Wahlteil - CAS - lernen mit Serlo!

Aufgabe 3B

Das Rechteck $O A E K$ stellt ein Tennisspielfeld dar. Die Koordinaten für die folgenden Punkte lauten: $O (0 ∣ 0 ∣ 0), A (27 ∣ 0 ∣ 0), B (27 ∣ 18 ∣ 0), C (27 ∣ 39 ∣ 0), E (27 ∣ 78 ∣ 0), F (27 ∣ 39 ∣ 3,5)$ , $H (0 ∣ 39 ∣ 3,5)$ und $M (13,5 ∣ 39 ∣ 3)$ .

Alle Koordinaten haben die Längeneinheit Fuß (ft). Das Netz ist an Pfosten befestigt, die durch die Strecken $\overline{C F}$ und $\overline{G H}$ dargestellt sind. Es hat an den Enden eine Höhe von $3{,}5\; \mathrm{ft}$ und fällt geradlinig ab, bis es in der Mitte $M$ nur noch eine Höhe von $3\; \mathrm{ft}$ hat. Der Boden wird durch die $x y$ -Ebene dargestellt. Der Ball wird als punktförmig angenommen.

Geben Sie die Koordinaten des Punktes $D$ an.
Berechnen Sie die Länge der Diagonalen des Spielfeldes. (3 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Länge eines Vektors
Koordinaten des Punktes $D$
$D$ hat dieselbe x-Koordinate wie der Punkt $A$ also $27$ .
Die y-Koordinate vom Punkt $B$ ist $18$ und die vom Punkt $C$ ist $39$ . Der Abstand der beiden Punkte $B$ und $C$ ist also $39 - 18 = 21$ .
Um die y-Koordinate des Punktes $D$ zu erhalten, muss zur y-Koordinate $39$ vom Punkt $C$ $21$ addiert werden $\;\Rightarrow\; 39+21=60$ .
Die z-Koordinate von $D$ ist $0\;\Rightarrow\;D(27|60|0)$
Berechnen Sie die Länge der Diagonalen des Spielfeldes
Die Länge der Diagonale ist:
$\displaystyle |\overrightarrow{OE}|=\sqrt{27^2+78^2+0^2}=\sqrt{6813}\approx82{,}5$
Die Länge der Diagonalen des Spielfeldes beträgt rund $82{,}5\;\text{ft}$ .
Hast du eine Frage oder Feedback?
Kommentiere hier 👇
Teil 1
$D$ hat dieselbe x-Koordinate wie der Punkt $A$ . Der Abstand der beiden Punkte $B$ und $C$ ist also $39 - 18 = 21$ . Addiere $21$ zur y-Koordinate von $C$ . $D$ liegt in der xy-Ebene.
Teil 2
Berechne den Betrag des Vektors $\overrightarrow{OE}$ .
Es kann vorausgesetzt werden, dass beim Aufschlag der Ball das Netz überquert und dass die $x$ -Koordinate zu diesem Zeitpunkt größer als $13,5$ ist. Die Flugbahn des Balls wird als geradlinig angenommen.
Bei einem Aufschlag wird der Ball im Punkt $P (13 ∣ 0 ∣ 10,4)$ getroffen, fliegt in Richtung
$\def\arraystretch{1.25} \vec{v}=\left(\begin{array}{c}13 \\ 58{,}5 \\ -10{,}4\end{array}\right)$ und trifft im Punkt $Q$ auf dem Boden auf.
Zeigen Sie, dass $Q$ im Spielfeld liegt. (4 BE)
[zur Kontrolle: $Q (26 ∣ 58,5 ∣ 0)$ ]
