Gegeben ist die umkehrbare Funktion h:xâŠln(2+x24âx2â) mit der Definitionsmenge Dhâ=]â2;0]. Ihre Umkehrfunktion wird mit hâ1 bezeichnet.
Ermitteln Sie die Koordinaten des Schnittpunkts des Graphen von hâ1 mit der y-Achse.
FĂŒr diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Umkehrfunktion
Ermittle die Koordinaten des Schnittpunkts des Graphen von hâ1 mit der y-Achse
Der Schnittpunkt von Ghâ mit der x-Achse ergibt bei Spiegelung an der Winkelhalbierenden y=x den Schnittpunkt von GhâČâ mit der y-Achse.
Es ist h(x)=ln(2+x24âx2â).
h(x)=0âln(1)=0â1=2+x24âx2â
1 = 2+x24âx2â â (2+x2) 2+x2 = 4âx2 +x2â2 2x2 = 2 :2 x2 = 1 Man erhĂ€lt die beiden Lösungen x1â=â1 und x2â=1. Wegen Dhâ=]â2;0] entfĂ€llt die Lösung x2â.
Die x-Achse wird also im Punkt N(â1âŁ0) geschnittenâhâČ(x) schneidet die y-Achse im Punkt Syâ(0âŁâ1).
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Ermitteln Sie die Steigung der Tangente am Graphen von hâ1 im Punkt B(?âŁâ1).
[ Mögliches Teilergebnis: hâČ(x)=x4â2x2â812xâ ]
FĂŒr diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Tangente an Graph
Ermittle die Steigung der Tangente am Graphen von hâ1 im Punkt B(?âŁâ1)
Nach Aufgabe a) hat der Punkt B die Koordinaten (0âŁâ1).
Die allgemeine Tangentengleichung ist yTâ=mx+b.
Wegen B(0âŁâ1) ist b=â1.
Zur Bestimmung der Tangentensteigung berechne die Ableitung von h(x).
Benutze ein Logarithmengesetz:
h(x)=ln(2+x24âx2â)=ln(4âx2)âln(2+x2)
Benutze bei der Ableitung die Kettenregel:
Dann ist hâČ(x)=4âx21ââ (â2x)â2+x21ââ (2x).
Klammere (â2x) aus:
hâČ(x) = (â2x)â (4âx21â+2+x21â) â Bringe auf Hauptnenner.
= (â2x)â ((4âx2)â (2+x2)1â (2+x2)+1â (4âx2)â) â Fasse zusammen.
= (â2x)â (8+4x2â2x2âx42+x2+4âx2â) = (â2x)â (âx4+2x2+86â) â Löse die Klammern auf.
= âx4+2x2+8â12xâ â Klammere im ZĂ€hler und Nenner (â1) aus und kĂŒrze.
= x4â2x2â812xâ Also ist hâČ(x)=x4â2x2â812xâ.
hâČ(â1)=(â1)4â2â (â1)2â812â (â1)â=1â2â8â12â=â9â12â=34â
Hinweis: Schneller geht es, wenn man auf das Teilergebnis verzichtet und direkt in hâČ(x) den Wert x=â1 einsetzt:
hâČ(x)=4âx21ââ (â2x)â2+x21ââ (2x), also
hâČ(â1)=4â11ââ (â2â (â1))â2+11ââ (2â (â1))=32ââ3â2â=34â
Nun gilt:
Die Steigung der Umkehrfunktion am gespiegelten Punkt B(0âŁâ1) ist der Kehrwert der Steigung der ursprĂŒnglichen Funktion im Punkt (â1âŁ0).
Also ist die Steigung m der Tangente im Punkt B(0âŁâ1) der Kehrwert von 34ââ43â
Damit lautet die Tangentengleichung im Punkt B(0âŁâ1): yTâ=43âxâ1.
Die folgende Abbildung ist nicht in der Aufgabenstellung gefordert. Sie dient nur zur Veranschaulichung.
Funktion h und Umkehrfunktion hâ1
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