Nachtermin Teil B

Berechnen von $\text{b}$ und $\text{c}$

$\mathrm{y=0{,}4x^2+bx+c}$

einsetzen der Koordinaten von $\text{P}$ und $\text{Q}$

$\mathrm{I(P)}$ : $\mathrm{44=0{,}4\cdot(-9)^2+(-9) b+c\hspace{22mm}b, c \in\mathbb{R}}$

$\mathrm{II(Q)}$ : $\mathrm{14=0{,}4\cdot6^2+6 b+c}$

$\mathrm{I(P)}:\$$\mathrm{11{,}6=-9b+c\quad\Rightarrow c=11{,}6+9b}$

$\mathrm{II(Q)}:\$$\mathrm{-0{,}4=6b+c\quad\Rightarrow c=-0{,}4-6b}$

berechne c, setze b in die Gleichung $\mathrm{I(P)}$ ein

$\mathrm{c=11{,}6+9\cdot (-0{,}8)\quad\Rightarrow c=4{,}4}$

$\mathbb{L}\mathrm{(b|c)}={(-0{,}8|4{,}4)}$

$\mathrm{p:\ y=0{,}4x^2-0{,}8x+4{,}4}\hspace{22mm}\mathbb{G=R\ \text{x}\ R}$

Einzeichnen der Parabel $\text{p}$ sowie der Gerade $\text{g}$ in ein Koordinatensystem

Einzeichnen der Drachenvierecke $\mathrm{A_1B_1C_1D_1}$ und $\mathrm{A_2B_2C_2D_2}.$

Berechnen des Maßes $\epsilon$ der Winkel $\mathrm{\angle{B_nA_nD_n}}$

$\tan\dfrac{\epsilon}{2}=\dfrac{2}{3};\quad\tan\dfrac{\epsilon}{2}=0.\overline{6}\quad\Rightarrow\dfrac{\epsilon}{2}=33{,}69^\circ$

$\mathrm{\epsilon=2\cdot 33{,}69^\circ}$

$\underline{\mathrm{\epsilon=67{,}38^\circ}}$

Das Maß $\epsilon$ der Winkel $\mathrm{B_nA_nD_n}$ beträgt: $\ \boxed{67{,}38^\circ}$

Die Formel zur Berechnung des Flächeninhalts der Drachenvierecke $\mathrm{A_nB_nC_nD_n}$

lautet:

$\hspace{40mm}\ \mathrm{A=\dfrac{1}{2}\cdot\overline{B_nD_n}\cdot\overline{A_nC_n}}$

Da $\mathrm{\overline{B_nD_n} = 2\cdot 2=4\ LE}$ bekannt ist (siehe Aufgabenstellung), musst du noch die Länge der Strecke $\mathrm{\overline{A_nC_n}(x)}$ berechnen. Da die Punkte $\mathrm{A_n}$ und $\mathrm{C_n}$ die gleiche Abszisse $\text{x}$ haben, berechnet sich die Länge $\mathrm{\overline{A_nC_n}(x)}$ aus der Differenz der $\text{y}$-Koordinaten von $\mathrm{A_n}$ und $\mathrm{C_n}$:

$\ \mathrm{\overline{A_nC_n}(x)=[0{,}4x^2-0{,}8x+4{,}4-(0{,}2x+0{,}5)]\ LE\qquad\qquad x\in\mathbb{R}}$

$\ \mathrm{\overline{A_nC_n}(x)=(0{,}4x^2-x+3{,}9)\ LE}$

$\mathrm{A(x)=\dfrac{1}{2}\cdot 4\cdot(0{,}4x^2-x+3{,}9)\ FE\hspace{32mm}x\in\mathbb{R}}$

$\mathrm{A(x)=(0{,}8x^2-2x+7{,}8)\ FE}$

Berechnen des Flächeninhaltes des Drachenvierecks $\mathrm{A_0B_0C_0D_0}$

$\mathrm{A(x)}$ beschreibt eine nach oben offene Parabel, denn $\mathrm{A(x)}$ ist eine Gleichung von der Form $\mathrm{ax^2 + bx + c}$ mit $\mathrm{a>0}$. Um den minimalen Flächeninhalt zu berechnen, musst du die Formel für $\mathrm{A(x)}$ in die Scheitelpunktform überführen. Du kannst entweder$\$die quadratische Ergänzung anwenden, oder$$ du benutzt die Formel zur Berechnung des Scheitelpunkts.