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradengleichung in der analytischen Geometrie
Nachweis, dass $Q$ im Spielfeld liegt
Der Punkt $Q (x ∣ y ∣ 0)$ liegt auf der Flugbahn $\vec x= \overrightarrow{OP}+r\cdot \vec v$ .
$\displaystyle \begin{pmatrix}x\\y\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}13\\0\\10{,}4\end{pmatrix}+r\cdot \begin{pmatrix}13\\58{,}5\\-10{,}4\end{pmatrix}$
Aus Gleichung $\mathrm{(III)}$ folgt, dass $r = 1$ ist.
Berechne mit $r = 1$ die fehlenden Koordinaten von $Q$ :
$\displaystyle Q(13+13\mid 58{,}5\mid 10{,}4-10{,}4)\;\Rightarrow\;Q(26\mid 58{,}5\mid0)$
$Q$ liegt im Spielfeld, da die x-Koordinate von $Q$ kleiner als $27$ (Spielfeldbreite) und die y-Koordinate von $Q$ kleiner als $78$ (Spielfeldlänge) ist.
Hast du eine Frage oder Feedback?
Kommentiere hier 👇
Der Punkt $Q (x ∣ y ∣ 0)$ liegt auf der Flugbahn.
Erstelle die Geradengleichung für die Flugbahn des Balles und setze sie gleich $Q$ . Löse das Gleichungssystem.
Betrachte die x- und y-Koordinaten von $Q$ und vergleiche sie mit der Spielfeldbreite und Spielfeldlänge.
Die Geschwindigkeit des Balles wird mit $90$ Fuß pro Sekunde als konstant angenommen.
Bestimmen Sie, wie viel Zeit vom Abschlag im Punkt $P$ bis zum Auftreffen des Balles auf dem Boden vergeht. (3 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Länge eines Vektors
Zeit vom Abschlag im Punkt $P$ bis zum Auftreffen des Balles
Die Strecke in $\mathrm{ft}$ , die der Ball zurücklegt, ist $|\overrightarrow{PQ}|$ .
$\displaystyle \overrightarrow{PQ}=\begin{pmatrix}26\\58{,}5\\0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}13\\0\\10{,}4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}13\\58{,}5\\-10{,}4\end{pmatrix}$
$|\overrightarrow{PQ}|=\sqrt{13^2+58{,}5^2+(-10{,}4)^2}=\sqrt{3699{,}41}\approx60{,}8\;\mathrm{ft}$
Der zurückgelegte Weg beträgt rund $60{,}8\;\mathrm{ft}$ .
Für die benötigte Zeit gilt:
$\displaystyle t=\dfrac{s}{v}=\dfrac{60{,}8\;\mathrm{ft}}{90\;\dfrac{\mathrm{ft}}{\mathrm{s}}}\approx0{,}68\;\mathrm{s}$
Die Zeit vom Abschlag im Punkt $P$ bis zum Auftreffen des Balles auf dem Boden beträgt rund $0{,}68\;\mathrm{s}$ .
Hast du eine Frage oder Feedback?
Kommentiere hier 👇
Berechne die Länge der Strecke $|\overrightarrow{PQ}|$ .
Berechne die Zeit im Flug mit dem Weg-Zeit-Gesetz: $t=\dfrac{s}{v}$

Berechnen Sie die Größe des Winkels, unter dem der Ball auf den Boden auftrifft.

(3 BE)

