Ermittle die Koordinaten des Schnittpunkts des Graphen von $h^{-1}h^\{-1\}$ mit der $yy$-Achse

Der Schnittpunkt von $G_{h}G\_h$ mit der x-Achse ergibt bei Spiegelung an der Winkelhalbierenden $y=xy=x$ den Schnittpunkt von $G_{h^{\mathrm{\prime }}}G\_\{h\text{'}\}$ mit der y-Achse.

Es ist $h(x)=\ln \left({\displaystyle \frac{4-x^2}{2+x^2}}\right)h(x)=\backslash ln\backslash left(\backslash dfrac\{4-x^2\}\{2+x^2\}\; \backslash right)$.

$h(x)=0\Rightarrow \ln (1)=0\Rightarrow 1={\displaystyle \frac{4-x^2}{2+x^2}}h(x)=0\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;\backslash ln(1)=0\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;1=\backslash dfrac\{4-x^2\}\{2+x^2\}$

Man erhält die beiden Lösungen $x_1=-1x\_1=-1$ und $x_2=1x\_2\; =1$. Wegen $D_h=]-2;0]D\_h=]-2;\; 0\; ]$ entfällt die Lösung $x_{2}x\_2$.

Die x-Achse wird also im Punkt $N(-1\mid 0)N(-1\backslash mid\; 0)$ geschnitten$\Rightarrow h^{\mathrm{\prime }}(x)\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;h\text{'}(x)$ schneidet die y-Achse im Punkt $S_y(0\mid -1)S\_y(0\backslash mid\; -1)$.

Ermittle die Steigung der Tangente am Graphen von $h^{-1}h^\{-1\}$ im Punkt $B(?\mathrm{\mid }-1)B(?|-1)$

Nach Aufgabe a) hat der Punkt $BB$ die Koordinaten $(0\mid -1)(0\backslash mid\; -1)$.

Die allgemeine Tangentengleichung ist $y_T=mx+by\_T=mx+b$.

Wegen $B(0\mid -1)B(0\backslash mid\; -1)$ ist $b=-1b=-1$.

Zur Bestimmung der Tangentensteigung berechne die Ableitung von $h(x)h(x)$.

Benutze ein Logarithmengesetz:

$h(x)=\ln \left({\displaystyle \frac{4-x^2}{2+x^2}}\right)=\ln (4-x^2)-\ln (2+x^2)h(x)=\backslash ln\backslash left(\backslash dfrac\{4-x^2\}\{2+x^2\}\; \backslash right)=\backslash ln(4-x^2)-\backslash ln(2+x^2)$

Benutze bei der Ableitung die Kettenregel:

Dann ist $h^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{1}{4-x^2}}\cdot (-2x)-{\displaystyle \frac{1}{2+x^2}}\cdot (2x)h\text{'}(x)=\backslash dfrac\{1\}\{4-x^2\}\backslash cdot\; (-2x)-\backslash dfrac\{1\}\{2+x^2\}\backslash cdot\; (2x)$.

Klammere $(-2x)(-2x)$ aus:

Also ist $h^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{12x}{x^4-2x^2-8}}h\text{'}(x)=\backslash dfrac\{12x\}\{x^4-2x^2-8\}$.

$h^{\mathrm{\prime }}(-1)={\displaystyle \frac{12\cdot (-1)}{(-1{)}^4-2\cdot (-1{)}^2-8}}={\displaystyle \frac{-12}{1-2-8}}={\displaystyle \frac{-12}{-9}}={\displaystyle \frac{4}{3}}h\text{'}(-1)=\backslash dfrac\{12\backslash cdot(-1)\}\{(-1)^4-2\backslash cdot(-1)^2-8\}=\backslash dfrac\{-12\}\{1-2-8\}=\backslash dfrac\{-12\}\{-9\}=\backslash dfrac\{4\}\{3\}$

Hinweis: Schneller geht es, wenn man auf das Teilergebnis verzichtet und direkt in $h^{\mathrm{\prime }}(x)h\text{'}(x)$ den Wert $x=-1x=-1$ einsetzt:

$h^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{1}{4-x^2}}\cdot (-2x)-{\displaystyle \frac{1}{2+x^2}}\cdot (2x)h\text{'}(x)=\backslash dfrac\{1\}\{4-x^2\}\backslash cdot\; (-2x)-\backslash dfrac\{1\}\{2+x^2\}\backslash cdot\; (2x)$, also

$h^{\mathrm{\prime }}(-1)={\displaystyle \frac{1}{4-1}}\cdot (-2\cdot (-1))-{\displaystyle \frac{1}{2+1}}\cdot (2\cdot (-1))={\displaystyle \frac{2}{3}}-{\displaystyle \frac{-2}{3}}={\displaystyle \frac{4}{3}}h\text{'}(-1)=\backslash dfrac\{1\}\{4-1\}\backslash cdot\; (-2\backslash cdot(-1))-\backslash dfrac\{1\}\{2+1\}\backslash cdot\; (2\backslash cdot(-1))=\backslash dfrac\{2\}\{3\}-\backslash dfrac\{-2\}\{3\}=\backslash dfrac\{4\}\{3\}$

Nun gilt:

Die Steigung der Umkehrfunktion am gespiegelten Punkt $B(0\mid -1)B(0\backslash mid\; -1)$ ist der Kehrwert der Steigung der ursprünglichen Funktion im Punkt $(-1\mid 0)(-1\backslash mid\; 0)$.

Also ist die Steigung $mm$ der Tangente im Punkt $B(0\mid -1)B(0\backslash mid\; -1)$ der Kehrwert von ${\displaystyle \frac{4}{3}}\Rightarrow {\displaystyle \frac{3}{4}}\backslash dfrac\{4\}\{3\}\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;\backslash dfrac\{3\}\{4\}$

Damit lautet die Tangentengleichung im Punkt $B(0\mid -1)B(0\backslash mid\; -1)$: $y_T={\displaystyle \frac{3}{4}}x-1y\_T=\backslash dfrac\{3\}\{4\}x-1$.

Die folgende Abbildung ist nicht in der Aufgabenstellung gefordert. Sie dient nur zur Veranschaulichung.