Abiturprüfungen Mathe eA mit Lösungen

Aufgabe P1

Gegeben ist eine in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit

$f(x)=x^{4}-k \cdot x^{2}$ , wobei $k$ eine positive reelle Zahl ist.

Die Abbildung zeigt den Graphen von $f$ .

Zeigen Sie, dass $f^{\prime}(x)=2 x \cdot\left(2 x^{2}-k\right)$ eine Gleichung der ersten Ableitungsfunktion ist. (1 BE)

Die beiden Tiefpunkte des Graphen von $f$ haben jeweils die $y$ -Koordinate $-1$ . Ermitteln Sie den Wert von $k$ . (4 BE)

2

Aufgabe P2

Gegeben ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x)=\sin (x)$ . Die Abbildung zeigt den Graphen von $f$ sowie die Tangenten an den Graphen in den dargestellten Schnittpunkten mit der $x$ -Achse.

Zeigen Sie, dass diejenige der beiden Tangenten, die durch den Koordinatenursprung verläuft, die Steigung 1 hat. (1 BE)

Berechnen Sie den Inhalt des Flächenstücks, das vom Graphen von $f$ und den beiden Tangenten eingeschlossen wird. (4 BE)

3

Aufgabe P3

Gegeben sind die in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $f$ und $g$ . Der Graph von $f$ ist symmetrisch bezüglich der $y$ -Achse, der Graph von $g$ ist symmetrisch bezüglich des

Koordinatenursprungs. Beide Graphen haben einen Hochpunkt im Punkt $(2|1)$ .

Geben Sie für die Graphen von $f$ und $g$ jeweils die Koordinaten und die Art eines weiteren Extrempunktes an. (2 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Symmetrie von Graphen
Extrempunkt von $f$
Bei einem y-Achsen-symmetrischen Graphen spiegeln sich die Punkte an der y-Achse.
$P(2|1)~\mapsto~P'(-2|1)$
Der Punkt ist ebenfalls ein Hochpunkt.
Skizze als Hilfe. Das ist nicht der Graph von $f$ .
Extrempunkt von $g$
Bei einem punktsymmetrischen Graphen wie hier, spiegeln sich die
Punkte am Ursprung.
$P(2|1)~\mapsto~P'(-2|-1)$
Der Punkt ist ein Tiefpunkt.
Skizze als Hilfe. Das ist nicht der Graph von $g$ .
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Bestimme die Koordinaten des zweiten Extrempunktes von $f$ .
Spiegle dazu den Punkt an der y-Achse.
Gib an, ob es sich um einen Hoch- oder Tiefpunkt handelt.
Bestimme die Koordinaten des zweiten Extrempunktes von $g$ .
Spiegle dazu den Punkt am Ursprung.
Gib an, ob es sich um einen Hoch- oder Tiefpunkt handelt.

Untersuchen Sie die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $h$ mit $h(x)=f(x) \cdot(g(x))^{3}$ im Hinblick auf eine mögliche Symmetrie ihres Graphen. (3 BE)

4

Aufgabe P4

Gegeben sind der Punkt $P(-1|7| 2)$ und die Ebene $E: x_{1}+3 x_{2}=0$ .

Zeigen Sie, dass der Punkt $P$ nicht in $E$ liegt. (1 BE)

Bestimmen Sie die Koordinaten des Punktes, der entsteht, wenn $P$ an $E$ gespiegelt wird.

(4 BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Punkt an Ebene spiegeln

Lösungsvorschlag

Hilfsgerade $h$

Die Hilfsgerade, die senkrecht zu $E$ und durch $P$ verläuft, hat die Parameterform:

$h:~\vec{x}=\underbrace{\begin{pmatrix}-1\\7\\2\end{pmatrix}}_{=\overrightarrow{OP}}+t\cdot \underbrace{\begin{pmatrix}1\\3\\0\end{pmatrix}}_{=\overrightarrow{n}~\text{(Normalenvektor von E)}}\quad,t\in\mathbb{R}$

Schnittpunkt $S$

Die Hilfsgerade $h$ schneidet die Ebene $E$ .