Spiegelt man die Gerade, die die Flugbahn des Balles beschreibt, an der $x y$ -Ebene, ergibt sich die Gerade $b$ . Die Gerade $b$ beschreibt die Flugbahn direkt nach dem Aufprall.
Bestimmen Sie eine Gleichung der Geraden $b$ . (4 BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradengleichung in der analytischen Geometrie
Gleichung der Geraden $b$
Der Punkt $P (13 ∣ 0 ∣ 10,4)$ muss an der xy-Ebene gespiegelt werden.
$\Rightarrow\;P'(13|0|-10{,}4)$
Die Gerade $b$ geht durch die Punkte $P^{'} (13 ∣ 0 ∣ - 10,4)$ und $Q (26 ∣ 58,5 ∣ 0)$ .
$b:\;\vec x=\overrightarrow{OQ}+r\cdot \overrightarrow{P'Q}$
$\displaystyle \Rightarrow\;b:\;\vec x=\begin{pmatrix}26\\58{,}5\\0\end{pmatrix}+r\cdot\left(\begin{pmatrix}26\\58{,}5\\0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}13\\0\\-10{,}4\end{pmatrix}\right)=\begin{pmatrix}26\\58{,}5\\0\end{pmatrix}+r\cdot \begin{pmatrix}13\\58{,}5\\10{,}4\end{pmatrix}$
mit $r\in\mathbb{R}$ .
Die Gleichung der Geraden $b$ lautet: $\vec x=\begin{pmatrix}26\\58{,}5\\0\end{pmatrix}+r\cdot \begin{pmatrix}13\\58{,}5\\10{,}4\end{pmatrix}$
Hast du eine Frage oder Feedback?
Kommentiere hier 👇
Der Punkt $P (13 ∣ 0 ∣ 10,4)$ muss an der xy-Ebene gespiegelt werden $\;\Rightarrow\;P'$
Bestimme die Gerade $b$ durch die Punkte $P^{'}$ und $Q$ .

Bei einem anderen Aufschlag wird der Ball im Punkt $P_{h}(13|0| h), h>0$ , abgeschlagen und trifft im Punkt $Q (26 ∣ 58,5 ∣ 0)$ auf dem Boden auf. Der Ball überquert das Netz in einer Höhe von $0{,}25\; \mathrm{ft}$ über dem Netz.

Bestimmen Sie den zugehörigen Wert von $h$ . (8 BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradengleichung in der analytischen Geometrie

Wert von $h$

Die Gleichung für die Flugbahn des Balles lautet:

$k:\;\vec x=\overrightarrow{OP_h}+r\cdot \overrightarrow{P_hQ}$

$k:\;\vec x=\begin{pmatrix}13\\0\\h\end{pmatrix}+r\cdot \left(\begin{pmatrix}26\\58{,}5\\0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}13\\0\\h\end{pmatrix}\right)=\begin{pmatrix}13\\0\\h\end{pmatrix}+r\cdot \begin{pmatrix}13\\58{,}5\\-h\end{pmatrix}$ mit $r \in \mathbb{R}$

Der Ball überquert das Netz in einem Punkt $U (x ∣ 39 ∣ z_{1})$ .

Der Punkt $U$ muss auf der Flugbahn $k$ liegen:

$\begin{pmatrix}x\\39\\z_1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}13\\0\\h\end{pmatrix}+r\cdot \begin{pmatrix}13\\58{,}5\\-h\end{pmatrix}\;\Rightarrow\; r=\dfrac{39}{58{,}5}=\dfrac{2}{3}$

Mit $r=\dfrac{2}{3}$ folgt für den Punkt $U$ :

$\vec x_U=\begin{pmatrix}13\\0\\h\end{pmatrix}+\frac{2}{3}\cdot \begin{pmatrix}13\\58{,}5\\-h\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{65}{3}\\39\\\frac{1}{3}h\end{pmatrix}\;\Rightarrow\;U(\frac{65}{3}\mid 39\mid \frac{1}{3}h)$

Der Punkt $U$ liegt oberhalb der Netzkante $\overline{FM}$ . Deshalb wird die Netzoberkante durch folgende Gleichung beschrieben:

$l:\;\vec x=\overrightarrow{OF}+s\cdot \overrightarrow{FM}$

$l:\;\vec x=\begin{pmatrix}27\\39\\3{,}5\end{pmatrix}+s\cdot \left(\begin{pmatrix}13{,}5\\39\\3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}27\\39\\3{,}5\end{pmatrix}\right)=\begin{pmatrix}27\\39\\3{,}5\end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix}-13{,}5\\0\\-0{,}5\end{pmatrix}$

Der Punkt der Netzoberkante, der überquert wird, ist $V(\frac{65}{3}\mid 39\mid z_2)$ .