Berechnen des Scheitelpunkts mit quadratischer Ergänzung:

$\mathrm{A(x)=0{,}8x^2-2x+7{,}8}$

$\mathrm{A(x)=0{,}8(x^2-2{,}5x)+7{,}8}$

$\mathrm{A(x)=0{,}8(x^2-2\cdot1{,}25x+1{,}25^2-1{,}25^2)+7{,}8}$

$\mathrm{A(x)=0{,}8[(x-1{,}25)^2-1{,}5625]+7{,}8}$

$\mathrm{A(x)=0{,}8(x-1{,}25)^2-1{,}25+7{,}8}$

$\mathrm{A(x)=0{,}8(x-1{,}25)^2+6{,}55}$

Hier können wir jetzt die Koordinaten des Scheitelpunktes von $\mathrm{A(x)}$ablesen. $\mathrm{x_s=1{,}25}$ und $\mathrm{y_s = 6{,}55}$. Somit ist $\mathrm{A_{\text{min}} = 6{,}55 \ FE}$ für $\mathrm{x=1{,}25}$ .

Berechnen des Scheitelpunkts mit der Formel:

Die Formel zur Berechnung des Scheitelpunkts lautet:

$\hspace{30mm}\boxed{\mathrm{S\left(-\dfrac b{2~\cdot~ a}\left|c-\dfrac{b^2}{4 ~\cdot ~a}\right.\right)}}$

Geg.: $\ \mathrm{a=0{,}8;\qquad b=-2\qquad c=7{,}8}$

Einsetzen der Werte in die Formel:

$\mathrm{x_s=-\dfrac{-2}{2\cdot 0{,}8}\quad\Rightarrow x_s=1{,}25;\qquad y_s=7{,}8-\dfrac{(-2)^2}{4\cdot 0{,}8}\quad\Rightarrow y_s=6{,}55}$

Begründung:

Drachenvierecke sind Rauten, wenn sich die Diagonalen gegenseitig halbieren. Da die $\text{y}$-Werte der Punkte $\mathrm{B_n}$ und $\mathrm{D_n}$ um $3$ größer sind als die $\text{y}$-Werte von $\mathrm{A_n}$,

müssen die $\text{y}$-Werte von $\mathrm{C_n}$ insgesamt um $6$ größer sein als die $\text{y}$-Werte von $\mathrm{A_n}.$

Berechnen der $\text{x}$-Werte der Punkte $A_3$ und $A_4$.

$\mathrm{\overline{A_3C_4}=\overline{A_4C_4}=6\ LE}$

$\mathrm{0{,}4x^2-x+3{,}9=6\hspace{35mm}x}\in\mathbb{R}$

$\mathrm{0{,}4x^2-x-2{,}1=0}$

Löse die quadratische Gleichung mithilfe der Mitternachtsformel.

$x_{1{,}2}=\dfrac{1\pm\sqrt{1^2-4\cdot 0{,}4\cdot (-2{,}1)}}{2\cdot 0{,}4}$

$x_{1{,}2}=\dfrac{1\pm\sqrt{4{,}36}}{2\cdot 0{,}4}\quad\Rightarrow x_1=-1{,}36;\qquad x_2=3{,}86$

$\mathbb{L}=\{-1{,}36|3{,}86\}$

$\ \mathrm{\overline{A_nC_n}(x)=(0{,}4x^2-x+3{,}9)\ LE}$

setze $\mathrm{\overline{A_nC_n}(x)=3}$

$0{,}4x^2-x+3{,}9=3\hspace{35mm}\text{x}\in\mathbb{{R}}$

Lösen der quadratischen Gleichung:

$\mathrm{D=-0{,}44\hspace{20mm} D<0}\hspace{20mm}\mathbb{L}=\emptyset$

Die Punkte $\mathrm{B_n,\ C_n}$ und $\mathrm{D_n}$ liegen nicht auf einer gemeinsamen Geraden.

Einzeichnen des Vierecks $\text{ABCD}$ im Maßstab $1:100$.

