Berechnen von $\text{b}$ und $\text{c}$

$\mathrm{y}=\mathrm{0,4}{\mathrm{x}}^2+\mathrm{b}\mathrm{x}+\mathrm{c}$

einsetzen der Koordinaten von $\text{P}$ und $\text{Q}$

$\mathrm{I}(\mathrm{P})$ : $44=\mathrm{0,4}\cdot (-9{)}^2+(-9)\mathrm{b}+\mathrm{c}\mathrm{b},\mathrm{c}\in ℝ$

$\mathrm{I}\mathrm{I}(\mathrm{Q})$ : $14=\mathrm{0,4}\cdot 6^2+6\mathrm{b}+\mathrm{c}$

$\mathrm{I}(\mathrm{P}):$$\mathrm{11,6}=-9\mathrm{b}+\mathrm{c}\Rightarrow \mathrm{c}=\mathrm{11,6}+9\mathrm{b}$

$\mathrm{I}\mathrm{I}(\mathrm{Q}):$$-\mathrm{0,4}=6\mathrm{b}+\mathrm{c}\Rightarrow \mathrm{c}=-\mathrm{0,4}-6\mathrm{b}$

berechne c, setze b in die Gleichung $\mathrm{I}(\mathrm{P})$ ein

$\mathrm{c}=\mathrm{11,6}+9\cdot (-\mathrm{0,8})\Rightarrow \mathrm{c}=\mathrm{4,4}$

$𝕃(\mathrm{b}|\mathrm{c})=(-\mathrm{0,8}|\mathrm{4,4})$

$\mathrm{p}:\mathrm{y}=\mathrm{0,4}{\mathrm{x}}^2-\mathrm{0,8}\mathrm{x}+\mathrm{4,4}𝔾=ℝ\text{x}ℝ$

Einzeichnen der Parabel $\text{p}$ sowie der Gerade $\text{g}$ in ein Koordinatensystem

Einzeichnen der Drachenvierecke ${\mathrm{A}}_1{\mathrm{B}}_1{\mathrm{C}}_1{\mathrm{D}}_1$ und ${\mathrm{A}}_2{\mathrm{B}}_2{\mathrm{C}}_2{\mathrm{D}}_2.$

Berechnen des Maßes $ϵ$ der Winkel $\angle {\mathrm{B}}_{\mathrm{n}}{\mathrm{A}}_{\mathrm{n}}{\mathrm{D}}_{\mathrm{n}}$

$\tan {\displaystyle \frac{ϵ}{2}}={\displaystyle \frac{2}{3}};\tan {\displaystyle \frac{ϵ}{2}}=0.\overline{6}\Rightarrow {\displaystyle \frac{ϵ}{2}}={\mathrm{33,69}}^{\circ }$

$\mathrm{ϵ}=2\cdot {\mathrm{33,69}}^{\circ }$

$\underline{\mathrm{ϵ}={\mathrm{67,38}}^{\circ }}$

Das Maß $ϵ$ der Winkel ${\mathrm{B}}_{\mathrm{n}}{\mathrm{A}}_{\mathrm{n}}{\mathrm{D}}_{\mathrm{n}}$ beträgt: ${\mathrm{67,38}}^{\circ }$

Die Formel zur Berechnung des Flächeninhalts der Drachenvierecke ${\mathrm{A}}_{\mathrm{n}}{\mathrm{B}}_{\mathrm{n}}{\mathrm{C}}_{\mathrm{n}}{\mathrm{D}}_{\mathrm{n}}$

lautet:

$\mathrm{A}={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot \overline{{\mathrm{B}}_{\mathrm{n}}{\mathrm{D}}_{\mathrm{n}}}\cdot \overline{{\mathrm{A}}_{\mathrm{n}}{\mathrm{C}}_{\mathrm{n}}}$

