Koordinaten des Punktes $D$

$D$ hat dieselbe x-Koordinate wie der Punkt $A$ also $27$.

Die y-Koordinate vom Punkt $B$ ist $18$ und die vom Punkt $C$ ist $39$. Der Abstand der beiden Punkte $B$ und $C$ ist also $39-18=21$.

Um die y-Koordinate des Punktes $D$ zu erhalten, muss zur y-Koordinate $39$ vom Punkt $C$ $21$ addiert werden$\;\Rightarrow\; 39+21=60$.

Die z-Koordinate von $D$ ist $0\;\Rightarrow\;D(27|60|0)$

Berechnen Sie die Länge der Diagonalen des Spielfeldes

Die Länge der Diagonale ist:

Die Länge der Diagonalen des Spielfeldes beträgt rund $82{,}5\;\text{ft}$.

Nachweis, dass $Q$ im Spielfeld liegt

Der Punkt $Q(x|y|0)$ liegt auf der Flugbahn $\vec x= \overrightarrow{OP}+r\cdot \vec v$.

Aus Gleichung $\mathrm{(III)}$ folgt, dass $r=1$ ist.

Berechne mit $r=1$ die fehlenden Koordinaten von $Q$:

$Q$ liegt im Spielfeld, da die x-Koordinate von $Q$ kleiner als $27$ (Spielfeldbreite) und die y-Koordinate von $Q$ kleiner als $78$ (Spielfeldlänge) ist.

Zeit vom Abschlag im Punkt $P$ bis zum Auftreffen des Balles

Die Strecke in $\mathrm{ft}$, die der Ball zurücklegt, ist $|\overrightarrow{PQ}|$.

$|\overrightarrow{PQ}|=\sqrt{13^2+58{,}5^2+(-10{,}4)^2}=\sqrt{3699{,}41}\approx60{,}8\;\mathrm{ft}$

Der zurückgelegte Weg beträgt rund $60{,}8\;\mathrm{ft}$.

Für die benötigte Zeit gilt:

Die Zeit vom Abschlag im Punkt $P$ bis zum Auftreffen des Balles auf dem Boden beträgt rund $0{,}68\;\mathrm{s}$.

Größe des Winkels, unter dem der Ball auftrifft

Die xy-Ebene hat den Normalenvektor $\vec n=\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}$.

Die Gerade hat den Richtungsvektor $\vec v=\begin{pmatrix}13\\58{,}5\\-10{,}4\end{pmatrix}$, dabei ist $|\vec v|=\sqrt{3699{,}41}$siehe Aufgabe c).

Dann gilt für den Winkel: $\sin\alpha=\dfrac{|\vec v\circ\vec n|}{|\vec v|\cdot|\vec n|}$

$\alpha=\sin^{-1}\left(\dfrac{10{,}4}{\sqrt{3699{,}41}}\right)\approx9{,}8^\circ$

Die Größe des Winkels, unter dem der Ball auf den Boden auftrifft, beträgt rund $9{,}8^\circ$.

Gleichung der Geraden $b$

Der Punkt $P(13|0|10{,}4)$ muss an der xy-Ebene gespiegelt werden.

$\Rightarrow\;P'(13|0|-10{,}4)$

Die Gerade $b$ geht durch die Punkte $P'(13|0|-10{,}4)$ und $Q(26|58{,}5| 0)$.

$b:\;\vec x=\overrightarrow{OQ}+r\cdot \overrightarrow{P'Q}$

mit $r\in\mathbb{R}$.

Die Gleichung der Geraden $b$ lautet: $\vec x=\begin{pmatrix}26\\58{,}5\\0\end{pmatrix}+r\cdot \begin{pmatrix}13\\58{,}5\\10{,}4\end{pmatrix}$

Wert von $h$

Die Gleichung für die Flugbahn des Balles lautet:

$k:\;\vec x=\overrightarrow{OP_h}+r\cdot \overrightarrow{P_hQ}$

$k:\;\vec x=\begin{pmatrix}13\\0\\h\end{pmatrix}+r\cdot \left(\begin{pmatrix}26\\58{,}5\\0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}13\\0\\h\end{pmatrix}\right)=\begin{pmatrix}13\\0\\h\end{pmatrix}+r\cdot \begin{pmatrix}13\\58{,}5\\-h\end{pmatrix}$ mit $r \in \mathbb{R}$

Der Ball überquert das Netz in einem Punkt $U(x|39|z_1)$.

Der Punkt $U$ muss auf der Flugbahn $k$ liegen:

$\begin{pmatrix}x\\39\\z_1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}13\\0\\h\end{pmatrix}+r\cdot \begin{pmatrix}13\\58{,}5\\-h\end{pmatrix}\;\Rightarrow\; r=\dfrac{39}{58{,}5}=\dfrac{2}{3}$

Mit $r=\dfrac{2}{3}$ folgt für den Punkt $U$:

$\vec x_U=\begin{pmatrix}13\\0\\h\end{pmatrix}+\frac{2}{3}\cdot \begin{pmatrix}13\\58{,}5\\-h\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{65}{3}\\39\\\frac{1}{3}h\end{pmatrix}\;\Rightarrow\;U(\frac{65}{3}\mid 39\mid \frac{1}{3}h)$

Der Punkt $U$ liegt oberhalb der Netzkante $\overline{FM}$. Deshalb wird die Netzoberkante durch folgende Gleichung beschrieben:

$l:\;\vec x=\overrightarrow{OF}+s\cdot \overrightarrow{FM}$

$l:\;\vec x=\begin{pmatrix}27\\39\\3{,}5\end{pmatrix}+s\cdot \left(\begin{pmatrix}13{,}5\\39\\3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}27\\39\\3{,}5\end{pmatrix}\right)=\begin{pmatrix}27\\39\\3{,}5\end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix}-13{,}5\\0\\-0{,}5\end{pmatrix}$

Der Punkt der Netzoberkante, der überquert wird, ist $V(\frac{65}{3}\mid 39\mid z_2)$.

Der Punkt $V$ muss auf der Netzoberkante $l$ liegen:

$\begin{pmatrix}\frac{65}{3}\\39\\z_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}27\\39\\3{,}5\end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix}-13{,}5\\0\\-0{,}5\end{pmatrix}$

Gleichung $\mathrm{(I)}$ lautet: $\dfrac{65}{3}=27-13{,}5\cdot s$

Auflösung nach $s$:

Mit $s=\dfrac{32}{81}$ folgt dann in Gleichung $\mathrm{(III)}$:

Damit hat der Punkt $V$ die Koordinaten $V\left(\frac{65}{3}\mid 39\mid \frac{535}{162}\right)$.

Andererseits ist $U(\frac{65}{3}\mid 39\mid \frac{1}{3}h)$:

Der Ball überquert das Netz in einer Höhe von $0{,}25\; \mathrm{ft}$ über dem Netz.

Die Differenz der z-Werte von $U$ und $V$ muss gleich $0{,}25$ sein.

Der zugehörige Wert von $h$ ist etwa $10{,}66\; \mathrm{ft}$.