Gib zunächst den Term in deinen CAS-Rechner ein.

Konzentration nach einer Stunde

Bestimme mithilfe des Rechners den Funktionswert einfach durch Einsetzen:

$f(1)\approx 3{,}6$

Somit beträgt die Konzentration nach einer Stunde noch $3{,}6 \frac{mg}{l}$

Konzentration übersteigt 2,8 $\frac {mg}{l}$

Verwende den "Löse"-Befehl (nSolve), um herauszufinden, wann $f(x)=2{,}8$ ist.

Der CAS liefert $x\approx 0{,}25$ und $x\approx1{,}93$ .

Dabei ist x in Stunden angegeben.

Da nach dem erstmaligen Überschreiten des Wertes gefragt ist, nimmst du den kleineren x-Wert als Lösung und rundest sinnvoll:

0,25 Stunden sind $0{,}25\cdot60=15$ Minuten.

Also wird der Wert erstmals nach ca 15 Minuten überschritten.

Konzentration mindestens $0{,}5\frac{mg}{l}$

Verwende erneut den "Löse"-Befehl (nSolve), um herauszufinden, wann $f(x)=0{,}5$. Notiere dir diesmal beide Lösungen.

$x\approx 0{,}03$ und $x\approx 7{,}68$ (erneut in Stunden)

Um herauszufinden, wie lange die Konzentration im Blut mindestens $0{,}5\frac{mg}l$ beträgt, subtrahierst du die beiden Zeitpunkte voneinander:

$\Delta x=7{,}68-0{,}03=7{,}65$.

Die Konzentration ist also für 7,6 Stunden höher als $0{,}5 \frac{mg}l$

x-Koordinate der Extremstelle

Du kannst im ersten Schritt die Ableitungsfunktion mithilfe des CAS bestimmen:

$f'(x)=0{,}5(40e^{-4x}-3e^{-0{,}3x})$

Anschließend bestimmst du mit dem Löse-Befehl die Lösungen der Gleichung $f'(x)=0$

Wie in der Aufgabenstellung angegeben, erhältst du $x\approx0{,}7$.

Art der Extremstelle

Bilde die zweite Ableitung:

$f''(x)=\frac 1 {20}(-1600e^{-4x}+9e^{-0{,}3x})$

Setze den soeben gefundenen Wert $x=0{,}7$ ein:

$f''(0{,}7)\approx -4{,}5$

Da der zugehörige Wert der 2. Ableitung negativ ist, hat der Graph von f bei $x=0{,}7$ einen Hochpunkt.

y-Koordinate bzw. zugehörige Konzentration

Setze zum Schluss noch $x=0{,}7$ in die Funktion $f$ ein, um die angegebene Konzentration im Blut zu überprüfen:

$f(0{,}7)\approx 3{,}75$

Die Konzentration ist nach rund $0{,}7$ Stunden mit etwa $375\;\frac{m g}{l}$ am höchsten.

Berechnung des x-Wertes

Sei $x_0$ ein beliebiger Startzeitpunkt. Dann ist gesucht, wann der Wert, der zwei Stunden nach $x_0$ angenommen wird, genauso groß ist wie der von $x_0:$

Der CAS-Rechner liefert $x\approx 0{,}22$

Also nach 0,2 Stunden.

Der CAS-Rechner liefert nach dem Löse-Befehl (nSolve) für $f'(x)=\frac{f(x+1)-f(x-1)}2$: $x\approx 2{,}3$

Die Ableitungsfunktion $f'$ beschreibt die (Tangenten-)Steigung einer Funktion an einem ausgewählten x-Wert.

Der Bruch auf der rechten Seite ist ein Differenzenquotient: Es wird die durchschnittliche Steigung (Sekantensteigung) zwischen zwei x-Werten bestimmt, von denen einer um eins größer ist als der gerade betrachtete x-Wert und einer um eins kleiner.

In der Abbildung unten siehst du die graphische Interpretation: Gesucht ist der Punkt, an dem die Tangentensteigung genau so groß ist wie die oben definierte Sekantensteigung.

Deuten solltest du die Gleichung aber auch im Sachkontext:

2,3 Stunden nach der Einnahme ist die durchschnittliche Abnahme der Konzentration im Zeitraum zwischen 1,3 und 3,3 Stunden genau so groß wie die tatsächliche, momentane Abnahme der Konzentration.

Tangente bestimmen

Da der Graph an der Stelle $x=6$ stetig fortgesetzt werden soll, muss die Gerade, die daran anschließt, die gleiche Steigung haben. Es handelt sich also um die Tangente im Punkt $P(6|f(6))$.

