Wahlteil - CAS - lernen mit Serlo!

Aufgabe 3B

Das Rechteck $O A E K$ stellt ein Tennisspielfeld dar. Die Koordinaten für die folgenden Punkte lauten: $O (0 ∣ 0 ∣ 0), A (27 ∣ 0 ∣ 0), B (27 ∣ 18 ∣ 0), C (27 ∣ 39 ∣ 0), E (27 ∣ 78 ∣ 0), F (27 ∣ 39 ∣ 3,5)$ , $H (0 ∣ 39 ∣ 3,5)$ und $M (13,5 ∣ 39 ∣ 3)$ .

Alle Koordinaten haben die Längeneinheit Fuß (ft). Das Netz ist an Pfosten befestigt, die durch die Strecken $\overline{C F}$ und $\overline{G H}$ dargestellt sind. Es hat an den Enden eine Höhe von $3{,}5\; \mathrm{ft}$ und fällt geradlinig ab, bis es in der Mitte $M$ nur noch eine Höhe von $3\; \mathrm{ft}$ hat. Der Boden wird durch die $x y$ -Ebene dargestellt. Der Ball wird als punktförmig angenommen.

Geben Sie die Koordinaten des Punktes $D$ an.
Berechnen Sie die Länge der Diagonalen des Spielfeldes. (3 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Länge eines Vektors
Koordinaten des Punktes $D$
$D$ hat dieselbe x-Koordinate wie der Punkt $A$ also $27$ .
Die y-Koordinate vom Punkt $B$ ist $18$ und die vom Punkt $C$ ist $39$ . Der Abstand der beiden Punkte $B$ und $C$ ist also $39 - 18 = 21$ .
Um die y-Koordinate des Punktes $D$ zu erhalten, muss zur y-Koordinate $39$ vom Punkt $C$ $21$ addiert werden $\;\Rightarrow\; 39+21=60$ .
Die z-Koordinate von $D$ ist $0\;\Rightarrow\;D(27|60|0)$
Berechnen Sie die Länge der Diagonalen des Spielfeldes
Die Länge der Diagonale ist:
$\displaystyle |\overrightarrow{OE}|=\sqrt{27^2+78^2+0^2}=\sqrt{6813}\approx82{,}5$
Die Länge der Diagonalen des Spielfeldes beträgt rund $82{,}5\;\text{ft}$ .
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Teil 1
$D$ hat dieselbe x-Koordinate wie der Punkt $A$ . Der Abstand der beiden Punkte $B$ und $C$ ist also $39 - 18 = 21$ . Addiere $21$ zur y-Koordinate von $C$ . $D$ liegt in der xy-Ebene.
Teil 2
Berechne den Betrag des Vektors $\overrightarrow{OE}$ .
Es kann vorausgesetzt werden, dass beim Aufschlag der Ball das Netz überquert und dass die $x$ -Koordinate zu diesem Zeitpunkt größer als $13,5$ ist. Die Flugbahn des Balls wird als geradlinig angenommen.
Bei einem Aufschlag wird der Ball im Punkt $P (13 ∣ 0 ∣ 10,4)$ getroffen, fliegt in Richtung
$\def\arraystretch{1.25} \vec{v}=\left(\begin{array}{c}13 \\ 58{,}5 \\ -10{,}4\end{array}\right)$ und trifft im Punkt $Q$ auf dem Boden auf.
Zeigen Sie, dass $Q$ im Spielfeld liegt. (4 BE)
[zur Kontrolle: $Q (26 ∣ 58,5 ∣ 0)$ ]
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradengleichung in der analytischen Geometrie
Nachweis, dass $Q$ im Spielfeld liegt
Der Punkt $Q (x ∣ y ∣ 0)$ liegt auf der Flugbahn $\vec x= \overrightarrow{OP}+r\cdot \vec v$ .
$\displaystyle \begin{pmatrix}x\\y\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}13\\0\\10{,}4\end{pmatrix}+r\cdot \begin{pmatrix}13\\58{,}5\\-10{,}4\end{pmatrix}$
Aus Gleichung $\mathrm{(III)}$ folgt, dass $r = 1$ ist.
Berechne mit $r = 1$ die fehlenden Koordinaten von $Q$ :
$\displaystyle Q(13+13\mid 58{,}5\mid 10{,}4-10{,}4)\;\Rightarrow\;Q(26\mid 58{,}5\mid0)$
$Q$ liegt im Spielfeld, da die x-Koordinate von $Q$ kleiner als $27$ (Spielfeldbreite) und die y-Koordinate von $Q$ kleiner als $78$ (Spielfeldlänge) ist.
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Der Punkt $Q (x ∣ y ∣ 0)$ liegt auf der Flugbahn.
Erstelle die Geradengleichung für die Flugbahn des Balles und setze sie gleich $Q$ . Löse das Gleichungssystem.
Betrachte die x- und y-Koordinaten von $Q$ und vergleiche sie mit der Spielfeldbreite und Spielfeldlänge.
Die Geschwindigkeit des Balles wird mit $90$ Fuß pro Sekunde als konstant angenommen.
Bestimmen Sie, wie viel Zeit vom Abschlag im Punkt $P$ bis zum Auftreffen des Balles auf dem Boden vergeht. (3 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Länge eines Vektors
Zeit vom Abschlag im Punkt $P$ bis zum Auftreffen des Balles
Die Strecke in $\mathrm{ft}$ , die der Ball zurücklegt, ist $|\overrightarrow{PQ}|$ .
$\displaystyle \overrightarrow{PQ}=\begin{pmatrix}26\\58{,}5\\0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}13\\0\\10{,}4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}13\\58{,}5\\-10{,}4\end{pmatrix}$
$|\overrightarrow{PQ}|=\sqrt{13^2+58{,}5^2+(-10{,}4)^2}=\sqrt{3699{,}41}\approx60{,}8\;\mathrm{ft}$
Der zurückgelegte Weg beträgt rund $60{,}8\;\mathrm{ft}$ .
Für die benötigte Zeit gilt:
$\displaystyle t=\dfrac{s}{v}=\dfrac{60{,}8\;\mathrm{ft}}{90\;\dfrac{\mathrm{ft}}{\mathrm{s}}}\approx0{,}68\;\mathrm{s}$
Die Zeit vom Abschlag im Punkt $P$ bis zum Auftreffen des Balles auf dem Boden beträgt rund $0{,}68\;\mathrm{s}$ .
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Berechne die Länge der Strecke $|\overrightarrow{PQ}|$ .
Berechne die Zeit im Flug mit dem Weg-Zeit-Gesetz: $t=\dfrac{s}{v}$

