² &= 1² + 3² \\ \overline{\text{A}_{2}\text{B}_{2}}² &= 10 &| \sqrt{} \\ \overline{\text{A}_{2}\text{B}_{2}} &= \sqrt{10} \quad = 3{,}16 \end{array}
Die Seitenlänge A2B2\overline{\text{A}_{2}\text{B}_{2}} hat also den Wert 3,163,16.
1.5
Die xx-Koordinate des Punkts Bn\text{B}_n liegt einen Schritt in xx-Richtung weiter rechts, als die Abszisse von An\text{A}_n (Weil die Strecke BnDn\overline{\text{B}_{n}\text{D}_{n}} immer die Länge 22 hat).
Sie hat also den Wert x+1x + 1.
Die yy-Koordinate von Bn\text{B}_n hat den selben Wert, wie die yy-Koordinate des Mittelpunkts Mn\text{M}_n der Strecke AnCn\overline{\text{A}_{n}\text{C}_{n}}. Nun kannst du yMny_{\text{M}_{n}} als den Mittelwert von yAny_{\text{A}_n} und yCny_{\text{C}_n}berechnen:
yMn=yAn+yCn2=0,5x25x+7+0,5x22=0,25x²2,25x+2,5\displaystyle \begin{array}{ll} y_{\text{M}_{n}} &= \dfrac{y_{\text{A}_{n}}+y_{\text{C}_{n}}}{2} = \dfrac{0{,}5x^2 -5x + 7 + 0{,}5x -2}{2} \\ &= 0{,}25x²-2{,}25x + 2{,}5 \end{array}
Und als Lösung ergibt sich Bn(x+10,25x²2,25x+2,5)\text{B}_n\left(x +1 | 0{,}25x²-2{,}25x + 2{,}5\right).

Du kannst dir das in diesem Applet nochmals veranschaulichen.
GeoGebra
1.6
Den Flächeninhalt AA der Raute AnBnCnDnA_nB_nC_nD_n berechnest du mit der Formel
A=12AnCnBnDn.\displaystyle A = \dfrac12 \cdot \overline{\text{A}_{n}\text{C}_{n}}\cdot \overline{\text{B}_{n}\text{D}_{n}}.
Du weißt, dass BnDn\overline{\text{B}_{n}\text{D}_{n}} immer gleich 22 ist. Das heißt, dass A=AnCnA = \overline{\text{A}_{n}\text{C}_{n}} nur von der Länge der Strecke AnCn\overline{\text{A}_{n}\text{C}_{n}} abhängt. Nun möchtest du herausfinden, wie lang diese Strecke maximal werden kann, du erhältst also eine Extremwertaufgabe. Diese kannst du jetzt mithilfe der quadratischen Ergänzung lösen.
A=0,5x²+5,5x9\displaystyle A = -0{,}5x² + 5{,}5x - 9
Zuerst klammerst du die 0,5-0{,}5 aus.

A=0,5(x²11x+18)\displaystyle A = -0{,}5\left(x² - 11x + 18 \right)
Nun ergänzt du den Term in der Klammer mit 5,525{,}5^2 (=30,25)(=30{,}25). (Auf die 5,55{,}5 kommst du, wenn du dich an die binomische Formel erinnerst und erkennst, dass 25,5=112\cdot 5{,}5 = 11 ist.)
ist.)
A=0,5(x²11x+18+30,2530,25)=0,5(x²11x+30,25Binomische Formel12,25)\displaystyle A = -0{,}5\left(x² - 11x + 18 + 30{,}25 - 30{,}25\right) = -0{,}5\left(\underbrace{x² - 11x + 30{,}25}_{\text{Binomische Formel}} - 12{,}25\right)
Hier wendest du dein Wissen über die 2. binomische Formel an.

A=0,5((x5,5)²12,25)\displaystyle A = -0{,}5 \left(\left(x-5{,}5\right)² - 12{,}25 \right)
Das multiplizierst du wieder aus und du erhältst die Scheitelform der Gleichung.

