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Aufgabe 1A

Gegeben ist die in definierte Funktion q mit

q(x)=ex. Für die erste Ableitungsfunktion von q gilt:

q(x)=q(x)

  1. Skizzieren Sie den Graphen von q in Abbildung 1.

    Beschreiben Sie, wie der Graph von q aus dem Graphen von q erzeugt werden kann. (4 BE)

    Bild
  2. Zeigen Sie, dass t mit t(x)=x+1 eine Tangente an den Graphen von q an der Stelle 0 ist. (3 BE)

  3. Geben Sie die geometrische Bedeutung der Gleichung 0b(q(x)t(x))dx=0,1 an.

    Geben Sie den Wert von b an. (3 BE)

  4. Gegeben ist die in definierte Funktion h mit h(x)=(x2x1)ex.

    Berechnen Sie den Abstand der beiden Extrempunkte des Graphen von h. (6 BE)

  5. Der Graph von h schließt mit der x-Achse eine Fläche ein. Die Gerade g mit g(x)=kx1 teilt die Fläche in zwei gleich große Teilflächen. Die Abbildung 2 veranschaulicht die Situation.

    Bestimmen Sie den Wert für k. (6 BE)

    Bild
  6. Ein Bewässerungskanal wird durch Öffnen einer Schleuse in Betrieb genommen.

    Die in definierte Funktion w mit

    w(x)=4(x2x1)ex+4 beschreibt für x0 die momentane Durchflussrate des Wassers an einer Messstelle. Dabei ist x die seit Beobachtungsbeginn vergangene Zeit in Sekunden und w(x) die momentane Durchflussrate in Kubikmetern pro Sekunde (m3s). Abbildung 3 zeigt den Graphen von w.

    Bestimmen Sie die momentane Durchflussrate für denjenigen Zeitpunkt, zu dem sie am stärksten abnimmt. (5 BE)

    Bild
  7. Betrachtet wird der Zeitraum der ersten zehn Sekunden nach Beobachtungsbeginn. Es gilt:

    Für den betrachteten Zeitraum beträgt die mittlere Durchflussrate etwa 4m3 s.

    Beschreiben Sie die graphische Bedeutung der obigen Aussage und veranschaulichen Sie geeignete Flächen in der Abbildung 3. (5 BE)

  8. Die Tangente an den Graphen von w im Punkt (1|w(1)) wird mit l bezeichnet.

    Interpretieren Sie die folgende Aussage im Sachzusammenhang: (3 BE)

    Für alle Werte von x mit 1x1,4 gilt l(x)w(x)w(x)<5%.


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