Lösung

Skizzieren Sie den Graphen von q' in Abbildung 1

Beschreiben Sie, wie der Graph von q' aus dem Graphen von q erzeugt werden kann

Der Graph von $q^{\mathrm{\prime }}q\text{'}$ entsteht aus dem Graphen von $qq$ durch Spiegelung an der x-Achse.

Lösung

Zeigen Sie, dass t mit $t(x)=-x+1t(x)=-x+1$ eine Tangente an den Graphen von q an der Stelle 0 ist

Es ist $q(0)=e^{-0}=1q(0)=e^\{-0\}=1$ und $t(0)=0+1=1\Rightarrow q(0)=t(0)t(0)=0+1=1\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;q(0)=t(0)$.

Weiter sind die Ableitungen an der Stelle $x=0x=0$ gleich groß:

$g^{\mathrm{\prime }}(0)=-e^{-0}=-1g\text{'}(0)=-e^\{-0\}=-1$ und $t^{\mathrm{\prime }}(0)=-1t\text{'}(0)=-1$

Damit sind die Bedingungen erfüllt, dass $tt$ eine Tangente an den Graphen von $qq$ an der Stelle $00$ ist.

Lösung

Geben Sie die geometrische Bedeutung der Gleichung ${\displaystyle {\int }_0^b(q(x)-t(x))dx=\mathrm{0,1}}\backslash displaystyle\backslash int\_\{0\}^\{b\}(q(x)-t(x))\; d\; x=0\{,\}1$ an

Der eingeschlossene Flächeninhalt zwischen den Graphen von $tt$ und $qq$ und der Geraden $x=bx=b$ hat den Wert $\mathrm{0,1}\text{FE}0\{,\}1\backslash ;\; \backslash text\{FE\}$.

Geben Sie den Wert von b an

${\displaystyle {\int }_0^b(q(x)-t(x))dx=\mathrm{0,1}\Rightarrow {\displaystyle {\int }_0^b(e^{-x}+x-1)dx=\mathrm{0,1}}}\backslash displaystyle\backslash int\_\{0\}^\{b\}(q(x)-t(x))\; \backslash ;dx=0\{,\}1\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;\backslash displaystyle\backslash int\_\{0\}^\{b\}(e^\{-x\}+x-1)\; \backslash ;dx=0\{,\}1$

Für diese Gleichung liefert der CAS-Rechner den Wert $b\approx \mathrm{0,9050949223}b\backslash approx0\{,\}9050949223$.

Der gesuchte Wert von $bb$ ist $b\approx \mathrm{0,9}b\backslash approx0\{,\}9$.

Lösung

Berechnen die beiden Extrempunkte des Graphen von h

Definiere die Funktion $h(x)=(x^2-x-1)\cdot e^{-x}h(x)=\backslash left(x^\{2\}-x-1\backslash right)\; \backslash cdot\; e^\{-x\}$.

Definiere die 1. Ableitung $h^{\mathrm{\prime }}(x)h\text{'}(x)$ und löse mit nSolve die Gleichung $h^{\mathrm{\prime }}(x)=0h\text{'}(x)=0$.

Man erhält die beiden Lösungen $x=0x=0$ oder $x=3x=3$

An den Stellen $x=0x=0$ und $x=3x=3$ liegen Extrempunkte vor.

y-Koordinaten der Punkte

Die Funktionswerte zu den beiden Extremstellen sind:

$h(0)=(0^2-0-1)\cdot e^{-0}=-1h(0)=\backslash left(0^\{2\}-0-1\backslash right)\; \backslash cdot\; e^\{-0\}=-1$ und $h(3)=(3^2-3-1)\cdot e^{-3}=5\cdot e^{-3}h(3)=(3^2-3-1)\backslash cdot\; e^\{-3\}=5\backslash cdot\; e^\{-3\}$

Abstand zwischen den Punkten

Dann gilt für den Abstand der beiden Punkte:

$d=\sqrt{(x_2-x_1{)}^2+(y_2-y_1{)}^2}=\sqrt{(3-0{)}^2+(5\cdot e^{-3}-(-1){)}^2}\approx \mathrm{3,25}d=\backslash sqrt\{(x\_2-x\_1)^2+(y\_2-y\_1)^2\}=\backslash sqrt\{(3-0)^2+(5\backslash cdot\; e^\{-3\}-(-1))^2\}\backslash approx\; 3\{,\}25$

Der Abstand der beiden Extrempunkte des Graphen von $hh$ beträgt rund $\mathrm{3,25}\text{LE}3\{,\}25\; \backslash ;\backslash text\{LE\}$

Lösung

Bestimmen Sie den Wert für k

Die obige Abbildung verdeutlicht noch mal die Aufgabenstellung.