A=0,5(x5,5)²+6,125\displaystyle A = -0{,}5 \left(x-5{,}5\right)² + 6{,}125
Daraus kannst du den Maximalwert ablesen. Er beträgt 6,1256{,}125 bzw. gerundet 6,13.6{,}13. Der Flächeninhalt der Raute ist also maximal 6,136{,}13 Flächeneinheiten groß und damit stets kleiner als 7FE7 \,\text{FE}.
2.0
Die Skizze unten zeigt ein Schrägbild des geraden Prismas ABCDEFGHABCDEFGH, dessen Grundflächedie Raute ABCDABCD mit dem Diagonalenschnittpunkt MM ist. Die Strecken [EG][EG] und [FH][FH] schneiden sich im Punkt NN.
Es gilt: AC=10 cm;  BD=6 cm;  AE=10 cm.\overline{AC}=10 \ \text{cm};\;\overline{BD}=6\ \text{cm};\;\overline{AE}=10\ \text{cm}.
Prisma
Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach demKomma.
2.1
Zeichnen Sie das Schrägbild des Prismas ABCDEFGHABCDEFGH, wobei die Strecke [AC][AC] auf derSchrägbildachse und der Punkt AA links vom Punkt CC liegen soll.
Für die Zeichnung gilt: q=12;  ω=45.q=\frac12;\;\omega=45^\circ.
Berechnen Sie sodann die Länge der Strecke [ME][ME] und das Maß φ\varphi des Winkels MENMEN .
[Ergebnisse: ME=11,18 cm;  φ=63,43\begin{array}{l}\overline{ME}=11,18\ \text{cm};\;\varphi=63,43^\circ\\\end{array}]
2.2
Punkte SnS_n liegen auf der Strecke [ME][ME] mit ESn(x)=x cm,  x[0;11,18[  und  xR.\overline{ES}_n(x)=x\ \text{cm},\;x\in\lbrack0;11,18\lbrack\;\text{und}\;x\in\mathbb{R}.
Zeichnen Sie das Dreieck S1GES_1GE für x=3x=3 in das Schrägbild zu 2.1 ein. Berechnen Sie sodann den Flächeninhalt des Dreiecks S1GES_1GE und die Länge der Strecke [S1G]\lbrack S_1G\rbrack.
2.3
Die Punkte SnS_n sind Spitzen von Pyramiden ABCDSnABCDS_n mit der Grundfläche ABCDABCD und den Höhen [QnSn][Q_nS_n]. Dabei liegen die Punkte QnQ_n auf der Strecke [AMAM]. Zeichnen Sie die Pyramide ABCDS2ABCDS_2 sowie ihre Höhe [Q2S2Q_2S_2] in das Schrägbildzu 2.1 ein. Dabei gilt: MAS2=54\sphericalangle MAS_2=54^\circ.
Zeigen Sie, dass für das Volumen VV der Pyramiden ABCDSnABCDS_n in Abhängigkeit von xx gilt: V(x)=(1008,9x) cm3V(x)=(100-8,9x)\ \text{cm}^3
[Teilergebnis: QnSn(x)=(100,89x) cm\overline{Q_nS_n}(x)=(10-0,89x)\ \text{cm}]
2.4
Berechnen Sie das Volumen der Pyramide ABCDS2ABCDS_2 .
2.5
Begründen Sie, dass es keine Pyramide ABCDSnABCDS_n gibt, deren Volumen halb so groß wie das Volumen des Prismas ABCDEFGHABCDEFGH ist.

Prisma
2.1
AC=10 cm;    BD=6 cm;AE=10 cm\overline{AC}=10\ \text{cm};\;\;\overline{BD}=6\ \text{cm};\:\overline{AE}=10\ \text{cm}
Das Dreieck MENMEN ist ein rechtwinkliges Dreieck. Der Winkel MEN=90\angle MEN=90^\circ.
Weiter gilt:
MN=AE=10 cm.EN=12EG=12AC=5 cm\begin{array}{l}\overline{MN}=\overline{AE}=10\ \text{cm}.\\\overline{EN}=\frac12\overline{EG}=\frac12\overline{AC}=5\ \text{cm}\end{array}
Zur Berechnung der Strecke ME\overline{ME} benötigst du den Satz des Pythagoras.
ME=(MN)2+(EN)2=(102+52) cm2=125 cm2=11,18 cm\overline{ME}=\sqrt{{(\overline{MN})}^2+(\overline{EN)}^2}=\sqrt{(10^2+5^2)\ \text{cm}^2}=\sqrt{125\ \text{cm}^2}=11,18\ \text{cm}
Für die Berechnung des Maßes φ  \varphi\; des Winkels MEN\angle MEN benötigst du Kenntnisse über die Winkel im rechtwinkligen Dreieckl.
tan(φ)=GegenkatheteAnkathete\tan\left(\varphi\right)=\dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}} =MNEN=10 cm5 cm=\dfrac{\overline{MN}}{\overline{EN}}=\dfrac{10\ \text{cm}}{5\ \text{cm}}
tan(φ)=63,43\tan\left(\varphi\right)=63,43^\circ

ME=11,18 cm\overline{ME}=11,18\ \text{cm} und tan(φ)=63,43\tan\left(\varphi\right)=63,43^\circ
2.2
Für die Berechnung des Flächeninhalts des Dreiecks S1GES_1GE benötigst du Kenntnisse, wie man den Flächeninhalt eines Dreiecks berechnet.
AS1GE=12ES1EGsin(φ)ESn(x)=x cm;    ES1(3)=3 cmAS1GE=123 cm10 cmsin(63,43)=15 cm2sin(63,43)=13,42 cm2\begin{array}{l}A_{S_1GE}=\dfrac12\cdot\overline{ES_1}\cdot\overline{EG}\cdot\sin\left(\varphi\right)\\\overline{ES_n}(x)=x\ \text{cm};\;\;\overline{ES_1}(3)=3\ \text{cm}\\A_{S_1GE}=\frac12\cdot3\ \text{cm}\cdot10\ \text{cm}\cdot\sin\left(63,43^\circ\right)= \\ 15\ \text{cm}^2\cdot\sin\left(63,43^\circ\right)=13,42\ \text{cm}^2\end{array}