Berechnen Sie die Größe des Winkels, unter dem der Ball auf den Boden auftrifft.

(3 BE)

Spiegelt man die Gerade, die die Flugbahn des Balles beschreibt, an der $x y$ -Ebene, ergibt sich die Gerade $b$ . Die Gerade $b$ beschreibt die Flugbahn direkt nach dem Aufprall.
Bestimmen Sie eine Gleichung der Geraden $b$ . (4 BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradengleichung in der analytischen Geometrie
Gleichung der Geraden $b$
Der Punkt $P (13 ∣ 0 ∣ 10,4)$ muss an der xy-Ebene gespiegelt werden.
$\Rightarrow\;P'(13|0|-10{,}4)$
Die Gerade $b$ geht durch die Punkte $P^{'} (13 ∣ 0 ∣ - 10,4)$ und $Q (26 ∣ 58,5 ∣ 0)$ .
$b:\;\vec x=\overrightarrow{OQ}+r\cdot \overrightarrow{P'Q}$
$\displaystyle \Rightarrow\;b:\;\vec x=\begin{pmatrix}26\\58{,}5\\0\end{pmatrix}+r\cdot\left(\begin{pmatrix}26\\58{,}5\\0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}13\\0\\-10{,}4\end{pmatrix}\right)=\begin{pmatrix}26\\58{,}5\\0\end{pmatrix}+r\cdot \begin{pmatrix}13\\58{,}5\\10{,}4\end{pmatrix}$
mit $r\in\mathbb{R}$ .
Die Gleichung der Geraden $b$ lautet: $\vec x=\begin{pmatrix}26\\58{,}5\\0\end{pmatrix}+r\cdot \begin{pmatrix}13\\58{,}5\\10{,}4\end{pmatrix}$
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Der Punkt $P (13 ∣ 0 ∣ 10,4)$ muss an der xy-Ebene gespiegelt werden $\;\Rightarrow\;P'$
Bestimme die Gerade $b$ durch die Punkte $P^{'}$ und $Q$ .

Bei einem anderen Aufschlag wird der Ball im Punkt $P_{h}(13|0| h), h>0$ , abgeschlagen und trifft im Punkt $Q (26 ∣ 58,5 ∣ 0)$ auf dem Boden auf. Der Ball überquert das Netz in einer Höhe von $0{,}25\; \mathrm{ft}$ über dem Netz.

Bestimmen Sie den zugehörigen Wert von $h$ . (8 BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradengleichung in der analytischen Geometrie

Wert von $h$

Die Gleichung für die Flugbahn des Balles lautet:

$k:\;\vec x=\overrightarrow{OP_h}+r\cdot \overrightarrow{P_hQ}$

$k:\;\vec x=\begin{pmatrix}13\\0\\h\end{pmatrix}+r\cdot \left(\begin{pmatrix}26\\58{,}5\\0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}13\\0\\h\end{pmatrix}\right)=\begin{pmatrix}13\\0\\h\end{pmatrix}+r\cdot \begin{pmatrix}13\\58{,}5\\-h\end{pmatrix}$ mit $r \in \mathbb{R}$

Der Ball überquert das Netz in einem Punkt $U (x ∣ 39 ∣ z_{1})$ .

