Pflichtteil - lernen mit Serlo!

Aufgabe P1

Gegeben ist eine in $ℝ$ definierte Funktion $f$ mit

$f (x) = x^{4} - k \cdot x^{2}$ , wobei $k$ eine positive reelle Zahl ist.

Die Abbildung zeigt den Graphen von $f$ .

Die beiden Tiefpunkte des Graphen von $f$ haben jeweils die $y$ -Koordinate $- 1$ . Ermitteln Sie den Wert von $k$ . (4 BE)

$0$	$=$	$2 x \cdot (2 x^{2} - k)$
	↓	Für $x \neq 0$ ist die Gleichung gelöst, wenn:
$0$	$=$	$2 x^{2} - k$	$+ k$
$k$	$=$	$2 x^{2}$	$: 2$
$\frac{k}{2}$	$=$	$x^{2}$	$\pm \sqrt{}$
$x_{1}$	$=$	$\sqrt{\frac{k}{2}}$
$x_{2}$	$=$	$- \sqrt{\frac{k}{2}}$

$f (x)$	$=$	$x^{4} - k \cdot x^{2}$
	↓	Exponent kommt herunter, neuer Exponent wird um $1$ kleiner.
$f^{'} (x)$	$=$	$4 \cdot x^{3} - k \cdot 2 \cdot x^{1}$
	↓	$x^{1} = x$
	$=$	$4 x^{3} - 2 k x$
	↓	Ausklammern von $2 x$
	$=$	$2 x \cdot (2 x^{2} - k)$

$f (\sqrt{\frac{k}{2}})$	$=$	$- 1$
	↓	Einsetzen in den Funktionsterm
${(\sqrt{\frac{k}{2}})}^{4} - k \cdot {(\sqrt{\frac{k}{2}})}^{2}$	$=$	$- 1$
$\frac{k^{2}}{4} - k \cdot \frac{k}{2}$	$=$	$- 1$
	↓	$\frac{k^{2}}{4} - \frac{k^{2}}{2} = - \frac{k^{2}}{4}$
$- \frac{k^{2}}{4}$	$=$	$- 1$	$\cdot (- 1)$
$\frac{k^{2}}{4}$	$=$	$1$	$\cdot 4$
$k^{2}$	$=$	$4$	$\sqrt{}$
	↓	$k$ soll eine positive Zahl sein. Der negative Wert ist keine Lösung.
$k$	$=$	$2$