Ermittele denjenigen Wert von a, für den $E_a$ parallel zur Geraden $g$ verläuft

Wenn $g\parallel E_a$, dann muss der Richtungsvektor der Geraden senkrecht zum Normalenvektor der Ebene $E_a$ stehen. Das Skalarprodukt der beiden Vektoren ist dann gleich null.

$\Rightarrow \left(\begin{array}{c}-1\\ 0\\ 1\end{array}\right)\circ \left(\begin{array}{c}2a\\ -4\\ a-2\end{array}\right)=0\Rightarrow -2a+0+a-2=0\Rightarrow a=-2$

Für $a=-2$ verläuft $E_{-2}$ parallel zur Geraden $g$.

Prüfe, ob die Ebene mit der Gleichung $6x_1-8x_2+x_3=24$ zur Schar gehört

Gegeben ist $E_a:2a{x}_1-4x_2+(a-2)\cdot x_3=12$

Multipliziere die Gleichung der Ebene $E_a$ mit $2$, damit die beiden rechten Seiten der Ebenen gleich groß sind:

$2\cdot E_a:4a{x}_1-8x_2+2\cdot (a-2)\cdot x_3=24$

Nun wird ein Koeffizientenvergleich der beiden Ebenengleichungen durchgeführt:

1. Koeffizient:

$6=4a\Rightarrow a=\mathrm{1,5}$

2. Koeffizient:

$-8=-8✓$

3. Koeffizient:

$1=2\cdot (a-2)=2a-4\Rightarrow 5=2a\Rightarrow a=\mathrm{2,5}$

Die beiden Werte für $a$ sind unterschiedlich.

Somit gehört die Ebene mit der Gleichung $6x_1-8x_2+x_3=24$ nicht zur Schar.