Pflichtteil - lernen mit Serlo!

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Aufgabe P1

Gegeben ist eine in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit

$f(x)=x^{4}-k \cdot x^{2}$ , wobei $k$ eine positive reelle Zahl ist.

Die Abbildung zeigt den Graphen von $f$ .

Zeigen Sie, dass $f^{\prime}(x)=2 x \cdot\left(2 x^{2}-k\right)$ eine Gleichung der ersten Ableitungsfunktion ist. (1 BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ableitung von Funktionen

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle x^{\color{blue}4}-k\cdot x^{\color{blue}2}$
	↓	Exponent kommt herunter, neuer Exponent wird um $1$ kleiner.
$\displaystyle f'(x)$	$=$	$\displaystyle \color{blue}4\color{black}\cdot x^{\color{green}3}-k\cdot \color{blue}2\cdot \color{black}x^{\color{green}1}$
	↓	$x^{1} = x$
	$=$	$\displaystyle 4x^3-2kx$
	↓	Ausklammern von $2 x$
	$=$	$\displaystyle 2x\cdot (2x^2-k)$

Damit ist die Ableitung $f'(x)=2x\cdot (2x^2-k)$ gezeigt.

Bestimme die Ableitung $f^{'} (x)$ .
- Achte darauf, dass $f (x)$ aus Potenzfunktionen besteht.
- Klammere den Faktor $2 x$ aus, um den Term zusammenzufassen.

Die beiden Tiefpunkte des Graphen von $f$ haben jeweils die $y$ -Koordinate $- 1$ . Ermitteln Sie den Wert von $k$ . (4 BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Extrema berechnen

x-Koordinaten der Tiefpunkte

An den Stellen der Tiefpunkte ist die Ableitung $f^{'} (x) = 0$ :

$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle 2x\cdot(2x^2-k)$
	↓	Für $x\neq 0$ ist die Gleichung gelöst, wenn:
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle 2x^2-k$	$\displaystyle +k$
$\displaystyle k$	$=$	$\displaystyle 2x^2$	$\displaystyle :2$
$\displaystyle \dfrac{k}{2}$	$=$	$\displaystyle x^2$	$\displaystyle \pm\sqrt{}$
$\displaystyle x_1$	$=$	$\displaystyle \sqrt{\dfrac{k}{2}}$
$\displaystyle x_2$	$=$	$\displaystyle -\sqrt\dfrac{k}{2}{}$

Wert von $k$

Die Tiefpunkte sind $\text{TP}_1\left(\sqrt{\dfrac{k}{2}}\mid -1\right);~\text{TP}_2\left(\sqrt{\dfrac{k}{2}}\mid -1\right)$ .

Damit die Punkte wirklich auf dem Graphen von $f$ liegen, muss gelten:

$\displaystyle f\left(\sqrt{\dfrac{k}{2}}\right)$	$=$	$\displaystyle -1$
	↓	Einsetzen in den Funktionsterm
$\displaystyle \left(\sqrt{\dfrac{k}{2}}\right)^4-k\cdot \left(\sqrt{\dfrac{k}{2}}\right)^2$	$=$	$\displaystyle -1$
$\displaystyle \dfrac{k^2}{4}-k\cdot \dfrac{k}{2}$	$=$	$\displaystyle -1$
	↓	$\frac{k^2}{4}-\frac{k^2}{2}=-\frac{k^2}{4}$
$\displaystyle -\dfrac{k^2}{4}$	$=$	$\displaystyle -1$	$\displaystyle \cdot(-1)$
$\displaystyle \dfrac{k^2}{4}$	$=$	$\displaystyle 1$	$\displaystyle \cdot 4$
$\displaystyle k^2$	$=$	$\displaystyle 4$	$\displaystyle \sqrt{}$
	↓	$k$ soll eine positive Zahl sein. Der negative Wert ist keine Lösung.
$\displaystyle k$	$=$	$\displaystyle 2$

Bestimme die Stellen $x_{1{,}2}$ der Tiefpunkte.
- Setze dazu die Ableitung $f^{'} (x) = 0$ und forme nach $x$ um.
Setze den $x$ -Wert der Stellen ein, bestimme $k$ .