Da $\overline{{\mathrm{B}}_{\mathrm{n}}{\mathrm{D}}_{\mathrm{n}}}=2\cdot 2=4\mathrm{L}\mathrm{E}$ bekannt ist (siehe Aufgabenstellung), musst du noch die Länge der Strecke $\overline{{\mathrm{A}}_{\mathrm{n}}{\mathrm{C}}_{\mathrm{n}}}(\mathrm{x})$ berechnen. Da die Punkte ${\mathrm{A}}_{\mathrm{n}}$ und ${\mathrm{C}}_{\mathrm{n}}$ die gleiche Abszisse $\text{x}$ haben, berechnet sich die Länge $\overline{{\mathrm{A}}_{\mathrm{n}}{\mathrm{C}}_{\mathrm{n}}}(\mathrm{x})$ aus der Differenz der $\text{y}$-Koordinaten von ${\mathrm{A}}_{\mathrm{n}}$ und ${\mathrm{C}}_{\mathrm{n}}$:

$\overline{{\mathrm{A}}_{\mathrm{n}}{\mathrm{C}}_{\mathrm{n}}}(\mathrm{x})=[\mathrm{0,4}{\mathrm{x}}^2-\mathrm{0,8}\mathrm{x}+\mathrm{4,4}-(\mathrm{0,2}\mathrm{x}+\mathrm{0,5})]\mathrm{L}\mathrm{E}\mathrm{x}\in ℝ$

$\overline{{\mathrm{A}}_{\mathrm{n}}{\mathrm{C}}_{\mathrm{n}}}(\mathrm{x})=(\mathrm{0,4}{\mathrm{x}}^2-\mathrm{x}+\mathrm{3,9})\mathrm{L}\mathrm{E}$

$\mathrm{A}(\mathrm{x})={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot 4\cdot (\mathrm{0,4}{\mathrm{x}}^2-\mathrm{x}+\mathrm{3,9})\mathrm{F}\mathrm{E}\mathrm{x}\in ℝ$

$\mathrm{A}(\mathrm{x})=(\mathrm{0,8}{\mathrm{x}}^2-2\mathrm{x}+\mathrm{7,8})\mathrm{F}\mathrm{E}$

Berechnen des Flächeninhaltes des Drachenvierecks ${\mathrm{A}}_0{\mathrm{B}}_0{\mathrm{C}}_0{\mathrm{D}}_0$

$\mathrm{A}(\mathrm{x})$ beschreibt eine nach oben offene Parabel, denn $\mathrm{A}(\mathrm{x})$ ist eine Gleichung von der Form $\mathrm{a}{\mathrm{x}}^2+\mathrm{b}\mathrm{x}+\mathrm{c}$ mit $\mathrm{a}>0$. Um den minimalen Flächeninhalt zu berechnen, musst du die Formel für $\mathrm{A}(\mathrm{x})$ in die Scheitelpunktform überführen. Du kannst entweder$$die quadratische Ergänzung anwenden, oder$$ du benutzt die Formel zur Berechnung des Scheitelpunkts.

Berechnen des Scheitelpunkts mit quadratischer Ergänzung:

$\mathrm{A}(\mathrm{x})=\mathrm{0,8}{\mathrm{x}}^2-2\mathrm{x}+\mathrm{7,8}$

$\mathrm{A}(\mathrm{x})=\mathrm{0,8}({\mathrm{x}}^2-\mathrm{2,5}\mathrm{x})+\mathrm{7,8}$

$\mathrm{A}(\mathrm{x})=\mathrm{0,8}({\mathrm{x}}^2-2\cdot \mathrm{1,25}\mathrm{x}+{\mathrm{1,25}}^2-{\mathrm{1,25}}^2)+\mathrm{7,8}$

$\mathrm{A}(\mathrm{x})=\mathrm{0,8}[(\mathrm{x}-\mathrm{1,25}{)}^2-\mathrm{1,5625}]+\mathrm{7,8}$

$\mathrm{A}(\mathrm{x})=\mathrm{0,8}(\mathrm{x}-\mathrm{1,25}{)}^2-\mathrm{1,25}+\mathrm{7,8}$

$\mathrm{A}(\mathrm{x})=\mathrm{0,8}(\mathrm{x}-\mathrm{1,25}{)}^2+\mathrm{6,55}$

Hier können wir jetzt die Koordinaten des Scheitelpunktes von $\mathrm{A}(\mathrm{x})$ablesen. ${\mathrm{x}}_{\mathrm{s}}=\mathrm{1,25}$ und ${\mathrm{y}}_{\mathrm{s}}=\mathrm{6,55}$. Somit ist ${\mathrm{A}}_{\text{min}}=\mathrm{6,55}\mathrm{F}\mathrm{E}$ für $\mathrm{x}=\mathrm{1,25}$ .