Der Punkt $U$ muss auf der Flugbahn $k$ liegen:

$\begin{pmatrix}x\\39\\z_1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}13\\0\\h\end{pmatrix}+r\cdot \begin{pmatrix}13\\58{,}5\\-h\end{pmatrix}\;\Rightarrow\; r=\dfrac{39}{58{,}5}=\dfrac{2}{3}$

Mit $r=\dfrac{2}{3}$ folgt für den Punkt $U$ :

$\vec x_U=\begin{pmatrix}13\\0\\h\end{pmatrix}+\frac{2}{3}\cdot \begin{pmatrix}13\\58{,}5\\-h\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{65}{3}\\39\\\frac{1}{3}h\end{pmatrix}\;\Rightarrow\;U(\frac{65}{3}\mid 39\mid \frac{1}{3}h)$

Der Punkt $U$ liegt oberhalb der Netzkante $\overline{FM}$ . Deshalb wird die Netzoberkante durch folgende Gleichung beschrieben:

$l:\;\vec x=\overrightarrow{OF}+s\cdot \overrightarrow{FM}$

$l:\;\vec x=\begin{pmatrix}27\\39\\3{,}5\end{pmatrix}+s\cdot \left(\begin{pmatrix}13{,}5\\39\\3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}27\\39\\3{,}5\end{pmatrix}\right)=\begin{pmatrix}27\\39\\3{,}5\end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix}-13{,}5\\0\\-0{,}5\end{pmatrix}$

Der Punkt der Netzoberkante, der überquert wird, ist $V(\frac{65}{3}\mid 39\mid z_2)$ .

Der Punkt $V$ muss auf der Netzoberkante $l$ liegen:

$\begin{pmatrix}\frac{65}{3}\\39\\z_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}27\\39\\3{,}5\end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix}-13{,}5\\0\\-0{,}5\end{pmatrix}$

Gleichung $\mathrm{(I)}$ lautet: $\dfrac{65}{3}=27-13{,}5\cdot s$

Auflösung nach $s$ :

$\displaystyle \dfrac{65}{3}$	$=$	$\displaystyle 27-13{,}5\cdot s$
	↓	Klammere 13,5 aus.
$\displaystyle \dfrac{65}{3}$	$=$	$\displaystyle 13{,}5\cdot(2- s)$
$\displaystyle \dfrac{65}{3}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{27}{2}\cdot(2-s)$	$\displaystyle \cdot\dfrac{2}{27}$
$\displaystyle \dfrac{65}{3}\cdot\dfrac{2}{27}$	$=$	$\displaystyle 2-s$
$\displaystyle \dfrac{130}{81}$	$=$	$\displaystyle 2-s$	$\displaystyle +s-\dfrac{130}{81}$
$\displaystyle s$	$=$	$\displaystyle 2-\dfrac{130}{81}$
$\displaystyle s$	$=$	$\displaystyle \dfrac{32}{81}$

Mit $s=\dfrac{32}{81}$ folgt dann in Gleichung $\mathrm{(III)}$ :

\displaystyle z_2=3{,}5 +\frac{32}{81}\cdot \left(-\dfrac{1}{2}\right)=3{,}5-\frac{16}{81}=\frac{535}{162}

Damit hat der Punkt $V$ die Koordinaten $V\left(\frac{65}{3}\mid 39\mid \frac{535}{162}\right)$ .

Andererseits ist $U(\frac{65}{3}\mid 39\mid \frac{1}{3}h)$ :

Der Ball überquert das Netz in einer Höhe von $0{,}25\; \mathrm{ft}$ über dem Netz.

Die Differenz der z-Werte von $U$ und $V$ muss gleich $0,25$ sein.

\displaystyle \dfrac{1}{3}h-\dfrac{535}{162}=0{,}25\;\Rightarrow\;h=3\cdot\left(0{,}25+\frac{535}{162}\right)=3\cdot\dfrac{1151}{324}=\dfrac{1151}{108}\approx10{,}66

Der zugehörige Wert von $h$ ist etwa $10{,}66\; \mathrm{ft}$ .

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$\displaystyle \sin\alpha$	$=$	$\displaystyle \dfrac{\left\|\begin{pmatrix}13\\58{,}5\\-10{,}4\end{pmatrix}\circ \begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\right\|}{\sqrt{3699{,}41}\cdot 1}$
	↓	Berechne das Skalarprodukt.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{\left\|0+0-10{,}4\right\|}{\sqrt{3699{,}41}\cdot 1}$
	↓	Vereinfache.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{10{,}4}{\sqrt{3699{,}41}}$

Aufgabe 3B

Koordinaten des Punktes DDD

Berechnen Sie die Länge der Diagonalen des Spielfeldes

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Nachweis, dass QQQ im Spielfeld liegt

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Zeit vom Abschlag im Punkt PPP bis zum Auftreffen des Balles

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Größe des Winkels, unter dem der Ball auftrifft

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Gleichung der Geraden bbb

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Wert von hhh

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Koordinaten des Punktes $D$

Nachweis, dass $Q$ im Spielfeld liegt

Zeit vom Abschlag im Punkt $P$ bis zum Auftreffen des Balles

Gleichung der Geraden $b$

Wert von $h$