Du bestimmst schrittweise den Schnittpunkt der Gerade mit einer Ebene, wenn du die Zeilen der Geradengleichung in die Ebene einsetzt.

$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle x_1+3x_2$
	↓	$x_1=-1+t\\x_2=7+3t$
	$=$	$\displaystyle (-1+t)+3\cdot(7+3t)$
	↓	Vereinfachen
	$=$	$\displaystyle -1+t+21+9t$
	$=$	$\displaystyle 10t+20$	$\displaystyle -20$
	↓	Gleichung nach $t$ umstellen
$\displaystyle -20$	$=$	$\displaystyle 10t$	$\displaystyle :10$
$\displaystyle t$	$=$	$\displaystyle -2$

Du erhältst einen Wert t, mit dem der Richtungsvektor der Gerade multipliziert werden kann, um den Schnittpunkt S anzugeben:

Der Schnittpunkt hat damit den Ortsvektor: $\overrightarrow{OS}=\begin{pmatrix}-1\\7\\2\end{pmatrix}-2\cdot \begin{pmatrix}1\\3\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-3\\1\\2\end{pmatrix}$

Addiere $\overrightarrow{OS}$ und den Verbindungsvektor $\overrightarrow{PS}$

Verschiebe um — Verschiebe $\overrightarrow{OS}$ um $\overrightarrow{PS}$

Der Verbindungsvektor $\overrightarrow{PS}$ ist: $\overrightarrow{PS} =\begin{pmatrix}-3\\1\\2\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-1\\7\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2\\-6\\0\end{pmatrix}$

Addiere $\overrightarrow{PS}$ zu $\overrightarrow{OS}$ für den Spiegelpunkt:

$\displaystyle \overrightarrow{OP'}$	$=$	$\displaystyle \overrightarrow{OS}+\overrightarrow{PS}$
	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}-3\\1\\2\end{pmatrix}+ \begin{pmatrix}-2\\-6\\0\end{pmatrix}$
	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}-5\\-5\\2\end{pmatrix}$

Der gespiegelte Punkt hat die Koordinaten: $P'(-5\mid-5\mid 2)$

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5

Aufgabe P5

Die Zufallsgröße $X$ ist binomialverteilt mit den Parametern $n=100$ und $p$ .

Der Erwartungswert von $X$ ist 50.

Berechnen Sie die Standardabweichung von $X$ . (3 BE)

Die Wahrscheinlichkeit $P(X \geq 61)$ beträgt etwa $2 \%$ .
Bestimmen Sie damit einen Näherungswert für die Wahrscheinlichkeit $P(40 \leq X \leq 60)$ .
(2 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomialverteilung
Lösungsvorschlag
Darstellung einer Binomialverteilung mit $n=100$ und Erwartungswert $50$ .
Eine Binomialverteilung mit $n=100$ und $\mu=50$ ist wegen $p=0{,}5$ symmetrisch um den Erwartungswert.
Wenn
beträgt, dann gilt auch für die Wahrscheinlichkeit
Die Wahrscheinlichkeit muss insgesamt $1$ betragen. Damit ist:
Die Wahrscheinlichkeit, dass $X$ mindestens 40 und höchstens 60 ist, ist etwa $96~\%$ .
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Bestimme die Wahrscheinlichkeit $P(X \geq 39)$ .
Verwende hierzu, dass die Verteilung näherungsweise symmetrisch ist.
Berechne $P(40 \leq X \leq 60)$ .

6

Aufgabe P6

In einem Behälter befinden sich Kugeln, von denen jede dritte gelb ist.