Berechnen des Scheitelpunkts mit der Formel:

Die Formel zur Berechnung des Scheitelpunkts lautet:

$\mathrm{S}(-{\displaystyle \frac{\mathrm{b}}{2\cdot \mathrm{a}}}|\mathrm{c}-{\displaystyle \frac{{\mathrm{b}}^2}{4\cdot \mathrm{a}}})$

Geg.: $\mathrm{a}=\mathrm{0,8};\mathrm{b}=-2\mathrm{c}=\mathrm{7,8}$

Einsetzen der Werte in die Formel:

${\mathrm{x}}_{\mathrm{s}}=-{\displaystyle \frac{-2}{2\cdot \mathrm{0,8}}}\Rightarrow {\mathrm{x}}_{\mathrm{s}}=\mathrm{1,25};{\mathrm{y}}_{\mathrm{s}}=\mathrm{7,8}-{\displaystyle \frac{(-2{)}^2}{4\cdot \mathrm{0,8}}}\Rightarrow {\mathrm{y}}_{\mathrm{s}}=\mathrm{6,55}$

Begründung:

Drachenvierecke sind Rauten, wenn sich die Diagonalen gegenseitig halbieren. Da die $\text{y}$-Werte der Punkte ${\mathrm{B}}_{\mathrm{n}}$ und ${\mathrm{D}}_{\mathrm{n}}$ um $3$ größer sind als die $\text{y}$-Werte von ${\mathrm{A}}_{\mathrm{n}}$,

müssen die $\text{y}$-Werte von ${\mathrm{C}}_{\mathrm{n}}$ insgesamt um $6$ größer sein als die $\text{y}$-Werte von ${\mathrm{A}}_{\mathrm{n}}.$

Berechnen der $\text{x}$-Werte der Punkte $A_3$ und $A_4$.

$\overline{{\mathrm{A}}_3{\mathrm{C}}_4}=\overline{{\mathrm{A}}_4{\mathrm{C}}_4}=6\mathrm{L}\mathrm{E}$

$\mathrm{0,4}{\mathrm{x}}^2-\mathrm{x}+\mathrm{3,9}=6\mathrm{x}\in ℝ$

$\mathrm{0,4}{\mathrm{x}}^2-\mathrm{x}-\mathrm{2,1}=0$

Löse die quadratische Gleichung mithilfe der Mitternachtsformel.

$x_{\mathrm{1,2}}={\displaystyle \frac{1\pm \sqrt{1^2-4\cdot \mathrm{0,4}\cdot (-\mathrm{2,1})}}{2\cdot \mathrm{0,4}}}$

$x_{\mathrm{1,2}}={\displaystyle \frac{1\pm \sqrt{\mathrm{4,36}}}{2\cdot \mathrm{0,4}}}\Rightarrow x_1=-\mathrm{1,36};x_2=\mathrm{3,86}$

$𝕃=\{-\mathrm{1,36}|\mathrm{3,86}\}$

$\overline{{\mathrm{A}}_{\mathrm{n}}{\mathrm{C}}_{\mathrm{n}}}(\mathrm{x})=(\mathrm{0,4}{\mathrm{x}}^2-\mathrm{x}+\mathrm{3,9})\mathrm{L}\mathrm{E}$

setze $\overline{{\mathrm{A}}_{\mathrm{n}}{\mathrm{C}}_{\mathrm{n}}}(\mathrm{x})=3$

$\mathrm{0,4}{x}^2-x+\mathrm{3,9}=3\text{x}\in ℝ$

Lösen der quadratischen Gleichung:

$\mathrm{D}=-\mathrm{0,44}\mathrm{D}<0𝕃=\varnothing$

Die Punkte ${\mathrm{B}}_{\mathrm{n}},{\mathrm{C}}_{\mathrm{n}}$ und ${\mathrm{D}}_{\mathrm{n}}$ liegen nicht auf einer gemeinsamen Geraden.