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Aufgabe P5

Die Zufallsgröße $X$ ist binomialverteilt mit den Parametern $n = 100$ und $p$ .

Der Erwartungswert von $X$ ist 50.

Berechnen Sie die Standardabweichung von $X$ . (3 BE)

Die Wahrscheinlichkeit $P(X \geq 61)$ beträgt etwa $2 %$ .
Bestimmen Sie damit einen Näherungswert für die Wahrscheinlichkeit $P(40 \leq X \leq 60)$ .
(2 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomialverteilung
Lösungsvorschlag
Darstellung einer Binomialverteilung mit $n = 100$ und Erwartungswert $50$ .
Eine Binomialverteilung mit $n = 100$ und $\mu=50$ ist wegen $p = 0,5$ symmetrisch um den Erwartungswert.
Wenn
$\displaystyle P(X \geq 61)\approx 0{,}02$
beträgt, dann gilt auch für die Wahrscheinlichkeit
$\displaystyle P(X \le 39)\approx 0{,}02.$
Die Wahrscheinlichkeit muss insgesamt $1$ betragen. Damit ist:
$\displaystyle P(40 \leq X \leq 60)\approx1-0{,}02-0{,}02=0{,}96$
Die Wahrscheinlichkeit, dass $X$ mindestens 40 und höchstens 60 ist, ist etwa $96 %$ .
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Bestimme die Wahrscheinlichkeit $P(X \geq 39)$ .
Verwende hierzu, dass die Verteilung näherungsweise symmetrisch ist.
Berechne $P(40 \leq X \leq 60)$ .

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