Berechnen von $\text{b}$ und $\text{c}$

$\mathrm{y=0{,}4x^2+bx+c}$

einsetzen der Koordinaten von $\text{P}$ und $\text{Q}$

$\mathrm{I(P)}$ : $\mathrm{44=0{,}4\cdot(-9)^2+(-9) b+c\hspace{22mm}b, c \in\mathbb{R}}$

$\mathrm{II(Q)}$ : $\mathrm{14=0{,}4\cdot6^2+6 b+c}$

$\mathrm{I(P)}:\$$\mathrm{11{,}6=-9b+c\quad\Rightarrow c=11{,}6+9b}$

$\mathrm{II(Q)}:\$$\mathrm{-0{,}4=6b+c\quad\Rightarrow c=-0{,}4-6b}$

berechne c, setze b in die Gleichung $\mathrm{I(P)}$ ein

$\mathrm{c=11{,}6+9\cdot (-0{,}8)\quad\Rightarrow c=4{,}4}$

$\mathbb{L}\mathrm{(b|c)}={(-0{,}8|4{,}4)}$

$\mathrm{p:\ y=0{,}4x^2-0{,}8x+4{,}4}\hspace{22mm}\mathbb{G=R\ \text{x}\ R}$

Einzeichnen der Parabel $\text{p}$ sowie der Gerade $\text{g}$ in ein Koordinatensystem

Einzeichnen der Drachenvierecke $\mathrm{A_1B_1C_1D_1}$ und $\mathrm{A_2B_2C_2D_2}.$

Berechnen des Maßes $\epsilon$ der Winkel $\mathrm{\angle{B_nA_nD_n}}$

$\tan\dfrac{\epsilon}{2}=\dfrac{2}{3};\quad\tan\dfrac{\epsilon}{2}=0.\overline{6}\quad\Rightarrow\dfrac{\epsilon}{2}=33{,}69^\circ$

$\mathrm{\epsilon=2\cdot 33{,}69^\circ}$

$\underline{\mathrm{\epsilon=67{,}38^\circ}}$

Das Maß $\epsilon$ der Winkel $\mathrm{B_nA_nD_n}$ beträgt: $\ \boxed{67{,}38^\circ}$

Die Formel zur Berechnung des Flächeninhalts der Drachenvierecke $\mathrm{A_nB_nC_nD_n}$

lautet:

$\hspace{40mm}\ \mathrm{A=\dfrac{1}{2}\cdot\overline{B_nD_n}\cdot\overline{A_nC_n}}$

Da $\mathrm{\overline{B_nD_n} = 2\cdot 2=4\ LE}$ bekannt ist (siehe Aufgabenstellung), musst du noch die Länge der Strecke $\mathrm{\overline{A_nC_n}(x)}$ berechnen. Da die Punkte $\mathrm{A_n}$ und $\mathrm{C_n}$ die gleiche Abszisse $\text{x}$ haben, berechnet sich die Länge $\mathrm{\overline{A_nC_n}(x)}$ aus der Differenz der $\text{y}$-Koordinaten von $\mathrm{A_n}$ und $\mathrm{C_n}$:

$\ \mathrm{\overline{A_nC_n}(x)=[0{,}4x^2-0{,}8x+4{,}4-(0{,}2x+0{,}5)]\ LE\qquad\qquad x\in\mathbb{R}}$

$\ \mathrm{\overline{A_nC_n}(x)=(0{,}4x^2-x+3{,}9)\ LE}$

$\mathrm{A(x)=\dfrac{1}{2}\cdot 4\cdot(0{,}4x^2-x+3{,}9)\ FE\hspace{32mm}x\in\mathbb{R}}$

$\mathrm{A(x)=(0{,}8x^2-2x+7{,}8)\ FE}$

Berechnen des Flächeninhaltes des Drachenvierecks $\mathrm{A_0B_0C_0D_0}$

$\mathrm{A(x)}$ beschreibt eine nach oben offene Parabel, denn $\mathrm{A(x)}$ ist eine Gleichung von der Form $\mathrm{ax^2 + bx + c}$ mit $\mathrm{a>0}$. Um den minimalen Flächeninhalt zu berechnen, musst du die Formel für $\mathrm{A(x)}$ in die Scheitelpunktform überführen. Du kannst entweder$\$die quadratische Ergänzung anwenden, oder$$ du benutzt die Formel zur Berechnung des Scheitelpunkts.