Aus dem Behälter wird zweimal nacheinander jeweils eine Kugel zufällig entnommen und wieder zurückgelegt.
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass beide Kugeln gelb sind. (1 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Laplace-Experiment
Lösungsvorschlag
Wahrscheinlichkeit für gelb
Jede dritte Kugel ist gelb: $p=\dfrac{\text{Anzahl gelbe Kugeln}}{\text{Anzahl gesamte Kugeln}}=\dfrac13$
Wahrscheinlichkeit für "2 mal gelb"
Beim 2-maligen Ziehen verwendest du die Pfadregeln: $P("\text{2 mal gelb}")=\dfrac13\cdot \dfrac13=\dfrac19$
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Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, eine gelbe Kugel zu ziehen.
Berechne die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis "Zwei mal gelb"
Beachte, dass zwischen den Ziehungen zurückgelegt wird.

Im Behälter werden zwei gelbe Kugeln durch zwei blaue Kugeln ersetzt. Anschließend wird aus dem Behälter erneut zweimal nacheinander jeweils eine Kugel zufällig entnommen und wieder zurückgelegt. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass beide Kugeln gelb sind, beträgt nun $\frac{1}{16}$ .

Ermitteln Sie, wie viele gelbe Kugeln sich nach dem beschriebenen Vorgang im

Behälter befinden. (4 BE)

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle x^{\color{blue}4}-k\cdot x^{\color{blue}2}$
	↓	Exponent kommt herunter, neuer Exponent wird um $1$ kleiner.
$\displaystyle f'(x)$	$=$	$\displaystyle \color{blue}4\color{black}\cdot x^{\color{green}3}-k\cdot \color{blue}2\cdot \color{black}x^{\color{green}1}$
	↓	$x^1=x$
	$=$	$\displaystyle 4x^3-2kx$
	↓	Ausklammern von $2x$
	$=$	$\displaystyle 2x\cdot (2x^2-k)$

$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle 2x\cdot(2x^2-k)$
	↓	Für $x\neq 0$ ist die Gleichung gelöst, wenn:
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle 2x^2-k$	$\displaystyle +k$
$\displaystyle k$	$=$	$\displaystyle 2x^2$	$\displaystyle :2$
$\displaystyle \dfrac{k}{2}$	$=$	$\displaystyle x^2$	$\displaystyle \pm\sqrt{}$
$\displaystyle x_1$	$=$	$\displaystyle \sqrt{\dfrac{k}{2}}$
$\displaystyle x_2$	$=$	$\displaystyle -\sqrt\dfrac{k}{2}{}$

$\displaystyle f\left(\sqrt{\dfrac{k}{2}}\right)$	$=$	$\displaystyle -1$
	↓	Einsetzen in den Funktionsterm
$\displaystyle \left(\sqrt{\dfrac{k}{2}}\right)^4-k\cdot \left(\sqrt{\dfrac{k}{2}}\right)^2$	$=$	$\displaystyle -1$
$\displaystyle \dfrac{k^2}{4}-k\cdot \dfrac{k}{2}$	$=$	$\displaystyle -1$
	↓	$\frac{k^2}{4}-\frac{k^2}{2}=-\frac{k^2}{4}$
$\displaystyle -\dfrac{k^2}{4}$	$=$	$\displaystyle -1$	$\displaystyle \cdot(-1)$
$\displaystyle \dfrac{k^2}{4}$	$=$	$\displaystyle 1$	$\displaystyle \cdot 4$
$\displaystyle k^2$	$=$	$\displaystyle 4$	$\displaystyle \sqrt{}$
	↓	$k$ soll eine positive Zahl sein. Der negative Wert ist keine Lösung.
$\displaystyle k$	$=$	$\displaystyle 2$

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle \sin\left(x\right)$
	↓	Ableitung von Sinus
$\displaystyle f'\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle \cos\left(x\right)$
$\displaystyle f'\left(0\right)$	$=$	$\displaystyle \cos\left(0\right)$
	$=$	$\displaystyle 1$

