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Nachtermin Teil B

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Die Aufgaben findest Du hier zum Ausdrucken als PDF.

  1. 1

    Die Parabel p\text{p} verläuft durch die Punkte P(944)\mathrm{P(-9|44)} und Q(614)\mathrm{Q(6|14)}. Sie hat eine Gleichung der Form y=0,4x2+bx+c\mathrm{y=0{,}4x^2+bx+c} mit G=R×R\mathbb{G}=\mathbb{R}\times\mathbb{R} und b,cR\mathrm{b,c} \in \mathbb{R}. Die Gerade g\text{g} hat die Gleichung y=0,2x+0,5\mathrm{y=0{,}2x+0{,}5} mit G=R×R\mathbb{G}=\mathbb{R}\times\mathbb{R} .

    Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

    1. Zeigen Sie durch Berechnung der Werte für b und c, dass die Parabel p die Gleichung y=0,4x20,8x+4,4y=0{,}4x^2-0{,}8x+4{,}4 hat.

      Zeichnen Sie sodann die Gerade g sowie die Parabel p für x [3;5]x\ \in\left[-3;5\right] in ein Koordinatensystem ein.

      Für die Zeichnung: Längeneinheit 1 cm; 5 x 6;1 y 11-5\ \le x\ \le6;1\ \le y\ \le11

    2. Punkte BnB_n und DnD_n sind zusammen mit Punkten An(x0,2x+0,5)A_n ( x |0{,}2x + 0{,}5) auf der Geraden g und Punkten Cn(x0,4x20,8x+4,4)C_n(x |0{,}4x² - 0{,}8x + 4{,}4) auf der Parabel p die Eckpunkte von Drachenvierecken AnBnCnDnA_nB_nC_nD_n mit den Geraden AnCnA_nC_n als Symmetrieachse.

      Es gilt: AnBn=(23)\vec {A_nB_n}=\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}.

      Zeichnen Sie das Drachenviereck A1B1C1D1A_1B_1C_1D_1 für x=2,5x=-2{,}5 und das Drachenviereck A2B2C2D2A_2B_2C_2D_2 für x=2,5x=2{,}5 in das Koordinatensystem zu Teilaufgabe (a) ein.

    3. In allen Drachenvierecken AnBnCnDnA_nB_nC_nD_n haben die Winkel BnAnDnB_nA_nD_n das gleiche Maß ϵ\epsilon . Berechnen Sie das Maß ϵ \epsilon der Winkel BnAnDnB_nA_nD_n.

    4. Zeigen Sie rechnerisch, dass für den Flächeninhalt A der Drachenvierecke AnBnCnDnA_nB_nC_nD_n in Abhängigkeit von der Abszisse x der Punkte AnA_n gilt: A(x)=(0,8x22x+7,8)FE. A(x)=(0{,}8x²-2x+7{,}8)FE. [Teilergebnis: AnCn(x)=0,4x2x+3,9)LE \overline{A_nC_n}(x)=0{,}4x²-x+3{,}9)LE]

      Unter den Drachenvierecken AnBnCnDnA_nB_nC_nD_n hat das Drachenviereck A0B0C0D0A_0B_0C_0D_0 den minimalen Flächeninhalt.

      Berechnen Sie den Flächeninhalt des Drachenvierecks A0B0C0D0A_0B_0C_0D_0 und den zugehörigen Wert für xx.

    5. Begründen Sie, dass für A3C3=A4C4=6LE\mathrm{\overline{A_3C_3}= \overline {A_4C_4}=6 LE} die Drachenvierecke Rauten sind.

      Ermitteln Sie die x\text{x}-Werte der Punkte A3\mathrm{A_3} und A4\mathrm{A_4}.

    6. Zeigen Sie durch Rechnung, dass die Punkte Bn,CnB_n, C_n und DnD_n nicht gemeinsam auf einer Geraden liegen können.

  2. 2

    Die untenstehende Skizze zeigt den Plan eines Gartengrundstücks ABCDABCD.

    Es gilt: AB=9,0 m\overline{AB}=9{,}0\ m; BC=8,0 m\overline{BC}=8{,}0\ m; AE=3,5 m\overline{AE}=3{,}5\ m

    BAD=60°\measuredangle BAD=60°; CBA=80°\measuredangle CBA=80°; DEA=90°\measuredangle DEA=90°.

    Runden Sie im Folgenden auf eine Stelle nach dem Komma.

    Bild
    1. Zeichnen Sie das Viereck ABCD\text{ABCD} im Maßstab 1:1001:100.

    2. Die dreieckige Gartenfläche AED,\text{AED}, die im Plan durch die Strecken [AE],[ED]\mathrm{\left[AE\right], \left[ED\right]} und [DA]\mathrm{\left[DA\right]} begrenzt ist, soll geschottert werden. Eine Metallschiene, im Plan durch [ED]\mathrm{\left[ED\right]} gekennzeichnet, soll verhindern, dass sich der Schotter im ganzen Grundstück verteilt. Zum Nachbargrundstück wird entlang der im Plan durch [AD]\mathrm{\left[AD\right]} gekennzeichneten Strecke ein Sichtschutz errichtet. Berechnen Sie die Länge der Strecken [ED]\mathrm{\left[ED\right]} und [AD]\mathrm{\left[AD\right]}.

      [Teilergebnis: ED=6,1 m\mathrm{\overline{ED}=6{,}1\ m}]

    3. Die im Plan durch das Viereck EBCDEBCD dargestellte Fläche soll aus einem Rasenstück und einem Beet bestehen.

      Bestimmen Sie rechnerisch die Länge der Strecke [EC] sowie den Flächeninhalt A1A_1 des Vierecks EBCDEBCD.

      [Ergebnis: EC=8,9 m\overline{EC}=8{,}9\ m; Teilergebnis: BEC=62,3°\measuredangle BEC=62{,}3°]

    4. Der Kreis mit dem Mittelpunkt E hat den Radius r=EDr=\overline{ED} und schneidet die Strecke [BC] im Punkt F. Das Beet wird durch den Kreisbogen FD\overset\frown{FD} sowie durch die Strecken [DC][DC] und [CF][CF] begrenzt. Zeichnen Sie den Kreisbogen FD\overset\frown{FD} in die Zeichnung zur Teilaufgabe (a) ein.

    5. Das Beet aus Teilaufgabe (d) wird entlang des Kreisbogens FD\overset\frown{FD} und der Strecke [DC] mit einem Schneckenschutzzaun geschützt. Berechnen Sie die benötigte Länge des Zauns.

      [Teilergebnis: BEF=37,4°\measuredangle BEF=37, 4°]

    6. Berechnen Sie den Flächeninhalt A2A_2 des Beetes.


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