Teil A: Wahlpflichtteil - lernen mit Serlo!

Aufgabe 3

Gegeben ist die Schar der Ebenen $E_{a}: 2 a x_{1}-4 x_{2}+(a-2) \cdot x_{3}=12$ mit $a \in \mathbb{R}$ .

Ermitteln Sie denjenigen Wert von a, für den $E_{a}$ parallel zur Gerade mit der Gleichung $\def\arraystretch{1.25} \vec{x}=\left(\begin{array}{l}0 \\ 1 \\ 1\end{array}\right)+b \cdot\left(\begin{array}{c}-1 \\ 0 \\ 1\end{array}\right)$ und $b \in \mathbb{R}$ verläuft. (2 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehungen von Geraden und Ebenen
Ermittele denjenigen Wert von a, für den $E_{a}$ parallel zur Geraden $g$ verläuft
Wenn $g\parallel E_a$ , dann muss der Richtungsvektor der Geraden senkrecht zum Normalenvektor der Ebene $E_{a}$ stehen. Das Skalarprodukt der beiden Vektoren ist dann gleich null.
$\Rightarrow\; \begin{pmatrix}-1\\0\\1\end{pmatrix}\circ \begin{pmatrix}2a\\-4\\a-2\end{pmatrix}=0\;\Rightarrow\;-2a+0+a-2=0\;\Rightarrow\;a=-2$
Für $a = - 2$ verläuft $E_{- 2}$ parallel zur Geraden $g$ .
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Wenn $g\parallel E_a$ , dann muss der Richtungsvektor der Geraden senkrecht zum Normalenvektor der Ebene $E_{a}$ stehen.
Das Skalarprodukt der beiden Vektoren ist dann gleich null.
Prüfen Sie, ob die Ebene mit der Gleichung $6 x_{1}-8 x_{2}+x_{3}=24$ zur Schar gehört. (3 P)
Prüfe, ob die Ebene mit der Gleichung $6 x_{1}-8 x_{2}+x_{3}=24$ zur Schar gehört
Gegeben ist $E_{a}: 2 a x_{1}-4 x_{2}+(a-2) \cdot x_{3}=12$
Multipliziere die Gleichung der Ebene $E_{a}$ mit $2$ , damit die beiden rechten Seiten der Ebenen gleich groß sind:
$2\cdot E_{a}: 4a x_{1}-8 x_{2}+2\cdot(a-2) \cdot x_{3}=24$
Nun wird ein Koeffizientenvergleich der beiden Ebenengleichungen durchgeführt:
1. Koeffizient:
$6=4a\;\Rightarrow\;a=1{,}5$
2. Koeffizient:
$-8=-8\;\checkmark$
3. Koeffizient:
$1=2\cdot(a-2)=2a-4\;\Rightarrow\;5=2a\;\Rightarrow\;a=2{,}5$
Die beiden Werte für $a$ sind unterschiedlich.
Somit gehört die Ebene mit der Gleichung $6 x_{1}-8 x_{2}+x_{3}=24$ nicht zur Schar.
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Multipliziere die Ebene $E_{a}$ mit $2$ , damit die beiden rechten Seiten der Ebenen gleich groß sind.
Führe dann einen Koeffizientenvergleich der beiden Ebenengleichungen durch.

Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen → Was bedeutet das?

Aufgabe 3

Ermittele denjenigen Wert von a, für den EaE_{a}Ea​ parallel zur Geraden ggg verläuft

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Prüfe, ob die Ebene mit der Gleichung 6x1−8x2+x3=246 x_{1}-8 x_{2}+x_{3}=246x1​−8x2​+x3​=24 zur Schar gehört

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Ermittele denjenigen Wert von a, für den $E_{a}$ parallel zur Geraden $g$ verläuft

Prüfe, ob die Ebene mit der Gleichung $6 x_{1}-8 x_{2}+x_{3}=24$ zur Schar gehört