Benötigt werden die eingezeichneten Nullstellen $x_1,x_{2}x\_1,\; x\_2$ und $x_{3}x\_3$.

Setze $h(x)=(x^2-x-1)\cdot e^{-x}=0h(x)=\backslash left(x^\{2\}-x-1\backslash right)\; \backslash cdot\; e^\{-x\}=0$

Da die e-Funktion immer ungleich null ist, muss nur die Gleichung $x^2-x-1=0x^2-x-1=0$ gelöst werden. Der CAS/GTR-Rechner liefert die Lösungen:

$x_1={\displaystyle \frac{1-\sqrt{5}}{2}}x\_1=\backslash dfrac\{1-\backslash sqrt\{5\}\}\{2\}$ und $x_2={\displaystyle \frac{1+\sqrt{5}}{2}}x\_2=\backslash dfrac\{1+\backslash sqrt\{5\}\}\{2\}$

Die dritte Nullstelle liefert die Gleichung $g(x)=0g(x)=0$:

$0=k\cdot x-1\Rightarrow x_3={\displaystyle \frac{1}{k}}0=k\backslash cdot\; x-1\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;x\_3=\backslash dfrac\{1\}\{k\}$

Der Flächeninhalt des $\text{orangefarbigen }\backslash textcolor\{ff6600\}\{\; \backslash text\{orangefarbigen\; \}\; \}$Dreiecks, das $gg$ mit den Koordinatenachsen einschließt, ist:

$A_{\mathrm{△}}={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{k}}\cdot 1={\displaystyle \frac{1}{2k}}A\_\backslash triangle=\backslash dfrac\{1\}\{2\}\backslash cdot\; \backslash dfrac\{1\}\{k\}\backslash cdot\; 1=\backslash dfrac\{1\}\{2k\}$

Die Hälfte der Gesamtfläche ist in der obigen Abbildung gleich der $\text{t}\ddot{\text{u}}\text{rkisfarbigen }\backslash textcolor\{009999\}\{\; \backslash text\{türkisfarbigen\; \}\}$Fläche plus der $\text{orangefarbigen }\backslash textcolor\{ff6600\}\{\; \backslash text\{orangefarbigen\; \}\; \}$Fläche. Alle Flächen liegen unterhalb der x-Achse, deshalb muss die Dreiecksfläche negativ angesetzt werden.

Es gilt: $\mathrm{0,5}\cdot {\displaystyle {\int }_{x1}^{x_2}h(x)dx={\displaystyle {\int }_{x1}^{0}h(x)dx-\frac{1}{2k}}}0\{,\}5\backslash cdot\; \backslash displaystyle\backslash int\_\{x1\}^\{x\_2\}h(x)\backslash ;dx=\backslash displaystyle\backslash int\_\{x1\}^\{0\}h(x)\backslash ;dx-\backslash dfrac\{1\}\{2k\}$

Der CAS-Rechner liefert für die beiden Integrale Werte.

Diese Werte werden in die obige Gleichung für $kk$ eingesetzt und man erhält:

$-\mathrm{0,638967}=-\mathrm{0,43797}-{\displaystyle \frac{1}{2k}}\Rightarrow k\approx \mathrm{2,49}-0\{,\}638967=-0\{,\}43797-\backslash dfrac\{1\}\{2k\}\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;k\backslash approx2\{,\}49$

Für $k\approx \mathrm{2,49}k\backslash approx2\{,\}49$ wird die Fläche in zwei gleich große Teilflächen geteilt.