Berechnen des Scheitelpunkts mit quadratischer Ergänzung:

$\mathrm{A(x)=0{,}8x^2-2x+7{,}8}$

$\mathrm{A(x)=0{,}8(x^2-2{,}5x)+7{,}8}$

$\mathrm{A(x)=0{,}8(x^2-2\cdot1{,}25x+1{,}25^2-1{,}25^2)+7{,}8}$

$\mathrm{A(x)=0{,}8[(x-1{,}25)^2-1{,}5625]+7{,}8}$

$\mathrm{A(x)=0{,}8(x-1{,}25)^2-1{,}25+7{,}8}$

$\mathrm{A(x)=0{,}8(x-1{,}25)^2+6{,}55}$

Hier können wir jetzt die Koordinaten des Scheitelpunktes von $\mathrm{A(x)}$ablesen. $\mathrm{x_s=1{,}25}$ und $\mathrm{y_s = 6{,}55}$. Somit ist $\mathrm{A_{\text{min}} = 6{,}55 \ FE}$ für $\mathrm{x=1{,}25}$ .

Berechnen des Scheitelpunkts mit der Formel:

Die Formel zur Berechnung des Scheitelpunkts lautet:

$\hspace{30mm}\boxed{\mathrm{S\left(-\dfrac b{2~\cdot~ a}\left|c-\dfrac{b^2}{4 ~\cdot ~a}\right.\right)}}$

Geg.: $\ \mathrm{a=0{,}8;\qquad b=-2\qquad c=7{,}8}$

Einsetzen der Werte in die Formel:

$\mathrm{x_s=-\dfrac{-2}{2\cdot 0{,}8}\quad\Rightarrow x_s=1{,}25;\qquad y_s=7{,}8-\dfrac{(-2)^2}{4\cdot 0{,}8}\quad\Rightarrow y_s=6{,}55}$

Begründung:

Drachenvierecke sind Rauten, wenn sich die Diagonalen gegenseitig halbieren. Da die $\text{y}$-Werte der Punkte $\mathrm{B_n}$ und $\mathrm{D_n}$ um $3$ größer sind als die $\text{y}$-Werte von $\mathrm{A_n}$,

müssen die $\text{y}$-Werte von $\mathrm{C_n}$ insgesamt um $6$ größer sein als die $\text{y}$-Werte von $\mathrm{A_n}.$

Berechnen der $\text{x}$-Werte der Punkte $A_3$ und $A_4$.

$\mathrm{\overline{A_3C_4}=\overline{A_4C_4}=6\ LE}$

$\mathrm{0{,}4x^2-x+3{,}9=6\hspace{35mm}x}\in\mathbb{R}$

$\mathrm{0{,}4x^2-x-2{,}1=0}$

Löse die quadratische Gleichung mithilfe der Mitternachtsformel.

$x_{1{,}2}=\dfrac{1\pm\sqrt{1^2-4\cdot 0{,}4\cdot (-2{,}1)}}{2\cdot 0{,}4}$

$x_{1{,}2}=\dfrac{1\pm\sqrt{4{,}36}}{2\cdot 0{,}4}\quad\Rightarrow x_1=-1{,}36;\qquad x_2=3{,}86$

$\mathbb{L}=\{-1{,}36|3{,}86\}$

$\ \mathrm{\overline{A_nC_n}(x)=(0{,}4x^2-x+3{,}9)\ LE}$

setze $\mathrm{\overline{A_nC_n}(x)=3}$

$0{,}4x^2-x+3{,}9=3\hspace{35mm}\text{x}\in\mathbb{{R}}$

Lösen der quadratischen Gleichung:

$\mathrm{D=-0{,}44\hspace{20mm} D<0}\hspace{20mm}\mathbb{L}=\emptyset$

Die Punkte $\mathrm{B_n,\ C_n}$ und $\mathrm{D_n}$ liegen nicht auf einer gemeinsamen Geraden.