Der Punkt $V$ muss auf der Netzoberkante $l$ liegen:

$\begin{pmatrix}\frac{65}{3}\\39\\z_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}27\\39\\3{,}5\end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix}-13{,}5\\0\\-0{,}5\end{pmatrix}$

Gleichung $\mathrm{(I)}$ lautet: $\dfrac{65}{3}=27-13{,}5\cdot s$

Auflösung nach $s$ :

$\displaystyle \dfrac{65}{3}$	$=$	$\displaystyle 27-13{,}5\cdot s$
	↓	Klammere 13,5 aus.
$\displaystyle \dfrac{65}{3}$	$=$	$\displaystyle 13{,}5\cdot(2- s)$
$\displaystyle \dfrac{65}{3}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{27}{2}\cdot(2-s)$	$\displaystyle \cdot\dfrac{2}{27}$
$\displaystyle \dfrac{65}{3}\cdot\dfrac{2}{27}$	$=$	$\displaystyle 2-s$
$\displaystyle \dfrac{130}{81}$	$=$	$\displaystyle 2-s$	$\displaystyle +s-\dfrac{130}{81}$
$\displaystyle s$	$=$	$\displaystyle 2-\dfrac{130}{81}$
$\displaystyle s$	$=$	$\displaystyle \dfrac{32}{81}$

Mit $s=\dfrac{32}{81}$ folgt dann in Gleichung $\mathrm{(III)}$ :

\displaystyle z_2=3{,}5 +\frac{32}{81}\cdot \left(-\dfrac{1}{2}\right)=3{,}5-\frac{16}{81}=\frac{535}{162}

Damit hat der Punkt $V$ die Koordinaten $V\left(\frac{65}{3}\mid 39\mid \frac{535}{162}\right)$ .

Andererseits ist $U(\frac{65}{3}\mid 39\mid \frac{1}{3}h)$ :

Der Ball überquert das Netz in einer Höhe von $0{,}25\; \mathrm{ft}$ über dem Netz.

Die Differenz der z-Werte von $U$ und $V$ muss gleich $0,25$ sein.

\displaystyle \dfrac{1}{3}h-\dfrac{535}{162}=0{,}25\;\Rightarrow\;h=3\cdot\left(0{,}25+\frac{535}{162}\right)=3\cdot\dfrac{1151}{324}=\dfrac{1151}{108}\approx10{,}66

Der zugehörige Wert von $h$ ist etwa $10{,}66\; \mathrm{ft}$ .

Hast du eine Frage oder Feedback?

Kommentiere hier 👇

$\displaystyle \sin\alpha$	$=$	$\displaystyle \dfrac{\left\|\begin{pmatrix}13\\58{,}5\\-10{,}4\end{pmatrix}\circ \begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\right\|}{\sqrt{3699{,}41}\cdot 1}$
	↓	Berechne das Skalarprodukt.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{\left\|0+0-10{,}4\right\|}{\sqrt{3699{,}41}\cdot 1}$
	↓	Vereinfache.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{10{,}4}{\sqrt{3699{,}41}}$

Aufgabe 3B

Koordinaten des Punktes DDD

Berechnen Sie die Länge der Diagonalen des Spielfeldes

Hast du eine Frage oder Feedback?

Nachweis, dass QQQ im Spielfeld liegt

Hast du eine Frage oder Feedback?

Zeit vom Abschlag im Punkt PPP bis zum Auftreffen des Balles

Hast du eine Frage oder Feedback?

Größe des Winkels, unter dem der Ball auftrifft

Hast du eine Frage oder Feedback?

Gleichung der Geraden bbb

Hast du eine Frage oder Feedback?

Wert von hhh

Hast du eine Frage oder Feedback?

Koordinaten des Punktes $D$

Nachweis, dass $Q$ im Spielfeld liegt

Zeit vom Abschlag im Punkt $P$ bis zum Auftreffen des Balles

Gleichung der Geraden $b$

Wert von $h$