Du kannst die Tangente im CAS-Rechner bestimmen, zur Kontrolle hier aber das Ergebnis Schritt für Schritt berechnet:

$m=f'(6)\approx-0{,}25$ (gleiche Steigung)

und

$f(6)\approx 0{,}83$ (gleicher Funktionswert).

Also ist die Tangente in Punkt-Steigungs-Form:

$y=-0{,}25(x-6)+0{,}83$

bzw.

$y=-0{,}25x+2{,}33$

Nullstelle der Tangente

Bestimme im CAS-Rechner die Nullstelle der Tangente, indem du die Lösung der Gleichung $-0{,}25x+2{,}33=0$ bestimmst oder berechne sie durch Umformen selbst.

Du erhältst: $x\approx 9{,}3$

Also sinkt die Konzentration $9{,}3$ Stunden nach der Einnahme auf $0\;\frac{mg}l$.

Aus einer früheren Teilaufgabe weißt du, dass die höchste Konzentration 3,75 $\frac{mg}{l}$

Term für die Einnahme der zweiten Tablette

Durch $f(x-4)$ wird der Graph der Funktion f um vier nach rechts verschoben:

Das allein genügt jedoch nicht, denn die bereits vorhandene Menge im Blut muss ebenfalls berücksichtigt werden. Diese muss dazuaddiert werden:

$f(x)+f(x-4)$

Hochpunkt des neuen Funktionsgraphen

Bestimme mithilfe des CAS-Rechners die Extremstellen der neuen Hilfs-Funktion $h(x)=f(x)+f(x-4):$

$h'(x)=5(4e^{-4x}-0{,}3e^{-0{,}3x})+5(4e^{-4(x-4)}-0{,}3e^{-0{,}3(x-4)})$

Bestimme die Nullstellen der Ableitung:

$h'(x)=0$ für $x\approx4{,}63$

Bestimme die Art, indem du den Wert in die zweite Ableitung einsetzt:

$h''(4{,}63)<0$ also liegt ein Hochpunkt vor.

Bestimme den zugehörigen Funktionswert:

$h(4{,}63)\approx 4{,}98$

Die höchste Konzentration ist mit $4{,}98 \;\frac{mg}{l}$ unter dem vorgegebenen Höchstwert.

Integral bestimmen

Nachdem du den Term mit dem Parameter $a$ eingegeben hast, kannst du das Integral im Bereich $[0;1]$ bestimmen und als Hilfsfunktion benennen:

Gleichung aufstellen und lösen

Du suchst die Werte von $a,$ für die der Betrag des Integrals gleich $0{,}2$ ist.

Löse die folgende Gleichung: $h(x)=0{,}2$

Du findest die beiden Werte $a_1\approx 1{,}9$ und $a_2\approx22{,}0$

Extrema in Abhängigkeit von $a$

Der Funktionsterm nimmt für $x>0$ Werte in Abhängigkeit von $a$ an.

Die Terme $e^{-ax}$ und $e^{-4x}$ können mit dem Potenzgesetz umgeformt und verglichen werden, um herauszufinden, wann diese Fälle eintreten.

Für $a=4$ wären die Terme gleich.

Also untersuchen wir zwei Fälle mit dem Funktionsterm:

• $0<a<4$, dann gilt für $x>0$: $f_a(x)=\underbrace{e^{-a\cdot x}}_{\text{für a<4 größer als der andere Term}}-e^{-4x}>0$

• $a>4$, dann gilt für $x>0$: $f_a(x)=\underbrace{e^{-a\cdot x}}_{\text{für a>4 kleiner als der andere Term}}-e^{-4x}<0$

Der erste Fall beschreibt Graphen mit einem Hochpunkt, der zweite Fall Graphen mit einem Tiefpunkt, siehe Abbildung.

Wert für $a$ damit sich die Graphen senkrecht schneiden

Die gespiegelte Funktion $g(x)=-f(x)$ ist:

$g_a(x)=-f_{a}(x)=-e^{-a \cdot x}+e^{-4 x}$

Die Graphen schneiden sich in der Stelle $x=0$, was zum Beispiel durch den Solve-Befehl der Gleichung $f_a(x)=g_a(x)$ folgt.

Damit die Graphen sich senkrecht schneiden, muss gelten:

Genau dann sind die Tangenten der Graphen senkrecht aufeinander stehende Geraden.

Diese Gleichung kann der TR lösen: $a=3\quad\or\quad a=5$ sind Lösungen.