Pflichtteil - lernen mit Serlo!

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Niedersächsisches Kultusministerium (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Kultusministerium Niedersachsen zur Verfügung gestellt --- Die Lösungsvorschläge dagegen sind NICHT vom Land Niedersachsen

Aufgabe 4

Wird der Punkt $P (1 ∣ 2 ∣ 3)$ an der Ebene $E$ gespiegelt, so ergibt sich der Punkt $Q (7 ∣ 2 ∣ 11)$ .

Bestimmen Sie eine Gleichung von $E$ in Koordinatenform. (3 BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Koordinatenform der Ebene (Kurs mit integrierten Aufgaben) (1|5)

Verbindungsvektor $\overrightarrow{PQ}$

Der Verbindungsvektor lautet: $\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{OQ}-\overrightarrow{OP}=\begin{pmatrix}7-1\\2-2\\11-3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6\\0\\8\end{pmatrix}$

Punkt auf der Ebene

Zwischen $P$ und $Q$ liegt ein Punkt $A$ auf der Ebene mit dem Ortsvektor:

\displaystyle \overrightarrow{OA}=\overrightarrow{OP}+\frac12\cdot \overrightarrow{PQ}=\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}3\\0\\4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\2\\7\end{pmatrix}

Koordinatenform der Ebene

Für die Koordinatenform verwende den gekürzten Normalenvektor $\begin{pmatrix}3\\0\\4\end{pmatrix}$ .

$\displaystyle E:\ d$	$=$	$\displaystyle xn_1+yn_2+zn_3$
	↓	Einsetzen des Normalenvektors
$\displaystyle d$	$=$	$\displaystyle 3x+4z$
	↓	$x$ und $z$ von $A$ einsetzen, um $d$ zu bestimmen
$\displaystyle d$	$=$	$\displaystyle 3\cdot4+4\cdot7$
	$=$	$\displaystyle 40$

Die Koordinatenform ist insgesamt: $E : 40 = 3 x + 4 z$

VorsichtAbweichende Ergebnisse

Je nachdem, ob man den Normalenvektor kürzt oder nicht, können äquivalente Koordinatenformen entstehen. Richtig wäre auch:

$E : 80 = 6 x + 8 z$

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Bestimme den Verbindungsvektor $\overrightarrow{PQ}$
Berechne die Koordinaten des Punktes, der auf halber Strecke von $P$ nach $Q$ liegt. Dieser Punkt liegt in der Ebene.
Verwende den Verbindungsvektor als Normalenvektor für die Ebene und stelle die Koordinatenform auf.

Auf der Gerade durch $P$ und $Q$ liegen die Punkte $R$ und $S$ symmetrisch bezüglich $E$ . Dabei liegt $R$ bezüglich $E$ auf der gleichen Seite wie $P$ . Der Abstand von $R$ und $S$ ist doppelt so groß wie der Abstand von $P$ und $Q$ .

Bestimmen Sie die Koordinaten von $R$ . (2 BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Punkt an Ebene spiegeln

Koordinaten von $R$

Da die Ebene die Strecken $\overline{PQ}$ und $\overline{RS}$ jeweils halbiert und $|\overline{RS}|$ das Doppelte von $|\overline{PQ}|$ ist, gilt:

$R$ liegt doppelt so weit von der Ebene entfernt wie $P$ .

Wir gehen den Vektor $\frac12\overrightarrow{PQ}$ von $P$ aus in Richtung $R$ :

$\displaystyle \overrightarrow{OR}$	$=$	$\displaystyle \overrightarrow{OP}-\underbrace{\frac12\overrightarrow{PQ}}_{\text{Verbindung von P nach R}}$
	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}3\\0\\4\end{pmatrix}$
	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}-2\\2\\-1\end{pmatrix}$