$\displaystyle A$	$=$	$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}}x-\sin(x)~dx$
	↓	Stammfunktion bestimmen
	$=$	$\displaystyle \left[\dfrac{1}{2}x^2+\cos(x)\right]_0^{\frac{\pi}{2}}$
	↓	Grenzen einsetzen
	$=$	$\displaystyle \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{\pi}{2}\right)^2+\cos\left(\dfrac{\pi}{2}\right)-\left(\dfrac{1}{2}\cdot 0^2+\cos(0)\right)$
	↓	Zusammenfassen
	$=$	$\displaystyle \dfrac{\pi^2}{8}+0-1$
	↓	Gesamtfläche ist das Doppelte.
$\displaystyle A_\text{ges}$	$=$	$\displaystyle \underbrace{2}_{\text{Fläche doppelt nehmen (Symmetrie)}}\cdot A$
	$=$	$\displaystyle 2\cdot \left(\dfrac{\pi^2}{8}-1\right)$
	$=$	$\displaystyle \dfrac{\pi^2}{4}-2$

Pflichtteil

Aufgabe P1

Ableitung mit der Regel für Potenzfunktionen:

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Lösungsvorschlag

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Aufgabe P2

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Grenzen der Integration

Wert des Integrals

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Aufgabe P3

Extrempunkt von $f$

Extrempunkt von $g$

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Setze für $x$ den Term $-x$ ein

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Aufgabe P4

Lösungsvorschlag

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Lösungsvorschlag

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Aufgabe P5

Lösungsvorschlag

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Lösungsvorschlag

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Aufgabe P6

Lösungsvorschlag

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Lösungsvorschlag

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$\displaystyle h(-x)$	$=$	$\displaystyle f(-x) \cdot(g(-x))^{3}$
	↓	$f$ ist y-Achsen-symmetrisch
	$=$	$\displaystyle f(x)\cdot(g(-x))^{3}$
	↓	$g$ ist punktsymmetrisch zum Urpsrung
	$=$	$\displaystyle f(x)\cdot(-g(x))^3$
	↓	Potenzgesetze
	$=$	$\displaystyle f(x)\cdot (-1)\cdot g(x)^3$
	$=$	$\displaystyle - \underbrace{f(x)\cdot g(x)^3}_{=h(x)}$
	$=$	$\displaystyle -h(x)$

$\displaystyle x_1+3x_2$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Einsetzen
$\displaystyle -1+3\cdot 7$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Zusammenfassen
$\displaystyle 20$	$≠$	$\displaystyle 0$

$\displaystyle \mu$	$=$	$\displaystyle n\cdot p$
	↓	Einsetzen der Informationen
$\displaystyle 50$	$=$	$\displaystyle 100\cdot p$	$\displaystyle :100$
$\displaystyle p$	$=$	$\displaystyle 0{,}5$

$\displaystyle \sigma$	$=$	$\displaystyle \sqrt{n\cdot p\cdot\left(1-p\right)}$
	↓	Einsetzen
	$=$	$\displaystyle \sqrt{100\cdot0{,}5\cdot0{,}5}$
	$=$	$\displaystyle 5$

$\displaystyle \frac{n+2}{N}$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{3}$
	↓	Einsetzen $N=4\cdot n$
$\displaystyle \frac{n+2}{4\cdot n}$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{3}$	$\displaystyle \cdot4n$
$\displaystyle n+2$	$=$	$\displaystyle \frac{4}{3}n$	$\displaystyle -n$
$\displaystyle 2$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{3}n$	$\displaystyle \cdot3$
$\displaystyle 6$	$=$	$\displaystyle n$

Pflichtteil

Aufgabe P1

Ableitung mit der Regel für Potenzfunktionen:

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Lösungsvorschlag

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Aufgabe P2

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Grenzen der Integration

Wert des Integrals

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Aufgabe P3

Extrempunkt von fff

Extrempunkt von ggg

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Setze für xxx den Term −x-x−x ein

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Aufgabe P4

Lösungsvorschlag

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Lösungsvorschlag

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Aufgabe P5

Lösungsvorschlag

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Lösungsvorschlag

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Aufgabe P6

Lösungsvorschlag

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Lösungsvorschlag

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Extrempunkt von $f$

Extrempunkt von $g$

Setze für $x$ den Term $-x$ ein