Da die Längen in der Aufgabenstellung in Metern angegeben sind, gelten für die Längen in der Skizze:

$\overline{AB}=9{,}0\ cm,~\overline{BC}=8{,}0\ cm,~\overline{AE}=3{,}5\ cm$

Die Winkel bleiben dabei gleich.

Berechnen der Strecke $\mathrm{\overline{ED}}$ mit dem Tangens:

$\ \mathrm{\dfrac{\overline{ED}}{\overline{AE}}=\tan\sphericalangle{BAD}\ \Rightarrow\ \overline{ED}=\overline{AE}\cdot\tan\sphericalangle{BAD}}$

$\ \mathrm{\overline{ED}=3{,}5\ m\cdot\tan60°}$

$\ \boxed{\mathrm{\overline{ED}=6{,}1\ m}}$

Berechnen der Strecke $\mathrm{\overline{AD}}$ mit dem Kosinus:

$\mathrm{\dfrac{\overline{AE}}{\overline{AD}}=\cos\sphericalangle{BAD}\ \Rightarrow\ \overline{AD}=\dfrac{\overline{AE}}{\cos\sphericalangle{BAD}}}$

$\ \mathrm{\overline{AD}=\dfrac{3{,}5\ m}{\cos60°}}$

$\ \boxed{\mathrm{\overline{AD}=7{,}0\ m}}$

Berechnen der Länge der Strecke $\mathrm{\overline{EC}}$ mit dem Kosinussatz.

Der Kosinussatz angewandt auf das Dreieck $\text{EBC}$ lautet:

$\mathrm{\overline{EC}^2=\overline{EB}^2+\overline{BC}^2-2\cdot\cos80^\circ\cdot\overline{EB}\cdot\overline{BC}}$$$

$\mathrm{\overline{EC}=\sqrt{5{,}5^2+8{,}0^2-2\cdot0{,}1736\cdot5{,}5\cdot8}\ m}$

$\ \mathrm{\overline{EC}=\sqrt{94{,}25-15{,}28}\ m\hspace{23mm}}\boxed{\mathrm{\overline{EC}=8{,}90\ m}}$

$\rule{10cm}{0.5mm}$

Berechnen des Flächeninhaltes des Vierecks $\text{EBCD}:$

$\ \mathrm{A_{EBCD}=A_{EBC}+A_{ECD}}$

$\ \mathrm{A_{EBC}=\dfrac{1}{2}\cdot\ \overline{EB}\cdot\overline{BC}\cdot\sin\sphericalangle{CBA}\qquad\qquad\overline{EB}=9\ m-3{,}5\ m}$

$\hspace{59mm}\mathrm{\underline{\overline{EB}=5{,}5\ m}}$

$\ \mathrm{A_{EBC}=\dfrac{1}{2}\cdot 5{,}5\cdot 8\cdot sin80^\circ\ [m^2]}$

$\ \underline{\mathrm{A_{EBC}=21{,}7\ m^2}}$

$\ \mathrm{A_{DEC}=\dfrac{1}{2}\cdot\ \overline{EC}\cdot\overline{ED}\cdot\sin\sphericalangle{CED}\qquad\qquad\sphericalangle{CED}=90^\circ-\sphericalangle{CEB}}$

$\ \mathrm{\dfrac{\sin\sphericalangle{CEB}}{8\ m}=\dfrac{\sin80}{8{,}9\ m}\hspace{32mm}\sin\sphericalangle{CEB}=\dfrac{8\cdot\sin80^\circ}{8{,}9}\dfrac{\cancel{m}}{\cancel{m}}}$

$\ \hspace{30mm}\mathrm{\sphericalangle{CEB=62{,}3^\circ}\hspace{9mm}\sphericalangle{CED=90^\circ}-62{,}3^\circ}$

$\hspace{61mm}\mathrm{\underline{\sphericalangle{CED}=27{,}7^\circ}}$

$\ \mathrm{A_{DEC}=\dfrac{1}{2}\cdot8{,}9\cdot6{,}1\cdot\sin27{,}7^\circ\ [m^2]}$

$\ \underline{\mathrm{A_{DEC}=12{,}6\ m^2}}$

$\ \mathrm{A_{EBCD}=21{,}7\ m^2+12{,}6\ m^2}\hspace{20mm}\boxed{\mathrm{A_{EBCD}=34{,}3\ m^2}}$