Lösung

Bestimmen Sie die momentane Durchflussrate für denjenigen Zeitpunkt, zu dem sie am stärksten abnimmt

Bestimme mit dem CAS/GTR-Rechner die beiden Wendestellen der Funktion $ww$.

Definiere die 2. Ableitung von $ww$ mit $w2(x)w2(x)$ und löse dann die Gleichung mit $\text{nSolve}(w2(x)=0,x)\backslash text\{nSolve\}(w2(x)=0,x)$. Man erhält die Lösung $x_1\approx \mathrm{0,697}x\_1\backslash approx0\{,\}697$.

Bei $x_{1}x\_1$ ist die Steigung von $ww$ (gemäß der Abbildung 3) positiv, d.h. hier findet die stärkste Zunahme statt.

Löse erneut die Gleichung $\text{nSolve}(w2(x)=0,x,0.7)\backslash text\{nSolve\}(w2(x)=0,x,0.7)$.

Man erhält die Lösung $x_2\approx \mathrm{4,303}x\_2\backslash approx4\{,\}303$.

Bei $x_{2}x\_2$ ist die Steigung von $ww$ (gemäß der Abbildung 3) negativ, d.h. hier findet die stärkste Abnahme statt.

Im weiteren Kurvenverlauf ist kein weiterer Wendepunkt zu finden.

Berechne $w(\mathrm{4,303})\approx \mathrm{4,72}w(4\{,\}303)\backslash approx4\{,\}72$.

Die momentane Durchflussrate beträgt nach rund $\mathrm{4,3}\text{s}4\{,\}3\backslash ;\backslash text\{s\}$ etwa $\mathrm{4,7}\frac{m^3}{s}4\{,\}7\; \backslash ;\backslash frac\{m^\{3\}\}\{s\}$.

Lösung

Für den betrachteten Zeitraum beträgt die mittlere Durchflussrate etwa $4\frac{{\mathrm{m}}^3}{\mathrm{s}}4\; \backslash frac\{\backslash mathrm\{m\}^\{3\}\}\{\backslash mathrm\{~s\}\}$.

Graphische Bedeutung der Aussage

Die Fläche, die der Graph von $ww$ mit der x-Achse und mit der Geraden $x=10x=10$ einschließt, ist etwa so groß, wie der Flächeninhalt des Rechtecks, das die Gerade mit der Gleichung $y=4y=4$ mit der x-Achse und den Geraden mit den Gleichungen $x=0x=0$ und $x=10x=10$ begrenzt.

Veranschaulichung der Flächen in der Abbildung $33$

Die $\text{t}\ddot{\text{u}}\text{rkisfarbige}\backslash textcolor\{009999\}\{\backslash text\{türkisfarbige\}\}$ Fläche ist die Fläche zwischen dem Graphen von $ww$ und der x-Achse für $0\le x\le 100\backslash leq\; x\backslash leq\; 10$.

Die $\text{orangefarbige}\backslash textcolor\{ff6600\}\{\backslash text\{orangefarbige\}\; \}$ Fläche ist das Rechteck mit den Seitenlängen $1010$ und $44$.

Anmerkung: Die mittlere Durchflussrate im Zeitraum $0\le x\le 100\backslash leq\; x\backslash leq\; 10$ (Sekunden) wird mit dem Integral ${\displaystyle \frac{1}{10-0}}{\displaystyle {\int }_0^{10}w(x)dx\approx 4}\backslash dfrac\{1\}\{10-0\}\backslash displaystyle\backslash int\_0^\{10\}w(x)\backslash ;dx\; \backslash approx4$ berechnet.

Lösung

Interpretieren Sie die folgende Aussage im Sachzusammenhang:

Für alle Werte von $xx$ mit $1\le x\le \mathrm{1,4}1\; \backslash leq\; x\; \backslash leq\; 1\{,\}4$ gilt .

Für den Zeitraum $1\le x\le \mathrm{1,4}1\; \backslash leq\; x\; \backslash leq\; 1\{,\}4$ (Sekunden) beschreibt die Tangente die zeitliche Entwicklung der momentanen Durchflussrate $ww$ mit einer relativen Abweichung von weniger als $5\mathrm{\%}5\backslash ;\backslash \%$.