Zur Berechnung der Länge von S1G\overline{S_1G} benötigst du den Cosinussatz im allgemeinen Dreieck.
S1G=(ES1)2+(EG)22ES1EGcos(φ)\overline{S_1G}=\sqrt{(\overline{ES_1)^2}+(\overline{EG)^2}-2\cdot\overline{ES_1}\cdot\overline{EG}\cdot\cos\left(\varphi\right)}
S1G=32+1022310cos(63,43) cm\overline{S_1G}=\sqrt{3^2+10^2-2\cdot3\cdot10\cdot\cos\left(63,43\right)}\ \text{cm}
S1G=10960cos(63,43) cm=9,06 cm\overline{S_1G}=\sqrt{109-60\cdot\cos\left(63,43\right)}\ \text{cm}=9,06\ \text{cm}

Die Fläche des Dreiecks AS1GE=13,42 cm2A_{S_1GE}=13,42\ \text{cm}^2.
Die Länge von S1G=9,06 cm\overline{S_1G}=9,06\ \text{cm}.
2.3
Für diese Aufgabe musst du wissen, wie man die Fläche einer Raute und das Volumen einer Pyramide berechnet.
G=12ACBDG=\dfrac12\cdot\overline{AC}\cdot\overline{BD}
V=13GQnSnV=\dfrac13\cdot G\cdot\overline{Q_nS_n}
V=13ACBDQnSnV=\dfrac13\cdot\overline{AC}\cdot\overline{BD}\cdot\overline{Q_nS_n}

Zur Berechnung von QnSn\overline{Q_nS_n} benötigst du den Strahlensatz.
QnSn(x)AE=MExMEQnSn(x)10cm=(11,18x) cm11,18 cmQnSn(x)=(100,89x) cm\begin{array}{l}\dfrac{\overline{Q_nS_n}(x)}{\overline{AE}}=\dfrac{\overline{ME}-x}{\overline{ME}}\\\\\dfrac{\overline{Q_nS_n}(x)}{10cm}=\dfrac{(11,18-x)\ \text{cm}}{11,18\ \text{cm}}\\\\\overline{Q_nS_n}(x)=(10-0,89x)\ \text{cm}\end{array}

V(x)=1312106(100,89x) cm3V(x)=\frac13\cdot\frac12\cdot10\cdot6\cdot(10-0,89x)\ \text{cm}^3

V(x)=(1008,9x) cm3V(x)=(100-8,9x)\ \text{cm}^3
2.4
Bekannt ist bereits:
V(x)=(1008,9x) cm3V(x)=(100-8,9x)\ \text{cm}^3
Berechne xx.

Für die Lösung benötigst du den Sinussatz im allgemeinen Dreieck.
ES2sin(S2AE)=AEsin(ES2A)\dfrac{\overline{ES_2}}{\sin\left(\angle S_2AE\right)}=\frac{\overline{AE}}{\sin\left(\angle ES_2A\right)}
ESn(x)=x cm\overline{ES_n(x)}=x \ \text{cm}
x cmsin(S2AE)=10 cmsin(ES2A)\dfrac{x\ \text{cm}}{\sin\left(\angle S_2AE\right)}=\frac{10\ \text{cm}}{\sin\left(\angle ES_2A\right)}
MAS2=54\angle MAS_2=54^\circ
S2AE=9054=36\angle S_2AE=90^\circ-54^\circ=36^\circ
ES2A=180S2AE(90MEN)\angle ES_2A=180^\circ-\angle S_2AE-(90^\circ-\angle MEN)
ES2A=18036(9063,43)=117,43°\angle ES_2A=180^\circ-36^\circ-(90^\circ-63,43^\circ)=117,43°
x cmsin(36)=10 cmsin(117,43)x=6,62\dfrac{x\ \text{cm}}{\sin\left(36^\circ\right)}=\dfrac{10\ \text{cm}}{\sin\left(117,43^\circ\right)}\\\\x=6,62

VABCDS2=(1008,96,62) cm3=41,08 cm3V_{ABCDS_2}=(100-8,9\cdot6,62)\ \text{cm}^3=41,08\ \text{cm}^3
2.5
Für die Lösung musst du wissen, wie man das Volumen eines Prisma berechnet.

VPrisma=12ACBDh\displaystyle V_{Prisma}=\frac12\cdot\overline{AC}\cdot\overline{BD}\cdot h

VPrisma=(0,510610) cm3=300 cm3\displaystyle V_{Prisma}=(0,5\cdot10\cdot6\cdot10)\ \text{cm}^3=300\ \text{cm}^3

12VPrisma=150 cm3\dfrac12\cdot V_{Prisma}=150\ \text{cm}^3
V(x)=(1008,9x) cm3100 cm3,    x    [0;11,18[V(x)=(100-8,9x)\ \text{cm}^3\leq100\ \text{cm}^3,\;\;x\;\in \;\lbrack0;11,18\lbrack

Es gibt keine Pyramide ABCDSnABCDS_n für die das Volumen halb so groß ist wie das Volumen des Prismas ABCDEFGABCDEFG.
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