Aus Teilaufgabe $\mathrm{2.c)}$ sind die folgenden Grössen bekannt:

$\ \mathrm{\sphericalangle{CED}=27{,}7^\circ;\ \overline{EC}=8{,}9\ m}\quad$$$

Aus Teilaufgabe $\mathrm{2.b)}$ ist die folgende Grösse bekannt:

$\ \mathrm{\overline{ED}=6{,}1\ m}$

$\rule{12cm}{0.5mm}$

Berechnen der Länge des Kreisbogens $\mathrm{\overset\frown{FD}}:$

$\ \mathrm{\overset\frown{FD}=\dfrac{2\cdot\overline{ED}\cdot\pi\cdot\sphericalangle{FED}}{360^\circ}\qquad\sphericalangle{FED}=90^\circ-\sphericalangle{BEF}}$

$\hspace{42mm}\mathrm{\sphericalangle{BEF}=180^\circ-80^\circ-\sphericalangle{EFB}}$

$\hspace{42mm}\mathrm{\sin\sphericalangle{EFB}=\dfrac{5{,}5\ m\cdot\sin80^\circ}{6{,}1\ m}\Rightarrow\hspace{2.6mm} \sphericalangle{EFB}=62{,}6^\circ}$

$\hspace{42mm}\mathrm{\sphericalangle{BEF}=180^\circ-80^\circ-62{,}6^\circ\Rightarrow\ \sphericalangle{BEF}=37{,}4^\circ}$

$\hspace{42mm}\mathrm{\sphericalangle{FED}=90^\circ-37{,}4^\circ\hspace{5.5mm}\Rightarrow\hspace{5.5mm}\sphericalangle{FED}=52{,}6^\circ}$

$\ \mathrm{\overset\frown{FD}=\dfrac{2\cdot6{,}1\cdot\pi\cdot52{,}6^\circ}{360^\circ}\ m}$

$\ \mathrm{\underline{{\overset\frown{FD}=5{,}6\ m}}}$

$\rule{12cm}{0.5mm}$

Berechnen der Länge der Strecke $\mathrm{\overline{CD}}$ mithilfe des Kosinussatzes:

Der Kosinussatz angewandt auf die obige Skizze lautet:

$\ \mathrm{\overline{CD}=\sqrt{\overline{DE}^2+\overline{CE}^2-2\cdot\cos\sphericalangle{CED}\cdot\overline{DE}\cdot\overline{CE}}}$

$\ \mathrm{\overline{CD}=\sqrt{{6{,}1}^2+{8{,}9}^2-2\cdot\cos27{,}7^\circ\cdot6{,}1\cdot8{,}9}\ m}$

$\ \mathrm{\overline{CD}=\sqrt{{6{,}1}^2+{8{,}9}^2-2\cdot\cos27{,}7^\circ\cdot6{,}1\cdot8{,}9}\ m}$

$\ \mathrm{\overline{CD}=\sqrt{116{,}4-96{,}1}\ m}$

$\ \mathrm{\underline{\overline{CD}=4{,}5\ m}}$

Länge des Schneckenschutzzauns:

$\ \mathrm{l_{Schn.Zaun}=\overset\frown{FD}+\overline{CD}\Rightarrow l_{Schn.Zaun}=5{,}6\ m+4{,}5m}$

$\ \boxed{\mathrm{l_{Schn.Zaun}=10{,}1\ m}}$

Folgender Wert ist bekannt aus Teilaufgabe $\mathrm{2.c)}:$

Flächeninhalt des Vierecks $\mathrm{EBCD=34{,}3\ m^2}$

Berechnen des Flächeninhalts des Beetes:

$\ \mathrm{A_{Beet}=A_{EBCD}-A_{Sektor}-A_{\triangle{EBF}}}$

$\ \mathrm{A_{Beet}=34{,}3\ m^2-\dfrac{(6{,}1\ m)^2\cdot\pi\cdot52{,}6^\circ}{360^\circ}-\dfrac{1}{2}\cdot6{,}1\ m\cdot5{,}5\ m\cdot\sin37{,}4^\circ}$

$\ \mathrm{A_{Beet}=34{,}3\ m^2-17{,}1\ m^2-10{,}2\ m^2}$

$\ \boxed{\mathrm{A_{Beet}=7{,}0\ m^2}}$